1611143572-9d260122e1f7b937cc263fb9b1cd060d (825035), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Найдите период колебаний маятникадлины l, установленного на тележке.3.2.17∗ . Космический корабль вращается вокруг своей оси с угловой скоростью Ω. Как зависит период колебаний маятника длины l от расстояния R точкиподвеса до оси вращения? Плоскость колебаний проходит через ось вращения.♦ 3.2.18. Шарик массы m, насаженный на стержень, вращается с угловой скоростью Ω вокруг оси O, с которой он соединен пружиной жесткости k. Определитечастоту колебаний шарика вдоль пружины, если Ω2 < k/m.∗)78В дальнейшем круговая частота ω = 2πv = 2π/T , где T — период колебания, если это неоговорено, называется частотой колебаний.♦ 3.2.19. Метроном представляет собой легкий стержень, на нижнем концекоторого на расстоянии l от оси находится груз массы M . Выше оси подвижныйгрузик массы m можно закреплять на стержне на разных расстояниях x отоси, тем самым подбирая нужную частоту колебаний метронома. Считая массыточечными, найдите, как частота колебаний зависит от расстояния x.♦ 3.2.20.
Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собойгруз на легком стержне, если к середине стержня прикрепить горизонтальнуюпружину жесткости k? На рисунке изображено состояние равновесия.♦ 3.2.21. К ободу колеса с горизонтально расположенной осью прикрепилигрузик массы m. Найдите массу колеса, предполагая ее однородно распределеннойпо ободу, если частота колебаний колеса с грузиком вокруг оси равна ω, а егорадиус равен R, R < g/ω 2 .♦ 3.2.22.
В сферической лунке радиуса R находятся две точечные массы, соединенные невесомым стержнем длины 2l. Определите частоту колебаний придвижении в направлении: а) перпендикулярном плоскости рисунка; б∗ ) параллельном этой плоскости.♦ 3.2.23. Пружина жесткости k одним концом присоединена к оси колеса массы m, которое способно катиться без проскальзывания, а другим прикреплена к79стенке. Какова частота колебаний системы? Масса колеса однородно распределена по ободу.3.2.24. Найдите частоту колебаний тонкого обруча радиуса R, подвешенногона гвозде.
Проскальзывания нет; колебания происходят в плоскости обруча.3.2.25. Два тела массы m1 и m2 связаны пружиной жесткости k. Каковачастота свободных колебаний такой системы, если вращения нет?♦ 3.2.26. Найдите отношение частот колебаний молекулы H2 и молекулы HD(D — атом дейтерия).♦ 3.2.27∗ . Возможны два типа линейных колебаний молекулы углекислого газа: а) ядра кислорода движутся в противоположные стороны, а ядро углеродаостается на месте; б) ядра кислорода движутся с одинаковыми скоростями в направлении, противоположном направлению движения ядра углерода.
Определитеотношение частот этих колебаний.♦ 3.2.28. На гладкой горизонтальной поверхности находится тележка массы Mс установленным на ней математическим маятником длины l и массы m. Найдитепериод колебаний системы.♦ 3.2.29. Четыре одинаковых шарика массы m каждый, соединенные одинаковыми пружинами жесткости k, образуют квадрат. Одновременно всем четырем шарикам сообщили одинаковые по модулю скорости, направленные к центруквадрата. Через какое время после этого пружины будут: а) сильнее всего сжаты;б) сильнее всего растянуты?♦ 3.2.30.
Момент инерции чашки, подвешенной на проволоке, относительнооси кручения этой проволоки, равен I0 . Период крутильных колебаний системыравен T0 . На чашку положили груз. При этом период крутильных колебаний изменился и стал равным T . Каков момент инерции груза относительно той же осикручения? Момент сил, возникающих при закручивании проволоки, пропорционален углу закручивания.♦ 3.2.31∗ . Легкие стержни соединены шарнирами в виде ромба. Две противоположные вершины ромба связаны пружиной жесткости k, а к двум другимвершинам прикреплены шарики одинаковой массы m.
Найдите частоту колебаний системы, если длина пружины в недеформированном состоянии совпадает сдлиной стержня.♦ 3.2.32∗ . К муфте массы m, надетой на гладкую горизонтальную неподвижную спицу, привязана нить, перекинутая через блок, находящийся на расстоянии lот спицы. На другом конце нити привязан груз массы M . При колебаниях муфтыизменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь.
Найдитечастоту колебаний муфты и частоту колебаний груза.3.2.33. Найдите период колебаний жидкости в ∪-образном сосуде постоянного сечения. Общая длина части сосуда, занятого жидкостью, равна l.♦ 3.2.34∗ . Вертикальная перегородка в высоком сосуде разделяет его на двесообщающиеся части с разными сечениями.
Найдите период малых колебаний80жидкости, считая, что свободная поверхность ее в каждой части сосуда остаетсягоризонтальной. Глубина жидкости в состоянии равновесия равна H.3.2.35. Определите частоту вертикальных колебаний длинного цилиндрического ареометра, погруженного в жидкость, налитую в цилиндрический стакан,если радиус стакана много меньше глубины H, на которой ареометр находитсяв состоянии равновесия.♦ 3.2.36∗ . В цилиндрическом сосуде радиуса R находится поршень длины l, соединенный пружиной жесткости k со стенкойсосуда.
По оси поршня имеется сквозной канал радиуса r. Все свободное пространствов сосуде заполнено жидкостью плотности ρ.Найдите частоту колебаний поршня, если l R и масса поршня равна m.3.2.37∗ . После загрузки корабля период колебаний его по вертикали увеличится с 7 до 7,5 с. Какова масса груза? Сечение по ватерлинии S = 500 м2 .Характер вовлечения воды в движение считать не изменившимся при загрузке.§ 3.3. Гармоническое движение3.3.1. Тело массы m, прикрепленное к пружине, свободно колеблется. Смещение тела зависит от времени по закону x = A cos ωt.
Как меняются со временемскорость и ускорение? Как зависит сила, действующая на тело, от его смещенияи от времени? Чему равна жесткость пружины?3.3.2. Амплитуда колебаний математического маятника 5 мм, длина его нити 1 м. Как зависит смещение шарика от времени? За начало отсчета временипринять: а) момент прохождения положения равновесия слева направо; б) моментпрохождения крайнего правого положения.3.3.3.
Груз, свободно колеблющийся на пружине, за время 0,01 с сместился срасстояния 0,5 см от положения равновесия до наибольшего, равного 1 см. Каковпериод его колебаний?3.3.4. Частота свободных колебаний тела равна ω. Через какое наименьшеевремя его кинетическая энергия уменьшается вдвое по сравнению со своим наибольшим значением?3.3.5. Найдите период колебаний математического маятника длины l, еслина пути нити на расстоянии l/2 вниз по вертикали от точки подвеса вбит гвоздь.3.3.6.
Найдите период колебаний тела в задаче 3.1.7.681♦ 3.3.7∗ . Гладкую однородную веревку длины l удерживают в вертикальномколене изогнутой трубы так, что нижний конец ее касается горизонтальной частитрубы. Веревку отпускают. Через какое время она полностью окажется в горизонтальном колене? Трением пренебречь.
Как изменится это время, если вначалечасть веревки уже находилась в горизонтальном колене?♦ 3.3.8∗ . Воздушный шарик при слабом ударе о стенку деформируется, какпоказано на рисунке. При этом максимальная деформация шарика x много меньше его радиуса R. Пренебрегая изменением избыточного давления ∆p воздухав шарике и упругостью оболочки, оцените время соударения со стенкой. Массашарика m.♦ 3.3.9. Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) внекоторых определенных точках оси OO0 , если скорость каждой частицы пучкав сечении OO00 равна v0 , а сила, действующая на частицу, F = −kr, где r —расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения OO00 фокусируются частицы, если масса каждой из них равна m?♦ 3.3.10.
Из нижней точки гладкого горизонтального цилиндрического желоба радиуса R под небольшим углом к его образующей выскальзывает со скоростью v0 маленький шарик. Сколько раз на длине l он пересечет нижнюю образующую желоба?♦ 3.3.11. К наклонной стене подвешен маятник длины l. Маятник отклонилиот вертикали на малый угол, в два раза превышающий угол наклона стены к вертикали, и отпустили. Найдите период колебаний маятника, если удары о стенуабсолютно упругие.♦ 3.3.12.
Один конец пружины прикреплен к стене, на втором — шарик, колеблющийся с амплитудой A и периодом T0 . На каком расстоянии от положенияравновесия шарика нужно поставить плиту, чтобы период его колебаний сталравным T ? Удары шарика о плиту абсолютно упругие.♦ 3.3.13.
Груз массы m падает с высоты H на пружину жесткости k и длины h,нижний конец которой прикреплен к полу. Определите время контакта груза спружиной, если mg < 2k(H − h).♦ 3.3.14. По гладкой горизонтальной плоскости со скоростью v скользит тонкий однородный брусок длины l. Брусок наезжает на обширный шероховатый82участок плоскости. Через какое время брусок остановится, если коэффициенттрения равен µ?♦ 3.3.15∗ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
