1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 94
Текст из файла (страница 94)
п. В некоторых случаях, когда это будет более удобно, мы будем переходить на язык линейных преобразований. $2. Экспоненциальное отображение Связь группы Ли С с ее касательным пространством Т(С) осуществляется экспоненциальным отображением. В $6.5 была определена экспонента матрицы. Тем самым определено отображение (9) ехр: 1.„(К)- И.„(К), называемое экспоненииальнььи отображением. Из определения экспоненты матрицы следует, что ехр 0= Е и ехр Х = Е + Х + о(11Х ~(). (10) Это показывает, что дифференциал экспоненциального отображения в нуле есть тождественное линейное отображение. В частности, якобиан экспоненциального отображения в нуле отличен от нуля, и по теореме о неявной функции отображение ехр осуществляет диффеоморфизм некоторой окрестности нуля в пространстве 1 „(К) на некоторую окрестность единицы в группе О).„(К).
Обратное отображение (определенное в некоторой окрестности единицы группы 61.„(К)) обозначается через 1ои. Злмичлнии 1. Отображение 1оя задается рядом 1оя(Е +Х) = 2 ( — 1)" и=| абсолютно сходящимся при 11Х11 < 1. 509 б 2. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ е'= !пп (1+-) п ьь и Предложение 1. Пусть д((), !'ь! < с, — дифференцируемая кривая в группе 61.„(К), удовлетворяющая условиям д(0) = Е, д'(О) = А. (11) Тогда ехрА = !!гп д( — ) .
(12) Доказательство. Кривая!сед(т) имеет при с=0 тот же касательный вектор, что и д(т), т. е. А. Это означает, что !оа д(() = (А+ о(т), откуда д(() = ехр((А + о(т)) и, в частности, д( — ) = ехр ( — „+ о( — )). Возводя последнее равенство в и-ю степень, получаем д( — „) = ехр(А + о(1)). откуда и следует (!2). П Теорема 1. Пусть С С 61.„(К) — группа Ди. Тогда (13) ехр Т(С) с С, причем отображение ехр осуществляет диффеоморфизм некоторой окрестности нуля пространства Т(С) на некоторую окрестность единицы группы С.
Доказательство. Длялюбого А е Т(С) существует кривая д(т) в группе С, удовлетворяющая условиям (11). Так как группа С замкнута в 01.„(Х) (см. предложение 1.1), то формула (12) показывает, что ехр А Е С. Злмячлниа 2. Можно показать, что отображение ехр осуществляет диффеоморфизм открытого подмножества пространства ь„(К), состоящего из матриц, асс комплексные собственные значения Л которых удовлетворяют условию ! (щ Л ! < я, на открытое подмножество группы 61„(К), состоящее из матриц, не имеющих отрицательных собственных значений. В целом отображение (9! не является диффеоморфизмом.
Следующее предложение является обобщением известной фор- мулы 510 Гл. 12. ГРУППЫ ЛИ Для того чтобы доказать второе утверждение теоремы, запишем отображение ехр: Т(С)- С (14) во внутренних координатах окрестности единицы группы С и окрестности нуля пространства Т(С). В качестве таких координат можно взять свободные неизвестные системы уравнений, задающей группу С в окрестности единицы, и соответствующие свободные неизвестные системы однородных линейных уравнений, задающей пространство Т(С). (Напомним, что неизвестными в данном случае являются матричные элементы.) Мы получим дифференцируемое отображение У некоторой окрестности нуля пространства К" (где с( = д1ш С) в это пространство.
Из формулы (10) следует, что дифференциал отображения у в нуле есть тождественное линейное отображение, и по теореме о неявной функции отображение у' осуществляет диффеоморфизм некоторой (быть может, меньшей) окрестности нуля пространства К' на некоторую область этого пространства. Переходя к отображению ехр, мы получаем отсюда второе утверждение теоремы. П ПРИмВР 1. В случае С = 51..(К) свойство (13) означает (см. пример ! .2), что если (г А = О, то де( ехр А = 1.
П Римпр 2. В случае С =0„(соответственно 11„) свойство (13) означает (см. примеры 1.3 и 1.6), что экспонента кососимметричной (соответственно косоэрмитовой) матрицы является ортогональной (соответственно унитарной) матрицей. Впрочем, это легко проверить и непосредственно (попробуйте сделать это). Теорема 2. Связная группа Ли однозначно определяется своим касательным пространством в единице.
Доказательство. Из предыдущей теоремы и предложения 1.3 следует, что связная группа Ли С с 01.„(К) совпадает с подгруппой, порожденной множеством ехр Т(С). (3 Подчеркнем, что в доказанной теореме ничего не говорится о существовании группы Ли с заданным касательным пространством На самом деле далеко не всякое подпространство пространства матриц является касательным пространством группы Ли. Необходимое условие для этого будет указано в следующем параграфе. Злмвчлнив 3.
Вообще говоря, С Ф ехрТ(С), т.е. отображение (!4) может не быть сюрьективным (даже дяя связной группы Ли С). Например, дзя группы С = Я д(Ж) пространство Т(С) состоит из матриц с нулевым следом. Комплексные собственные значения такой матрицы А имеют вид Л, -Л, где либо Л е и, либо Л Е Зи. В обоих случаях тг ехрА=в" +е ">-2, Е 2. ЭКСПОНЕНПИАЛЪНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 511 поэтому матрицы в е О, длх которых 1г з < -2 (например, матрица О ! 2) ), У-2 О не принадлежат ехр Т(О). Пусть С с О) „(К), Н с И. (К) — группы Ли.
Отображение у: С- Н называется гомоморфизмом групп Ли, если оно является гомоморфизмом групп и дифференцируемо, т.е. элементы матрицы г'(д) являются дифференцируемыми функциями от элементов матрицы д е С. Дифференциал гомоморфизма г" в единице есть линейное отображение пространства Т(С) в пространство Т(Н). Мы будем обозначать его просто через а)', не указывая явно, в какой точке берется дифференциал, Теорема 3. Пусть |: С- Н вЂ” гомоморфизм групп Ли.
Тогда Г(ехр А ) = ехр с!1(А) (15) для любого А Е Т(С). Доказательство. Воспользуемся предложением 1. Пусть д(2) — кривая в группе С, удовлетворяющая условиям (11). Тогда кривая )а(1) = у(д(т)) в группе Н удовлетворяет условиям 6(0) = Е, Ь'(О) = аУ(А). Следовательно, ЦехрА)=У(!!гп д( Ц ) = !пп Ь( Ц =ехрау(А). П Пример 3. В применении к гомоморфизму йе1; 61.„(С) — С* (= Я.,(С)) формула (15) означает, что бе! ехр А = ео" для любой матрицы А б 1.,„(С) (см. пример 1.2).
Теорема 4. Гомоморфизм связной группы Ли в какую-либо группу Ли однозначно определяется своим дифференциалом в единице. Доказательство. Пусть у: С- Н вЂ” гомоморфизм групп Ли. Теоремы 1 и 3 показывают, что, зная е(г", мы можем найти у(д) для элементов д из некоторой окрестности У единицы в группе С. Но если группа С связна, то, согласно предложению 1.3, она порождается окрестностью У и, значит, мы можем найти Г" (д) для всех де С. П В доказанной теореме ничего не говорится о существовании гомоморфизма групп Ли с заданным дифференциалом. На самом деле 512 Гл. 12.
ГРУППЫ ЛИ далеко не всякое линейное отображение касательных пространств является дифференциалом гомоморфизма групп Ли. Необходимое условие для этого будет указано в следующем параграфе. ЗАДАЧА 1. Доказать, что ядро Кег~ гомоморфизма групп Ли С вЂ” Н есть группа Ли, касательное пространство которой совпадает с Кег с(Г'. ЗАДАЧА 2. В тех же обозначениях доказать, что если 1щ ф' = = Т(Н) и группа Н связна, то 1щ г = Н. ф 3.
Касательная алгебра Ли и присоединенное представление Матрица 1А, В) = А — ВА называется коммутатором матриц А, В Е 1„(К). Не следует путать коммутатор в этом смысле с групповым коммутатором (А, В) = АВА 'В ', определенным для невырожденных матриц, однако эти два понятия тесно связаны между собой. Предложение 1. Для любых матриц А, В е 1„(Х) 1А, В] = у1-вв (ехр гА, ехр вВ ) в' (1Е) ~=*=о Д о к а з а т е л ь с т в о.
Дифференцируя групповой коммутатор (ехр гА, ехр вВ) = (ехр вА)(ехр вВ)(ехр гА) '(ехр вВ) ' по в при в =О, получаем —,(ехр ГА, ехр вВ)~ = (ехр гА)В(ехр гА) ' — В. Дифференцируя полученное выражение по г при г = О, приходим к равенству — (ехр гА, ехр вВ) = А — ВА =(А, В). П дв Теорема 1. Касательное пространство Т(С) группы Ли С с с б)„(Х) замкнуто относительно операции коммутирования, А, В е Т(С) =Ф 1А, В)е Т(С).
Доказательство. При фиксированном Г рассмотрим кривую д(в) = (ехр ФА, ехр вВ ) е С. $3. КАСАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА ЛИ 513 Так как д(0) = Е, то д'(0) = — (ехр гА, ехр гВ) ~ Е Т(С). Следовательно, 92 — ~(ехр гА, ехр гВ)~ = [А, В] е Т(С). Н г=в Подпространство пространства матриц, замкнутое относительно операции коммутирования, называется линейной алгеброй Ли. Таким образом, касательное пространство Т(С) любой (линейной) группы Ли С является линейной алгеброй Ли.
Рассматриваемое в этом качестве, пространство Т(С) называется касательной алгеброй группы С. ПРИМЕР 1. Для группы 81.„(К) доказанная теорема означает, что если 1г А = 1г В = О, то и 1г [А, В] = О. На самом деле последнее равенство верно всегда. Иными словами, 1гАВ = 1гВА для любых матриц А, В (проверьте это). ПРИМБР 2. Для группы О„(К) доказанная теорема означает, что коммутатор двух кососимметричных матриц А, В также является кососимметричной матрицей. Это легко проверить и непосредственно: [А В]т (А — ВА)т ВтАт АтВт ВА — АВ = — [А В] Операция коммутирования матриц антикоммутативна, т.
е. [А, В]+[В,А]=0, (17) и удовлетворяет тождеству Якоби [[А, В], С]+ ЦВ, С], А]+ [[С А], В] =О. (18) Последнее тождество легко проверяется непосредственным вычислением. Оно является следствием ассоциативности умножения матриц. Любая алгебра, в которой выполняются тождества (17) и (18), называется алгеброй Ли. Так, пространство В' с операцией векторного умножения является алгеброй Ли (см. пример 1.8.5).
Пространство 1 „(К) является алгеброй Ли относительно операции коммутирования. Теорема 1 означает, что касательное пространство Т(С) любой группы Ли С с О(.„(К) является подалгеброй этой алгебры. 514 Гл. 12. ГРУППЫ ЛИ Теорема 2. Дифференциал любого гомоморфизма групп Ли является гомоморфизмом их касательных алгебр. Доказательство. Пусть Г": С- Н вЂ” гомоморфизм групп Ли, и пусть А, В е Т(С). Согласно теореме 2.3, ,Г'((ехр гА, ехр зВ)) = (Г'(ехр тА), ((ехр зВ)) = = (ехр г аГ(А), ехр з аг'(В)). Как и в доказательстве теоремы 1, рассмотрим коммутатор (ехр тА, ехр зВ) при фиксированном т как кривую с параметром з в группе С, проходящую при з =О через единицу. Отображение аг переводит касательный вектор этой кривой при з = О в касательный вектор ее образа в группе Н. Таким образом, а7( —,(ехр зА, ехр зВ)~ ) = в,(ехр за)(А), ехр зЦ(В)) Теперь, дифференцируя по т при г = О и учитывая, что линейное отображение г(~ перестановочно с дифференцированием, мы получаем ввиду (16), что д(([А, В]) = [д)'(А), д)'(В)].
П (Дифференцируемый) гомоморфизм группы Ли С в группу Ли О(.(Ъ') называется линейным представлением группы С (как группы Ли) в пространстве Р'. Для каждой группы Ли С имеется некоторое замечательное линейное представление в пространстве Т(С), играющее важную роль в теории групп Ли. Оно строится следующим образом. Всякий элемент д е С определяет внутренний автоморфизм а(д) группы С по формуле а(д)х = дхд ' (х е С). (19) Этот автоморфизм является ограничением на С линейного преобразования Х ~ дХд ' пространства 1.„(К) и, в частности, дифференцируем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
