1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 90
Текст из файла (страница 90)
+( — 1)"У„(Х). Докажем, что КК] ' =Ки,...,а и что ~„..., у'„алгебраически независимы. Для этого вспомним, что каждая симметричная матрица ортогонально подобна диагональной матрице. Поэтому любой инвариант г" группы В(0„) однозначно определяется своим ограничением на подпространство В диагональных матриц. Так как диагональные матрицы, отличающиеся лишь порядком диагональных элементов, ортогонально подобны, то Др есть симметрический многочлен от диагональных элементов х„..., х„. Непосредственно проверяется, что ограничения на .0 инвариантов г„..., г'„суть элементарные симметрические многочлены от х„..., х„. Доказываемые утверждения вытекают теперь из теоремы о симметрических многочленах.
Заметим, что, как и должно быть, согласно теореме 3, в этом примере орбиты разделяются ннвариантами. ф 6. Алгебры с делением Из алгебраической замкнутости поля комплексных чисел следует, что единственные конечномерные алгебры над К, являющиеся полями, — это К и С. Однако если отказаться от коммутативности умножения, то можно построить еще одну такую алгебру, а именно, алгебру кватернионов, которая также играет заметную роль в математике и ее приложениях. Теория становится еще более содержательной, если в качестве основного поля рассматривать вместо К произвольное поле (например, Я).
Оиределение 1. Ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется телом. Алгебра, являющаяся телом, называется алгеброй с делением. ЗАмечАние 1. Кольцо, состоящее из одного нуля, не считается телом. 489 э б. АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ Иными словами, тело — это «некоммутативное поле».
Как и в поле, в теле нет делителей нуля и элементы, отличные от нуля, образуют группу по умножению (но уже не обязательно абелеву). Мультипликативная группа ненулевых элементов тела Р обозначается через Р'. Всякое тело Р может рассматриваться как алгебра с делением над своим центром Я(Р) =(ге Р: го=аз»аЕ Р), который, очевидно, является полем. Если Р— алгебра с делением над полем К и 1 — ее единица, то элементы вида А1, Л е К, образуют подкольцо, изоморфное Х и содержащееся в центре Я(Р) алгебры Р. Обычно эти элементы отождествляют с соответствующими элементами поля К.
При таком соглашении Х(Р) з Х. Алгебра Р называется центральной, если Е(Р) = К. Зддлчд 1. Доказать, что конечномерная ассоциативная алгебра является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда в ней нет делителей нуля. Наиболее простые и важные примеры некоммутативных алгебр с делением — это алгебры кватернионов. (Обобуценной) алгеброй кеатернионов над полем Х характеристики ~ 2 называется алгебра Р = Р(о,,у), порождаемая элементами «и у', удовлетворяющими соотношениям »'= г», у'=УУ, »у = — у» (а, УУ Е К'). Легко видеть, что базис алгебры Р над К составляют элементы 1, »', у' и У« = »у', причем элементы», у', У«попарно антикоммутируют и В частности, при Х = К алгебра Р( — 1, — 1) есть обычная алгебра кватернионов Н, открытая Гамильтоном в 1843 г. Алгебра Р(1, 1) изоморфна алгебре матриц Е,(К). Изоморфизм между этими алгебрами устанавливается следующим образом: О 1 ' Π— 1 ' У 1 О ' ~ — 1 О Для того чтобы выяснить возможность деления в алгебре кватернионов, определим для любого кватерниона д = х + ул + гу + иУ«(х, у, г, у» Е К) 490 гл.
у ц линейные ппедстлнления н лссоцнАтнвньуе ллгевуьу сопряженный кватернион Ч по формуле Ч = х — уг — ху' — иуг. Легко видеть, что линейное отображение Ч Ч, называемое стандартной инволюцией, является антиавтоморфизмом алгебры Р, т. е. Ч| Чг — ЧгЧ~. (Ввиду линейности достаточно проверить это равенство для базисных элементов.) Элемент Ау(Ч) = ЧЧ = х' — ауг — уугг + а,Зиг Е К (42) называется нормой кватерниона Ч. Ясно, что Ч обратим тогда и только тогда, когда Аг(Ч) ~ 0 (и в этом случае Ч ' = Аг(Ч) 'Ч). Алгебра Р = Р(а,,З) является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда уравнение хг — ау' — уухг + а ууиг = 0 не имеет ненулевых решений в поле К, или, как говорят, квадратичная форма (42) не представляет нуля над К. В частности, это условие выполнено, если К = гс и а = уу = — 1, так как в этом случае квадратичная форма (42) положительно определенна.
Заметим, наконец, что для любых а, Ь е К' имеем (аг)г = ага, (Ьу)г = Ьгуу, (аг)(Ьу) = — (Ьу)(аг). Это показывает, что Р(ага, Ьг,З) Р(а, ~3). Злдлчл 2. Доказать, что в алгебре Р(1,1) =1 (К) норма есть определитель соответствующей матрицы. Как в матричных терминах интерпретируется стандартная инволюция этой алгебры? Здддчд 3. Доказать, что Р(а, 1) = 1 (К) при любом а Е К'.
Если Р— конечномерная алгебра с делением над полем К, то для любою хе Р подалгебра К(х) коммутативна и, следовательно, является полем. Поэтому всякая конечномерная алгебра с делением над алгебраически замкнутым полем К совпадает с полем К. Когда мы имеем дело с алгебрами над алгебраически незамкнутым полем, всегда полезно посмотреть, что происходит при алгебраических расширениях этого поля. Например, для изучения 4 6.
АлгеБРы с делением 491 вещественных алгебр полезно посмотреть, что происходит при их комплексификации. Разрешив делать алгебраические расширения, мы ставим себя в ситуацию, равнозначную той, когда основное поле алгебраически замкнуто. С другой стороны, многие свойства алгебр при таких расширениях сохраняются. Пусть А — алгебра над полем К и Р— какое-либо расширение поля К. Векторное пространство А(Р) = РЗ А можно превратить в алгебру над Р, определив умножение его элементов правилом (Л Зи)(р З ю) = ЛР З иу.
Отождествляя каждый элемент аЕ А с элементом 1ЗаЕ А(Р), мы получаем вложение алгебры А в А(Р). Если (е„..., е„) — базис алгебры А над К, то умножение в А определяется формулами вида е,е, =2 с„е„. Элементы сел е К называются структурными константами алгебры А в базисе (е„..., е„). Те же формулы определяют умножение в алгебре А(Р) в базисе (е„..., е„). Однако смысл расширения основного поля состоит в том, что в алгебре А(Р) существуют другие базисы, в которых структурные константы могут иметь более простой вид.
Для того чтобы этот метод привел к каким-то результатам, нужно, конечно, заранее доказать инвариантность каких-то свойств алгебры при расширении основного поля. Предложение 1. Полупростая конечномерная ассоциативная алгебра А над полем К нулевой характеристики остается полупростой при переходе к любому расширению Р поля К. Д оказ а тельство. Воспользуемся критерием полупростоты конечномерной ассоциативной алгебры, связанным со скалярным умножением (теорема 3.2).
Очевидно, что в базисе, составленном из элементов алгебры А, матрица скалярного умножении в алгебре А(Р) такая же, как в алгебре А. Следовательно, она невырожденна, а это означает, что алгебра А(Р) полупроста. П Пусть, например, Ь вЂ” конечное расширение поля К. Рассмотрим его как алгебру над К. Эта алгебра полупроста (и даже проста) и, согласно доказанному, для любого расширения Р поля К алгебра Ь(Р) также полупроста и, следовательно, является прямой суммой нескольких конечных расширений поля Р. Пусть о е Т ",К вЂ” какой-либо элемент и й — его минимальный многочлен над К. Тогда Ь Э К[а[ К[х[/(й) 492 Гл.
11. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОНИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЪ| и, следовательно, Ь(Р) З Р(а) Р(х)((Ь). Если многочлен Ь приводим над Р и, в частности, если он имеет корень в Р, то Р[(л] и, тем более, Ь(Р) — не поля. Поэтому последовательными простыми алгебраическими расширениями поля К мы можем получить такое конечное расширение Р, что л(Р( — Рл лР ( =Ш Ь(. (43) Если Р э К вЂ” такое расширение, что имеет место изоморфизм (43), то говорят что Ь расщепляется над Р. В качестве примера применения этой идеологии докажем теорему о примитивном элементе. Теорема 1. Всякое конечное расширение Ь поля К нулевой характеристики является простым, т.
е. порождается над К одним элементом. Доказательство. Пусть (1|ш Ь = и. Если Ь не порождается как алгебра над К одним элементом, то для любого а е Ь элементы 1, а, (х',..., а" ' линейно зависимы. Это можно записать в виде тождественного равенства нулю определителя, составленного из координат элементов 1, с(, (тл,..., с(" ' в каком-либо базисе Ь над К. Как функция от координат элемента а этот определитель представляет собой некоторый многочлен с коэффициентами из К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
