1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 87
Текст из файла (страница 87)
При таком соглашении всякий элемент алгебры КС записывается в виде а= >, ад (а ЕК). (20) гг о В 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 471 Из ассоциативности умножения в группе С следует ассоциативность умножения в алгебре КС. Всякое линейное представление )т группы С в векторном пространстве Ъ' над полем К однозначно продолжается до линейного представления алгебры КС в том же пространстве по формуле й( 2 а,д) = 2, а,В(д). Обратно, ограничение всякого линейного представления алгебры КС на С есть линейное представление группы С. Тем самым устанавливается естественное взаимно однозначное соответствие между представлениями группы и представлениями ее групповой алгебры.
Очевидно, что соответствующие друг другу представления группы С и алгебры КС имеют один и тот же набор инвариантных подпространств. В частности, неприводимым представлениям группы отвечают неприводимые представления групповой алгебры, и наоборот. Теорема 1. Если сйагК1п, то алгебра КС полупроста. До ка з а тельство. Воспользуемся теоремой 3.2. Для этого вычислим скалярное умножение (11) на алгебре КС. Легко видеть, что для любого д Е С 1г Т(д) = ~ 10, дфе.
Поэтому для любых д, 6 е С (21) 10, дггфе При с)гаг К(п это скалярное умножение невырожденно и, значит, алгебра КС полупроста. П Будем теперь считать, что К вЂ” алгебраически замкнутое поле, характеристика которого не делит и. Тогда алгебра КС есть прямая сумма матричных алгебр (см. $3). Теорема 2, Группа С имеет, с точностью до изоморфизма, лишь конечное число неприводимых представлений над полем К.
Ох размерности и„..., п, подчиняются соотношению пг«- ..«-пг и, (22) а их число з равно числу классов сопряженных элементов группы С. 472 Гж ~ ц ЛЙИЕЙИЫЕ 11рЕд~тдпдпыия Й АСОзцйдтйВЫЫЕ АЛГЕВрЬ~ Доказательство. Первое утверждение теоремы вытекает из теоремы 3.5, а соотношение (22) — из формулы (18). Число з по формуле (19) равно размерности центра алгебры КС. Найдем этот центр.
Элемент (20) принадлежит центру алгебры КС тогда и только тогда, когда он перестановочен со всеми элементами группы С, т. е. когда Бай '= 2 а,(Ьдй ')= 2 а„,,„д=а зв С звС для любого А Е С. Последнее означает, что в выражении элемента а коэффициенты при сопряженных элементах группы С равны. Следовательно, центр алгебры КС есть линейная оболочка элементов вида 2 д, где С вЂ” класс сопряженных элементов, а его ее с размерность равна числу классов сопряженных элементов.
П ПРимеР 1. Для абелевой группы все неприводимые представления одномерны (следствие 2 теоремы 1.2). Их число равно и, так как в этом случае каждый класс сопряженных элементов состоит из одного элемента. Это согласуется с формулой (22). ПРимер 2. Так как при любом гомоморфизме группы С в абелеву группу ее коммутант переходит в единицу, то одномерные представления любой группы С сводятся к представлениям факторгруппы С/С'. В частности, группа Я„при любом и имеет ровно два одномерных представления: тривиальное и нетривиальное, ставящее в соответствие каждой подстановке ее знак.
ПРимеР 3. Для группы Я, заведомо имеются следующие три попарно не изоморфных неприводимых представления: 71, — тривиальное одномерное представление, А,' — знак подстановки, В, — двумерное представление, при котором Я, изоморфно отображается на группу симметрии правильного треугольника (проверьте, что это представление неприводимо не только над 1с, но и над О).
Так как в Я, имеется ровно три класса сопряженных элементов (или, если угодно, так как 1'+ 1'+ 2' = 6), этим исчерпывается список неприводимых комплексных представлений группы Ям П ример 4. Аналогичным образом можно получить следующий полный список неприводимых комплексных представлений группы Я~: В, — тривиальное одномерное представление, $4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 473 В,' — знак подстановки, В, — композиция гомоморфизма о4 — о4/Ъ'„— 3, и двумерного неприводимого представления группы Н,,  — изоморфизм на группу вращений куба, В,' — изоморфизм на группу симметрии правильного тетраэдра. ЗАмЕчдние 1. Как следует из примеров 3 и 4, все неприводимые комплексные представления (а, значит, и вообще все комплексные представления) групп Я, и о4 являются комплексификациями вещественных представлений. Можно доказать, что то же самое верно для группы Я„при любом !т.
Поэтому, учитывая предложение 1, с вещественными представлениями групп Я„можно работать так же, как с комплексными. В частности, для них справедлива вся теория, изложенная в этом параграфе. ЗАДАЧА !. Описать неприводимые комплексные представления группы диэдра Р„. ЗАДАЧА 2. Доказать, что что всякое неприводимое комплексное представление группы С х Н есть тензорное произведение неприводимых представлений групп С и Н (см. определение в задаче ! .3). Пусть В,.: С - Я.(7!) (4 = 1,..., з) — все неприводимые представления группы С над полем К. Тогда, произведя подходящие отождествления, мы можем считать, что КС=1.(Ъ;) щ...щ1.(7;), (23) причем В! есть просто проекция на !-е слагаемое в этом разложении.
Подпространства ЦР;) суть изотипные компоненты регулярного представления Т алгебры .КС, причем ограничение Т на 1.(1';) изомоРфно п,В!, где и, = б!п! 'Ус ПоэтомУ длЯ любых а, 6 е КС (а, 6) = ~ п,1ГВ!(а)В,(6) (24) !=1 (ср. формулу (12)). Рассмотрим теперь пространство К[С] всех функций на С со значениями в К. Поскольку всякая функция Р на С однозначно продолжается до линейной функции на .КС по формуле !р( 2„а,д) = 2 а,~р(д), уев фас то пространство К[С] естественно отождествляется с пространством, сопряженным к КС.
474 Гл. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ С другой стороны, имеющееся скалярное умножение в пространстве КС определяет его изоморфизм с сопряженным пространством. В частности, элементу д е С при этом изоморфизме соответствует функция чу,, определяемая согласно формуле (А) ( А) ( и до=с т, е. взятая с множителем п 6-функция 6,, в точке д '.
Перенесем с помощью указанного изоморфизма скалярное умножение из пространства КС в пространство К(С). Тогда для 6-функций мы получим О, дйфе, а для любых функций уу н у6— (25) Вычислим теперь скалярные произведения матричных элементов неприводимых представлений группы С. В каждом из пространств У (у = 1,..., з) выберем базис и обозначим через 1у„„(д', к = 1,..., и,) (д', к)-й матричный элемент оператора В,(д) в этом базисе. Функция ~р„.у е К(С), определенная таким образом, называется (9', й)-м матричным элементом представления В, С другой стороны, обозначим через Е„» линейный оператор в пространстве У, матрица которого в выбранном базисе есть матричная единица .Ету. Ввиду разложения (23) элементы Ео. составляют базис пространства КС. Из формулы (24) следует, что (26) (Еи„, Е.м) = и,, а все остальные скалярные произведения элементов Ео, равны нулю.
При изоморфизме пространств КС и К[С) элементу Еп„в силу (26) соответствует матричный элемент уу,.„,. с коэффициейтом п, Следовательно, ('Р,м~ ууму) = „ (27) а все остальные скалярные произведения матричных элементов равны нулю. й 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 4?5 Особенный интерес представляют суммы диагональных матричных элементов, называемые характерами представлений В,. Вообще, пусть В: С- 61.(Ъ') — любое линейное представление группы С. Определение 2.
Функция Х Е К[С], определяемая формулой Х(д) = 1г В(д), называется характером представления В. Очевидно, что характер суммы двух представлений равен сумме их характеров. Так как следы сопряженных операторов равны, то Х(йу)! ) = Х(у) !Гу, и Е С. Функции Х Е К[С), обладающие этим свойством, называются центральными.
Они образуют в К[С) подпространство, которое мы обозначим через ЯК[С). В частности„пусть Х! (1=1,..., г) — характер представления В, Из (2?) следует Теорема 3. Характеры Х„..., Х, образуют ортонормированный базис пространства г К[С), т. е. (28) (Х„Хт) = б, . Пусть В: С вЂ” ! 61(Ъ') — какое-то линейное представление и Х— его характер. Следствие 1.
Кратность, с которой неприводимое представление В, входит в представление В, равна (Х, Х!). Доказательство. Если В 2; к,В„то х = 2; к!Х! и, *=! '= ! следовательно, (Х, Х!) = й,. П Следствие 2. Представление В неприводимо тогда и только тогда, когда (Х, Х) = 1. Доказательство.
Если В = 2; й В!, то (Х, Х) = 2; )с,.' = 1 !=! ! тогда и только тогда, когда одна из кратностей к! равна 1„ а все остальные равны О. П В случае К = С вместо билинейного скалярного умножения (25) в пространстве К[С) можно рассматривать эрмитово скалярное умножение (ю! Ф)=-„' Е р(у)Ф(а), (29) ьес 476 Гл. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ более удобное для практических вычислений. Если в каждом из пространств У,.
выбрать базис, ортонормнрованный относительно инвариантного эрмитова скалярного умножения (см, теорему 2.3), то операторы представления запишутся унитарными матрицами, т. е. будут выполняться соотношения Соотношения (27) и (28) в терминах эрмитовой метрики (29) означают, что матричные элементы уп» образуют ортоеональнь»й базис пространства С[С], причем™ 1 ('рв»[З»в») = и а характеры х» образуют ортонормированный базис пространства ЯС[С[. ПРимеР 5.
Характер одномерного представления совпадает с единственным матричным элементом и, если угодно, с самим представлением. Циклическая группа (а)„имеет и одномерных комплексных представлений Вы В„ ...,тт„ „ определяемых условиями Л (а) = ы», »е = е' 1". Поэтому характеры этой группы задаются следующей таблицей: Соотношения ортогональности для характеров означают в данном случае, что если таблицу характеров поделить на»/и, то получится унитарная матрица.
П Рим еР 6. Пользуясь описанием неприводимых представлений группы Я,, данным в примере 4, нетрудно получить следующую 4 4. ЛИНЕйНЫК ПРЕДСтЛВЛКНИя К0НкЧНЫХ ГруПП 477 таблицу характеров группы Я,: В левом (входном) столбце этой таблицы указаны представители классов сопряженных элементов группы Я„, а в крайнем правом приведены числа элементов в этих классах, необходимые для вычисления скалярных произведений. Так, например, (Х2 Хз) =(Х2~Хз)= 24(1.2 3+б О ( — 1)+3 2 ( — 1)+8 (-1) О+б О 1) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
