1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 82
Текст из файла (страница 82)
С другой стороны, если с е С вЂ” корень многочлена уу, то с или с — корень многочлена У. Поэтому наи достаточно доказать, что всякий многочлен положительной степени с вещественными коэффициентами имеет корень в С. Пусть 1 е Ж[х[ — многочлен положительной степени, Ь и Ж вЂ” его поле разложения над Ж и С = Оа) Ь/Ж. Пусть Н вЂ” какая-либо силовская 2.подгруппа группы С. Рассмотрим поле Ь = К.
Так как б)ш К = [С: Н~ — нечетное число, то в силу Н предыдущего С =Н, т. е. С вЂ” 2-группа. 1)о тогда по теореме 3 поле Ь содержится в поле, получаемом из Ж последовательными присоединениями квадратных радикалов, и из сформулированного выше свойства 2) следует, что Ь = Ж или С.
Таким образом, у имеет корень в С. Глава 11 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ В приложениях теории групп важнейшую роль играют их линейные представления. Имеются следующие два основных источника линейных представлений групп: 1) для любой группы С дифференцируемых преобразований, оставляющих на месте некоторую точку, взятие дифференциала в этой точке есть линейное представление группы С; 2) любое действие группы на множестве Х определяет по формуле (?) гл. 10 ее линейное представление в пространстве функций на Х. С другой стороны, алгебра матриц, благодаря своему богатству и высокой эффективности производимых в ней вычислений, служит эталоном при изучении многих алгебраических структур. Сравнение с ней осуществляется при помощи линейных представлений.
ф 1. Инвариаитные подпростраиства Для всякого векторного пространства Ъ' над каким-то полем К мы будем обозначать через 1.(У) (ассоциативную) алгебру всех линейных операторов на Ъ'. Если пространство 1' конечномерно, то линейные операторы можно задавать матрицами в каком-либо базисе, и таким образом устанавливается изоморфизм алгебры Е(Ъ') и алгебры матриц 1.„(К) (где п = д1ш Ъ').
Определение 1. Линейным представлением множества Х в векторном пространстве Ъ' называется любое отображение В: Х -+ 1.(У) Пространство У называется пространством представления, его размерность — размерностью представления, а операторы В(х), х е Х, — операторами представления. Если в множестве Х определены какие-либо операции, то естественно потребовать, чтобы представление было согласовано с ними. 446 Гл. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕЬРЫ Так, линейное представление группы определяется требованиями В(ху) = В(х)В(у), В(е) = Е (и тем самым может быть определено как гомоморфизм в группу 61.(Ъ')), а линейное представление ассоциативной алгебры— требованиями В(х+ у) = В(х)+ В(у), В(ху) = В(х)В(у), В(Лх) = ЛВ(х), Л Е К.
Мы, однако, сначала займемся теми свойствами линейных представлений, которые имеют смысл безотносительно к каким-либо операциям в множестве Х. Определение 2. Пусть В: Х вЂ” 1.(Ъ') и Я: Х -+1.(ГУ) — два линейных представления одного и того же множества Х над одним и тем же полем. Морфизмом представления В в представление Я называется любое линейное отображение р: У- ГУ со следующим свойством: для любого х е Х диаграмма У вЂ” ~ У г(*) коммугативна.
Обратимый морфизм называется изоморфизмом представлений. Линейные представления В и В называются изоморфными, если существует изоморфизм представления В в представление Я. В этом случае пишут В = В. Изоморфные представления в подходящих базисах пространств У и сг записываются одними и теми же матрицами. ПРимеР 1. Линейное представление одноэлементного множества — это просто один линейный оператор в каком-то векторном пространстве. Два линейных представления одноэлементного множества над алгебраически замкнутым полем изоморфны тогда и только тогда, когда матрицы соответствующих линейных операторов приводятся к одной и той же жордановой форме.
Таким образом, в этом случае классы изоморфных представлений параметризуются жордановыми матрицами. 447 $1. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА Замечание 1. Задача описания линейных представлений двухэлементного множества, не говоря уже о более мощных множествах, считается «дикой». Это означает, что по современным представлениям она не может быть решена ни в каком разумном смысле.
Однако реально интересны лишь представления множеств с теми или иными операциями (в первую очередь, групп), и в этой ситуации сложность описания представлений зависит вовсе не от количества элементов. Всякое линейное представление А: Х вЂ” Ь(»г) над полем К можно рассматривать как линейное представление над любым расширением Ь поля К, продолжив операторы представления до линейных операторов в пространстве Ъ'(Ь ) (см.
$8.1). В базисе пространства ьг(Ь ), составленном из векторов пространства Ъ', продолженное таким образом представление будет задаваться такими же матрицами, что и исходное представление. Предложение 1. Лусть Л: Х вЂ” Ь(Ъ') и Я: Х вЂ” Ь(«4г)— линейные представлениямножества Х над бесконечным полем К, и пусть 1 — какое-либо расширение поля К. Если представления гс и Я изоморфны над Ь, то они изоморфны и над К. Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем представления Л н Я матрицами в каких-нибудь базисах пространств )г и гэ'.
Изоморфность представлений Я и Я над К означает существование такой невырожденной матрицы С с элементами из К, что СВ(х) = Я(х)С Чх Е Х. (2) Соотношения (2) представляют собой систему однородных линейных уравнений относительно элементов матрицы С с коэффициентами из поля К. Пусть (С„..., С ) — фундаментальная система ее решений. Если представления В и Я не изоморфны над К, то г)е1(Л,С, +... + Л„С„) = О при любых Л„..., Л„б К и, следовательно, бег(1,Сг+... + 1 С„) есть нулевой многочлен от 1„..., 1 . Но тогда Йе1(Л,С, +... + Л„С„) = О при любых Л„..., Л„е Ь, а это означает, что представления В и Я не изоморфны над Х. П Для понимания структуры линейных представлений важную роль играют инвариантные подпространства.
Пусть задано представление В: Х вЂ” ЦЪ'). Подпространство У с И называется инвариантным относительно представления В, если оно инвариантно относительно всех операторов этого представления. Очевидно, что сумма и пересечение инвариантных подпространств являются инвариантными подпространствами.
С каждым ннвариантным подпространством У С 1' связаны два новых представления множества Х: подпредставление Вп: Х -ч $.(У)«Ле(х) = В(х)1ц« 448 Гл, ! !. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ и фикторпредставление В!тц.' Х вЂ” ~ 1.(У/СГ), В„~и(х)(е+ С!) =В(х)е+ У Представление Ви (соответственно В и) однозначно определяется тем свойством, что тождественное вложение У- Ъ' (соответственно каноническое отображение Ъ'- Ъ/У) является морфизмом представлений. В матричной форме все это выглядит следую!дим образом: если базис пространства И выбран так, что какое-то число первых базисных векторов составляет базис инвариантного подпространства У, то Определение 3.
Линейное представление (1) называется не- приводимым, если У Ф 0 и не суп!ествует нетривиальных подпространств У С Ъ', инвариантных относительно В. Очевидно, что всякое одномерное представление непрнводимо. П Риь!БР 2. Представление П аддитивной группы Ж поворотами евклидовой плоскости Е', задаваемое в ортонормированном базисе (е„ е ) формулой П(~) = (-. 1, з1п ! соз т / ' неприводимо, так как никакое одномерное подпространство не переходит в себя при всех поворотах. Однако если рассматривать это представление как комплексное, то оно будет приводимо.
Более точно, одномерные подпространства, натянутые на векторы е, — !е и е, + !ез, будут инвариантны, и в базисе, составленном из этих векторов, представление будет иметь вид 0 (см. пример 6.2.3). П РимеР 3. Изоморфизм Я4:-Бунт,Л (см. пример 4.6.19) определяет линейное представление группы о4 в пространстве Ез.
докажем, что оно неприводимо. Так как ортогональное дополнение к инвариантному подпространству также инвариантно, то достаточно доказать, что нет одномерных инвариантных подпространств, но это очевидно. На самом деле указанное представление неприводимо 449 $ |. ИНВАРИАНТНЪ|Е ПОДПРОСТРАНСТВА не только над К, но и над С. Это вытекает из следующего общего предложения.
Предлолгеяие 2. Пусть В: Х - 1.(У) — неприводимое нечет- номерное вещественное линейное представление множества Х. Тогда комплексификация представления гс также неприводима. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что И' с У(С) — нетривиальное инвариантное подпространство. Заметим, что если какое-либо надпространство пространства У(С) инвариантно относительно комплексного сопряжения, то оно вместе с любым вектором содержит его вещественную и мнимую части и, значит, является комплексификацией некоторого подпространства пространства У.
Отсюда следует, что инвариантные подпространства Иг и Иг и Иг+ И' являются комплексификациями каких-то инвариантных надпространств пространства У. В силу неприводимости представления В должно быть Игп И'=О, И" +РУ = У(С), т. е. У(С) = И'й|И', но тогда д|ш У(С) = 2 йгп И", что противоречит нечетномерности пространства У.
(З П РИМЕР 4. Пусть У есть п-мерное векторное пространство с базисом (е„ ..., е„). Линейное представление М группы Я„, определяемое формулами М(а)е, = е,,| (а Е Я„), называется мономиальным представлением. Это представление приводимо: можно указать по меньшей мере два нетривиальных инвариантных подпространства: одномерное подпространство (е, +... + е„) и (и — 1)-мерное подпространство У=(2 х,е,: 2,х,.=О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
