1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Докажем, что если сваг ХС = О, то представление М = Мг неприво- О димо. В самом деле, пусть сг с У, — инвариантное подпространство и х = 2 х,.е| е гг — ненулевой вектор. Так как 2;х,. =О, то не все числа х„..., х„равны между собой. Пусть для определенности х, ~ х. Тогда х — М((12))х = (х, — хз)(е, — е ) Е сГ, 450 Гл. 11. ЛИНЕЙНЫЕ НРЕЛСТАВЛЕНИЯ И АСС011ИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ откУда е, — ез Е У. ПРименЯЯ к е, — е, опеРатоРы пРедставлениЯ, мы получаем, что е,. — ет Е У при всех 1,,у'; но тогда У = 1:.
ПРИМЕР 5. Пусть А — ассоциативная алгебра. Тогда формула Т(а)х = ах (а, х Е А) определяет линейное представление Т алгебры А в своем собственном пространстве, называемое ее (левым) регулярным представлением. Подчеркнем, что это именно представление алгебры, т. е. Т(а+Ь)= Т(а)+ Т(Ь), Т(аЬ) = Т(а) Т(Ь), Т(Ла) = Л Т(а). Например, второе из этих свойств эквивалентно ассоциативности умножения в А. Инвариантные надпространства для этого представления суть не что иное, как левые идеалы алгебры А. Если р: Р" -+ У вЂ” морфизм представления В: Х вЂ” !.(Ъ') в представление Я: Х вЂ” !.(ГТ), то !ш 1с есть инвариантное подпространство в У, а Кегр есть инвариантное подпространство в И, Поэтому справедлива Теорема 1.
Всякий морфизм неприводимых представлений есть либо изоморфизм, либо нулевое отображение. В дальнейшем мы будем без специальных оговорок предполагать, что все рассматриваемые линейные представления конечномерны. Теорема 2 (лемма Шура). Всякий эндоморфизм (т.е. морфизм в себя) неприводимого представления над алгебраически замкнутым полем скалярен. Доказательство. Пусть В: Х- Е(Ъ') — данное представление. Линейный оператор у Е !.(Ъ') является его эндоморфизмом, если он перестановочен со всеми операторами представления. Следовательно, если у — эндоморфизм представления В, то таковым является и 1ь — Лб при любом Л Е К.
Выбрав в качестве Л какое-нибудь собственное значение оператора р, мы получим по теореме 1, что р — Лб =О. С) Следствяе1. Пусть В: Х вЂ” 1.(И) и Я: Х -+ 1(У) — два неприводимых представления множества Х над алгебраически замкнутым полем. Тогда любые два морфизма представления В в представление Я пропорциональны. Доказательство. Если один из морфизмов равен нулю, то доказывать нечего. Поэтому мы должны только доказать пропорциональность любых двух изоморфизмов. Но если у: У вЂ” ЬГ и ф: 451 4 и инВАРиАнтные нОднРОстРАнстиА Ъ'- У вЂ” два изоморфизма представления В в представление Я, то 1Э 'ч: Ъ' 3г есть автоморфизм представления В. По лемме Шура ф-' р = АЕ, откуда р = А ф.
П Следствие 2. Всякое неприводимое предсгпавление абелевой группы нид алгебраически замкнутым полем одномерно. Д о к а з а т е л ь с т в о. В случае абелевой группы все операторы представления перестановочны между собой и, значит, каждый из них является эндоморфизмам представления. По лемме Шура все ани скалярны. Следовательно, любое подпространство инвариантна, и представление может быть неприводимым, только если оно одномерно.
0 Определение 4. Линейное представление В: Х вЂ” ЦЪ') называется вполне приводимым, если для любого инвариантного надпространства У С Ъ' имеется инвариантное дополнительное подпрастранство И1. Отметим, что всякое неприводимое представление, как это ни странно звучит, вполне приводимо.
ПРИА1ИР б. Формула А(г)= 0 ~, (1ЕК) задает двумерное вещественное линейное представление аддитивной группы К. Нетривиальные инвариантные подпространства— это только одномерные подпространства, натянутые на базисные векторы (координатные оси). Так как эти надпространства дополнительны друг к другу, то представление В вполне приводимо. ПРимкР 7. формула 0 1 задает другое линейное представление той же группы. В этом случае единственное нетривиальное инвариантное подпространство— это одномерное подпространство, натянутое на первый базисный вектор.
Поэтому представление Я не является вполне приводимым. Предлолгеиие 3. Всякое подпредставление и всякое факторпредставление вполне приводимого представления вполне приводимы. Доказательство. Пусть В: Х вЂ” 1.(Ъ') — вполне приводимое представление и У с Ъ' — инвариантное подпрастранство. 452 Гл. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ Для любого инвариантного подпространства 0; с У в пространстве Ъ" су1цествует инвариантное дополнительное подпространство, скажем, Р;. Подпространство (Гг = ГГГ1 Ъ; будет тогда инвариантным подпространством, дополнительным к Ц в У. Пусть теперь гс г' — 1~/У вЂ” каноническое отображение и И', с Ъ/У вЂ” инвариантное надпространство. Тогда Ъ; = и '(И",)— инвариантное подпространство в Р' (содержа1цее У).
Если 1' с И вЂ” дополнительное к нему инвариантное подпространство, то И; = к(Ъ;) будет инвариантным подпространством, дополнительным к И; в Ъ'/У, П Дадим теперь другую характеризацию вполне приводимых представлений. Теорема 3. 1) Если представление В: Х вЂ” 1.(У) вполне приводимо, то пространство И может быть разложено в прямую сумму минимальных инвариантных надпространств.
2) Обратно, если пространство И может быть разложено в сумму(не обязательно прямую) минимальных инвариантных подпространств Ъ;,..., ~'„, то представление В вполне приводимо, причем для любого инвариантного надпространства У с И в качестве инвариантного дополнительного подпространства может быть взята сумма некоторых из У, (Минимальным инвариантным подпространством здесь называется подпространство, минимальное среди н е н ул е в ы х инвариантных подпространств.) Доказательство. 1) Берем любое минимальное инвариантное надпространство Ъо находим инвариантное дополнительное подпространство, в нем берем любое минимальное инвариантное подпространство Ъ', и т.
д. 2) Пусть У с И вЂ” инвариантное подпространство. Для любого подмножества Х с (1,..., и) положим Ъ; = ~ У, Пусть Т— ~Е! максимальное подмножество (быть может, пустое), для которого У Г1 7; =О. Тогда для любого у' ф1 должно быть У Г1 7; 11 ЗЕО и, значит, (1Г Э У~) Г1 1' зеО. Так как 11 — минимальное инвариантное надпространство, то Ъз с С У Ю 7;.
Следовательно, Ъ'=иван О ПРимеР 8. Если сЬагТС =О, то мономиальное представление группы о„, определенное в примере 4, вполне приводимо, так 453 $1. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА как пространство У в этом случае разлагается в прямую сумму минимальных инвариантных надпространств: У=(е, +...+е„)9У.
ЗАДАЧА 1. Рассмотрим линейное представление Ад группы б( „(К) в пространстве 1.„(К), задаваемое формулой Ад (А)Х = А ХА '. Доказать, что если сйагК =О, то (Е) и (Х Е 1.„(К): 1гХ =О)— минимальные инвариантные подпространства, и вывести отсюда, что представление Ао вполне приводимо. Определение Б. Суммой линейных представлений В,.: Х— Ц У), 1 = 1,..., т, называется линейное представление В=В,+...+В:Х 1(УЮ...ЮУ), определяемое по формуле В(х)(ь„..., ь ) = (В,(х)ь„..., В (х)ь ). В матричной записи В,(х) О ...
О О В,(х) ... О В(х) = О О ... В (х) Если В: Х вЂ” Е(У) — какое-то линейное представление и про- странство У разложено в прямую сумму инвариантных подпро- странств 1 "о..., У„, то В = В, +... + В, где В, = Вк. Теорема 3 дает следующую характеризацию вполне приводимых представлений. Следствие 1. Линейное представление вполне приводимо то- гда и только тогда, когда оно изоморфно сумме неприводимых представлений, Следствие 2.
Пусть В: Х вЂ” Е(У) — вполне приводимое представление, изоморфное сумме неприводимых представле- ний В„..., В„. Тогда всякое подаредставление, а также вся- кое факторпредставление представления В изоморфны сумме некоторых из представлений В, 454 Гл. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ Доказательство. Пусть — такое разложение в прямую сумму инвариантных подпространств, что т1 = В„ и пусть У с Ъ" — какое-то инвариантное подпространство.
По теореме 3 существует такое подмножество 1 с (1,...,т), что У = У Е 1',. Ясно, что Кюи — Ви — Е Кг ое т Далее, положим У =(1,..., ги)' 1. Тогда Ъ'= Ъ; Ю $', и, следовательно, л,=л1И-К, = ~ К, и тех ПРимеР 9. Всякое неприводимое линейное представление однозлементного множества Х над алгебраически замкнутым полем К одномерно. Следовательно, всякое вполне приводимое представление множества Х над полем К задается линейным оператором, матрица которого в некотором базисе диагональна.
Пусть В: Х вЂ” 1.(Ъ') — вполне приводимое представление и (3) — какое-то разложение пространства У в прямую сумму минимальных инвариантиых подпространств. Определеиие 6. Озотииной компоненглой представления Л, отвечающей неприводимому представлению о множества Х, называется сумма 7'з1 тех слагаемых Ъ;. разложения (3), для которых г1 о, а также ограничение В1з1 представления т1 на зту сумму. Всякое (минимальное) инвариантное подпространство ГТ С У, для которого Во о, может нетривиальным образом проектироваться только на те слагаемые У разложения (3), для которых В = о, и потому содержится в Ъ; .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
