1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 81

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 81)

Тогда Р = Кл — квадратичное расширение поля (). Докажем, что Я(т/Р), если р ьв 1 (шоб 4), Я(~( — Р), если Р:— — 1(шоо4). 440 Гл. Ю. ГРУППЫ Порождающий элемент группы С действует на группе С, корней р-й степени из 1 как возведение в некоторую степень г (где [т],— порождающий элемент группы Е„"). Рассмотрим число р — ! а=г — г'+г' —...— г" =~, ~ — ~г з „р-а 'ь'1 ь=! где Н вЂ” символ Лежандра (см. пример 9.1.3).

Очевидно, что с ~ при деН, — а при дсС'1Н. Следовательно, о ~ Р н а' е Я. Пользуясь результатами примеров 9.5.5 и 9.1.3, получаем: откуда и вытекает доказываемое утверждение. Теория Галуа была создана в связи с проблемой решения алгебраических уравнений в радикалах. Будем говорить, что элемент о какого-либо расширения поля К представляется в радикалах над К, если он выражается через элементы поля К при помощи арифметических операций и извлечения корней (любых степеней).

Иначе говоря, это означает, что о принадлежит последнему полю в цепочке расширений К=К сК,с ° сК„ в которой К,. = К,,(а,.), где о,." е К,, для некоторого еа е й[. Предложение 1. Если многочлен г" с К[х] неприводим и хотя бы один его корень представляется в радикалах над К, то и все его корни обладают этим свойством. Доказательство. Пусть а, и о — корни многочлена г" в каких-то расширениях поля .К. Тогда существует изоморфизм поля К(о,) на поле К(с~э), переводящий а, в ог.

Поэтому, если а, представляется в радикалах над К, то и а обладает этим свойством. П Алгебраическое уравнение г"(х) = О, где Г' е К[а], называется разрешимым в радикалах над К, если каждый его корень представляется в радикалах над К. Это равносильно тому, что поле 441 $7.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА разложения Ь многочлена Г над К содержится в поле, получаемом из К последовательными присоединениями корней из каких-то элементов. Основной результат Э. Галуа (1830 г.), касающийся разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, заключается в следующей теореме. Теорема 2.

Пусть 7' — неприводимый многочлен над полем К нулевой характеристики и Ь вЂ” его поле разложения над К. Уравнение Г(х) =О разрешимо в радикалах над К тогда и только тогда, когда группа Оа1 ЦК разрешима. Доказательство этой теоремы основано на том, что если Р— поле, содержащее и различных корней п-й степени из 1, то его расширения вида Р(о), где о" = и ŠР— это то же самое, что расширения Галуа с циклической группой Галуа, порядок которой делит и. Мы приведем ниже полное доказательство более простого варианта теоремы 2, относящегося к разрешимости в квадратных радикалах.

Пример 6.5 вместе с тем фактом, что группа Я„ разрешима только при и < 4, показывает, что общее алгебраическое уравнение степени и над (пронзвольным) полем й нулевой характеристики разрешимо в радикалах только при и < 4. Разрешимость в радикалах общего уравнения степени п над к означает возможность выразить единообразно, т.е. одной и той же формулой, корни любого уравнения степени п над к через его коэффициенты и фиксированные элементы поля к при помощи арифметических операций и извлечения корней. Отсутствие такой формулы не означает невозможности решения в радикалах конкретных уравнений.

Например, любое алгебраическое уравнение над С разрешимо в радикалах, так как его корни лежат в С. Традиционно наибольший интерес вызывала разрешимость в радикалах алгебраических уравнений над 1г. Теорема 2 позволяет доказать, что для любого и > 5 существуют такие неприводимые многочлены Г е фх) степени и, что уравнение Г(х) = О не разрешимо в радикалах. Разрешимость в квадратных радикалах определяется совершенно так же, как разрешимость в радикалах, с той разницей, что разрешается извлечение только квадратных корней.

Теорема 3. Пусть à — неприводимый многочлен над полем К характеристики ~ 2 и 5 — его поле разложения над К. Уравнение Г(х) = О разрешимо в квадратных радикалах над К тогда и только тогда, когда (18) д1шк5 =2" (п ЕМ). 442 Гл. 1О. ГРУППЫ Доказательство. 1) Пусть уравнение Х(х) =О разрешимо в квадратных радикалах. Тогда существует такая цепочка квадратичных расширений К=к,ск,ск,с ск„ что Х С К,. Имеем Йтк Х |Йорк К, =2", откуда и следует (18).

2) Обратно, пусть с1пп, Х = 2". Тогда группа С = Оа!Х/К есть 2-группа и, следовательно, разрешима. Рассмотрим какой-либо ее композиционный ряд С=Со~С~ ~Сг~'''~С,=(с). Очевидно, что все его факторы имеют порядок 2. Положив К, =Х,о, мы получим цепочку квадратичных расширений К=КоСК,СКС СК,=Х, которая и доказывает разрешимость уравнения Г(х) = О в квадратных радикалах. П ЗАМЕЧАНИЕ 1, Так как бее Х = Йш К(а), где а Е Х, — какой-либо корень многочлена Х, то из (18) следует, что бед Х есть степень двойки. Обратное неверно. ЗАмечАние 2.

Во второй части доказательства мы пользовались тем, что Х, — расширение Галуа поля К. Это, конечно, верно, если сваг К = О. Если сваг К = р > 2, то это вытекает из того, что многочлен Г сепарабелен, так как его степень, будучи степенью двойки, не делится на р. Разрешимость уравнений в квадратных радикалах вызывала интерес в связи с задачами на построение циркулем и линейкой. Всякая задача на построение циркулем и линейкой может быть сформулирована следующим образом: дана единица измерения и даны отрезки длин а„ ..., а„. требуется построить отрезок длины от.

Анализируя возможные элементарные шаги построения, можно доказать, что сформулированная выше задача может быть решена й 7. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА 443 тогда и только тогда, когда число ст представляется в квадратных радикалах над полем К = Я(а„..., аь). Злмвчлнив 3. Когда мы говорим о представлении вещественного числа в квадратных радикалах иад полем К с В, то исходное определение не исключает извлечения квадратных корней из отрицательных чисел, что выводит иас в комплексную область. Однако задание комплексного числа равносильно заданию его вещественной и мнимой частей, а арифметические операции над комплексными числами и извлечение квадратных корней из них сводятся к арифметическим операциям над вещественными числами и извлечению квадратных корней из положительных чисел.

Все эти операции выполнимы циркулем и линейкой. В частности, если сг трансцендентно над К, то задача неразрешима. Таким образом доказывается неразрешимость квадратуры круга (еслн радиус круга выбрать за единицу измерения, то задача равносильна построению отрезка длины и). Если ст алгебраично над К и у е К[х) — его минимальный многочлен, то в силу теоремы 3 задача разрешима тогда н только тогда, когда степень поля разложения многочлена г над К является степенью двойки. В частности, для этого необходимо, чтобы степень самого многочлена Т была степенью двойки. Пример 4. Удвоение куба сводится к построению отрезка длины ъ'2. Так как многочлен щз — 2 неприводнм над Я н его степень не есть степень двойки, то эта задача неразрешима. Пример 5.

Трисекция угла, равного р, сводится к построению отрезка длины соз х по отрезку длины соз р. По известной формуле 3 соз р = 4созз к — 3 сов х, 3 3' так что число сг = сов(у/3) является корнем многочлена у = 4х' — Зх — соз уэ е К(х), где К =Я(соз уэ). Если речь идет об универсальном методе трисекции угла, не зависящем от величины угла сэ, то мы должны рассматривать соз ьэ как независимую переменную.

Тогда многочлен Г" неприводим над К (проверьте это!), и задача неразрешима по той же причине, что в предыдущем примере. Для конкретных углов (например, для прямого) задача, конечно, может быть разрешимой, но можно указать такие значения вз, для которых она неразрешима. Критерием разрешимости является наличие у многочлена у корня в поле К. Если, например, го = 3., то К =Я и г =4х' — Зх — — не л з 1 имеет корней в К, так что задача неразрешима.

ПРимеР б. Деление окружности на тз равных частей (циклотомия) сводится к построению отрезка длины соз — „нли, что 2я 444 Гл. 1О. ГРУППЫ равносильно, числа е у" = соз — + з з[п —. Поэтому циклотомия зы я 2я.. 2я. возможна тогда и только тогда, когда степень кругового поля К„ = Ц(ез 1") является степенью двойки. Как известно, она равна ьэ(тз) (см. пример 6.3).

Если ть — простое число, то уз(тз) = тз — 1, так что должно быть и = 2 + 1. Легко видеть, что число 2" + 1 может быть простым только тогда, когда т есть степень двойки. Таким образом, число ть должно иметь вид тз = 2э' + 1. Такие числа называются числами Ферма. При )с = 0,1,2,3,4 получаем простые числа 3, 5, 1?, 25?, 65537, но при и = 5 получается уже не простое число. В настоящее время не известно ни одного простого числа Ферма, кроме перечисленных выше. Теория Галуа позволяет дать концептуальное доказательство основной теоремы алгебры комплексных чисел, использующее только следующие два свойства полей ЖиС 1) любой многочлен нечетной степени над полем Ж имеет корень в Ж; 2) в поле С возможно извлечение квадратного корня из любого элемента.

Оба эти свойства легко доказываются без привлечения основной теоремы [см. 9 3.4 и $1.3 соответственно). Из свойства 1) следует, что над полем Ж не существует неприводимых многочленов нечетной степени, отличной от единицы, и, значит, не существует нетривиальных конечнмх расширений нечетной степени (так как минимальный многочлен любого элемента такого расширения должен был бы иметь нечетную степень). Пусть 1' Е С[х[. Обозначим через 7 многочлен, получаемый из Г заменой всех коэффициентов комплексно сопряженными числами. Тогда )Г = 7У = Уу и, следовательно, ?7е Ж[х[.

Характеристики

Список файлов книги