1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Тогда А'= я(С') =(е) и, значит, группа А абелева. 2) Пусть Ж с С вЂ” такая нормальная подгруппа, что фактор- группа С/АГ = А абелева, и пусть 1г: С вЂ” А — канонический гомоморфизм. Тогда я(С') =А'=(е) и, значит, С'С АГ. С) 417 $ 2.
КОММУТАНТ Для анализа дальнейших примеров нам понадобятся следующие предложения, представляющие и независимый интерес. Предложение 1. Группа А„порождается тройными циклами, а при п > 5 — произведениями пар независимых транспоэиций. До к аз а т ел ьс т в о.
Так как группа Я„порождается транспозициями, то группа А. порождается произведениями пар транс- позиций. Доказываемые утверждения вытекают из следующих соотношений: (с2')(Яс) = (сэ')с), (с2)(Ы) =(у)с)(222), (с2)(фс) = 1(сэ)(1т)и(Яс)(1т)) (где с, с', й,... различны). П Предложение 2.
Группа 51.„(К) порождается элементарными матРиЦами 1-го типа, т. е. матРиЦами вида Е+ сЕи (с' ~ 2). Доказательство. Слегка модифицируя метод Гаусса, покажем, что путем элементарных преобразований только 1-го типа любую матрицу А ~ 51„(К) можно привести к единичной матрице. Отсюда, как и при доказательстве теоремы 4.4.2, будет следовать доказываемое утверждение. Пусть А = (а„) е 51„(К), и > 1. Вначале с помощью элементарных преобразований 1-го типа добьемся того, чтобы ап =1. Если а,, ~ 0 дпя некоторого ( > 1, то этого можно добиться за один шаг, прибавив к 1-й строке с-ю строку с подходящим коэффициентом. Если а„ =0 для всех с > 1, то ап ~О и, прибавив ко 2-й строке 1-ю строку, мы придем к уже рассмотренной ситуации.
Если уже ап = 1, то, вычитая из каждой строки 1-ю строку с подходящим коэффициентом, добьемся того, чтобы а,, = 0 при всех с > 1. После этою применим описанную процедуру к матрице порядка и†1, получаемой вычеркиванием из матрицы А 1-й строки и 1-го столбца. Продолжая так дальше, мы в конце концов придем к треугольной матрице, все диагональные элементы которой, за исключением, быть может, последнего, равны 1. Но так как определитель матрицы был по условию равен 1 и он не изменился при сделанных преобразованиях, то и последний диагональный элемент полученной треугольной матрицы равен 1. Наконец, с помощью обратного хода метода Гаусса, как и обычно, приведем полученную унитреугольную матрицу к единичной матрице.
сэ 418 Гл. !О. ГРУППЫ ПРимиР 1. Докажем, что Я„' = А„. Так как группа Я„/А„ абелева, то Я„' С А„. Так как группа Яз не абелева и ~А ~ = 3, то Я'= А,. Следовательно, при любом и группа Я„' содержит все тройные циклы и, значит, совпадает с А„. ПРимЕР 2. Докажем, что А,'= Ъ; и А'„=А„при и > 5. Так как группа А4/$4 абелева, то А, с 1г„но так как группа Аз не абелева, то А,' = Ъ;. Следовательно, при любом и группа А„' содержит все произведения пар независимых транспозиций и, значит, при и > 5 совпадает с А„. ПРимЕР 3.
Докажем, что Ы.„(К)'=О1„(К)'=Ы.„(К), если поле К содержит более 3 элементов. (На самом деле это верно и при (К( < 3, если только п > 3.) Так как группа О1„(К)/51.„(К) = К* абелева, то О1.„(К)' с 51„(К). Непосредственное вычисление показывает, что Л О 1 с ! (Л~ — 1)с Следовательно, если в поле К найдется элемент Л ~ О, ~1, то группа 51.„(К)' содержит все элементарные матрицы 1-го типа и, значит, совпадает с 51„(К). ЗАДАЧА 1.
Найти коммутант группы (а)„Х(6) (см. пример 1.15). Определим кратные коммутанты Соо группы С следующим образом: С!и — С' См+ и — (С~му Определение 1. Группа С называется разрешимой, если существует такое натуральное ги, что С' >=(е). Очевидно, что всякая подгруппа и всякая факторгруппа разрешимой группы разрешимы. Обратно, если нормальная подгруппа АГ группы С и факторгруппа С/йг разрешимы, то и группа С разрешима (докажите это). ПРимкР 4.
Как следует из примеров 1 и 2, группа Я„разрешима при и < 4 и не разрешима при и > 5. ПРИМ КР 5. Докажем индукцией по п, что группа В„(К) (невы- рожденных) треугольных матриц разрешима. Группа В,(Х) К* абелева. Далее, вычеркивая из каждой треугольной матрицы порядка и последнюю строку и последний столбец, мы получаем гомоморфизм /: в„(к) в„,(к). 419 4 з. действия По предположению индукции группа В„, (К) = В„(К)/Кег г" разрешима. Группа КегУ состоит из матриц вида 0 (5) 0 ' О ... О с„ Поставив в соответствие каждой такой матрице число с„, мы получаем гомоморфизм Кег г"- К", ядро которого состоит из матриц вида (5) с с„= 1 и, как легко видеть, коммутативно. Следовательно, группа Кег у, а значит, и группа В„(К), разрешимы.
ва 3. действия Напомним, что через Я(Х) мы обозначаем группу всех преобразований (взаимно однозначных отображений на себя) множества Х. В частности, Я((1,..., п)) = Я вЂ” симметрическая группа, или группа подстановок. Всякая подгруппа группы Я(Х) называется группой преобразований множества Х. Многочисленные примеры групп преобразований уже встречались нам в этом курсе. Понятие действия группы близко к понятию группы преобразований, но язык действий более гибок. Определение 1. Действием группы С на множестве Х называется любой гомоморфизм он С вЂ” » Я(Х). Иначе говоря, задать действие С на Х вЂ” это значит поставить в соответствие каждому д е С преобразование а(д) е Я(Х) таким образом, что а(дд) = с«(д)а(п). (6) По общему свойству гомоморфизмов единице группы С соответствует тождественное преобразование 1б, а обратному элементу— обратное преобразование. Результат применения преобразования а(д) к «точке» х Е Х обозначается через а(д)х или, если ясно, о каком действии 420 Гл.
10. ГРУППЫ идет речь, просто через дх. Свойство (6) переписывается в виде «ассоциативности»: (дн)х = д(нх). Если задано действие а группы С на Х, то пишут С: Х или просто С: Х. Всякая группа преобразований С с Я(Х) действует на Х «тавтологически» вЂ” путем тождественного гомоморфизма С вЂ” Я(Х). Обратно, для любого действия С: Х подгруппа 1щ а с Я(Х) а есть некоторая группа преобразований множества Х. По теореме о гомоморфизме 1щ а = С/Кег а. Нормальная подгруппа Кег а с С называется ядром неэффективности действия а. Если Кег а = (е), то действие а называется эффективным. Частным случаем действия является линейное представление — гомоморфизм группы С в группу Ж(Ъ') (обратимых) линейных преобразований векторного пространства»'.
Всякое действие С: Х естественным образом порождает ряд других действий: на любом инвариантном подмножестве множества Х, на множестве всех (или не всех) подмножеств множества Х, на фактормножестве множества Х по инвариантному отношению эквивалентности и т. п. Отметим особо индуцируемое действием а линейное представление а. группы С в пространстве всех (или не всех) функций на Х со значениями в поле К, определяемое по формуле (а,(д)Д(х) = у(а(д) 'х).
(у) Обычно мы опускаем символ а; тогда эта формула переписывается в виде (ду)(х) = у(д 'х). (8) Всякое действие С: Х, ограниченное на подгруппу Н с С, определяет действие Н:Х. Для любой группы С определяются следующие три ее важных действия на самой себе: 1) действие 1 левыми сдвигами: 1(д)х = дх, 2) действие г правыми сдвигами: г(д)х= хд '; $ 3.
дейстВия 421 3) действие а сопряжениями (внутренними автоморфизмами): а(д)х = дхд '. Действие 1 (а также т) эффективно, так что С 1ш1 с Я(С). Отсюда, в частности, получается теорема Кали: всякая конечная группа порядка п изоморфна некоторой подгруппе группы о„. Ядро неэффективности действия а, как мы уже видели в 5 1, есть центр 2 группы С. Действие С; Х определяет на множестве Х отношение эквивалентности — по правилу: х - у, если существует д е С, такой что у = дх с (проверьте аксиомы отношения эквивалентности1).
Классы эквивалентности называются орбитами. Таким образом, орбита, содержащая точку х (орбита точки х), есть подмножество Сх=(дх: дб С)СХ. Если все элементы множества Х эквивалентны (т. е. имеется всего одна орбита), то действие называется транзитивным. Пример 1. Орбиты группы поворотов плоскости вокруг точки о суть окружности с центром в точке о и сама эта точка. П у им е и 2. Группа всех движений и даже группа параллельных переносов действуют на плоскости транзитивно. П уимеу 3. Четверная группа Клейна Ъ4 действует на множестве (1, 2, 3, 4) транзитивно. П ЕИМЕи 4. Если ограничить действие 1 (соответственно г) группы С на себе на подгруппу Н с С, то орбитами будут правые (соответственно левые) смежные классы по Н.
Элементы группы С, эквивалентные относительно действия а группы С на себе сопряжениями, называются сопряженными, а орбиты этого действия — классами сопряженных элементов. Если группа С задана как группа преобразований некоторого множества Х, то описание ее классов сопряженных элементов может быть получено с помощью следующего простого соображения: если элемент д Е С переводит точку х в точку у, то элемент Ьд1г ' переводит точку йх в точку Ьу. П Римки 5. Пусть подстановка о е Я„разложена в произведение независимых циклов: 422 Гл. !О.
ГРУППЫ Тогда для любой подстановки т е Я„имеем: тстт ' =(т(г!)т(с,)... т(!' ))(т()',)т() )... т(!',))... Отсюда следует, что две подстановки сопряжены тогда и только тогда, когда в их разложениях в произведение независимых циклов наборы длин циклов совпадают. Таким образом, число классов сопряженных элементов в группе Я„ равно числу (неупорядоченных) разбиений числа и в сумму натуральных чисел.
П РимеР 6. Группа!зогп Ел собственных движений плоскости состоит из параллельных переносов и поворотов (см. $7.3). Из сформулированного выше принципа следует, что движение, сопряженное при помощи движения А параллельному переносу на вектор а, есть параллельный перенос на вектор с(А(а) (см. рис. 1 а)). (Впрочем, мы уже доказали это в $4.2.) Аналогичным образом, движение, сопряженное при помощи собственного бь (а) б) а) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
