1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Он же будет искомым базисом трансцендентности алгебры А. Общий случай сводится к рассмотренному с помощью подходящей замены вида х,. = у,. + а,.у„(1 = 1,..., и — 1), х„= у„(а„..., а„, Е к). Многочлен д(у„..., у„„у„) = ~(у, + а, у„,..., у„, + а„, у„, у„) также имеет степень гп и содержит у„с коэффициентом, равным д~(0,...,О, 1) =Г(ао..., а„ц 1), где Д и я, — старшие однородные компоненты многочленов ~ и д соответственно. Так как Д вЂ” ненулевой однородный многочлен, то он не может быть тождественно равен нулю на гиперплоскости х„= = 1. Следовательно, при подходящем выборе а„..., а„, многочлен д будет содержать у„" с ненулевым коэффициентом.
Положим и,. = в, + а,в„(т' = 1,..., п — 1), и„= в„; $ б. КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АЛГЕБРЫ 391 тогда д(ио..., и„) = /1и„..., и„) = О, и доказательство сводится к уже рассмотренному случаю. П Теорема 3. Если конечно порожденная алгебра А является полем, то зто (конечное) алгебраическое расширение поля К. Доказательство. Согласно теореме 2, существует такой базис трансцендентности (и.„..., и,) алгебры А, что алгебра А цела над подалгеброй В = К1и„..., и„].
Докажем, что  — также поле. Для любого и е В существует и ' е А. Элемент и-' цел над В, т. е. и- + Ь,и-™" +... Ч- Ь„,и-'+ Ь,„=О для некоторых Ь„..., Ь„е В. Отсюда и ' = — Ь, — Ьги —... — Ь и ' е В. Так как алгебра В изоморфна алгебре многочленов от д переменных, то прн д > 0 она не является полем.
Следовательно, д =О, т.е. А — алгебраическое расширение поля К. С1 Следствие. Если конечно порожденная алгебра А над алгебраически замкнутым полем К является полем, то А = К. Теорема 4. Пусть А — конечно порожденная алгебра над алгебраически замкнутым полем К. Тогда для любого не нильпотентного элемента ае А существует такой гомоморсЬизм ~р: А — К, что у(а) ~0 До к аз а тел ьст в о. По теореме 4.3 существует простой идеал р алгебры А, не содержащий элемента а. Заменив алгебру А факторалгеброй А/р, сведем доказательство к случаю, когда А не имеет делителей нуля и а~ О.
В этом случае рассмотрим любой максимальный идеал т' алгебры А' = А[а ') с Яцо1 А. Так как А'/т' — поле и в то же время конечно порожденная алгебра над К (как факторалгебра конечно порожденной алгебры), то по следствию предыдущей теоремы А'/т' = К. В качестве искомого гомоморфизма у можно взять ограничение на А канонического гомоморфизма р'.
А' - А'/т' = К С) 392 Гл. 9. КОММУТАТИБНАЯ АЛГЕБРА Применим эту теорему к исследованию систем алгебраических уравнений. Пусть М с К" — множество решений системы алгебраических уравнений У;(х„...,х„)=0 (1=1,...,т). (26) Рассмотрим алгебру А=К[х„...,хЛ(У„...,У ) (27) и канонический гомоморфизм сч К[х„..., х„) — ~ А (23) Положим х(х,) = и,; тогда А = К[и„..., и„[. (29) Каждой точке х Е К" соответствует гомоморфизм ф„; К[х„..., х„] — ~ К, г'~-~Дх), и, обратно, каждый гомоморфизм (30) тз: К[х„..., х„[- К имеет вид ф„где х — точка с координатами (ф(х,),..., ф(х„)). Если х Е М, то ф, переводит идеал (~„..., Г' ) в нуль и поэтому может быть пропущен через гомоморфизм х: К[х„..., х„[ — ~* — + К Г (31) Возникающий при этом гомоморфизм р: А — К переводит элементы и„..., и„, порождающие алгебру А, в координаты точки х, Обратно, каждый гомоморфизм р: А - К включается в коммутативную диаграмму (31) и поэтому имеет вид р., где х Е М.
Итак, точки множества М взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам алгебры А в К. Это по существу тривиальное соображение перекидывает мост между коммутативной алгеброй и алгебраической геометрией и, в частности, позволяет придать следующую форму теореме 4. 393 6 6. КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АЛГЕБРЫ Теорема 5 (теорема Гильберта о нулях). Пусть М вЂ” множество решений системы алгебраических уравнений (26) над алгебраически замкнутым полем К, и пусть многочлен г" Е К[х„..., х„] тождественно обращается в нуль на М. Тогда (32) для некоторого натурального к.
Доказательство. Определим алгебру А, как выше, и положим а = к(Г) Е А. Условие (32) означает, что элемент а нильпотентен. Если это не так, то по теореме 4 существует такой гомоморфизм х: А — К, что у(а) фО. Этот гомоморфизм определяет точку множества М, в которой многочлен г" не обращается в нуль. О Заметим, что и, обратно, всякий многочлен Г е Х[х„,, х„], удовлетворяющий условию (32), тождественно обращается в нуль на М. Следствие.
Система алгебраических уравнений (26) над алгебраически замкнутьчм полем К несовместна тогда и только тогда, когда (г"„...,Т„) э1, (33) т. е. когда существуют такие многочленьь д„..., д Е К[х„... ..., х.], что .Г1%+ +Х д (34) Доказательство. Применим теорему Гильберта о нулях к многочлену Г= 1. П Определение 2. Аффинным алгебраическим многообразием над полем К или алгебраическим многообразием в К" называется множество решений системы алгебраических уравнений. Пусть М с К" — алгебраическое многообразие.
Функции на М со значениями в К, являющиеся ограничениями многочленов на пространстве К", называются многочленами на М. Они образуют алгебру, называемую алгеброй многочленов на М и обозначаемую через К[М]. Ядром гомоморфизма ограничения р: К[х„..., х„] — ~ К[М] является идеал Т(М), состоящий из всех многочленов на К", тождественно обращающихся в нуль на М, Имеем К[М]=К[х„..., „И(М) 394 Гл. 9. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА По теореме Гильберта о базисе идеала идеал 1(М) имеет конечную систему порождающих: Очевидно, что многообразие М может быть задано уравнениями (26).
Идеал 1(М) называется идеалом многообразия М. Каждая точка х Е М определяет гомоморфизм Проведенное выше рассуждение показывает, что тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками многообразия М и гомоморфизмами алгебры К[М] в К. Отметим, что алгебра К[М], будучи алгеброй функций на М, не имеет нильпотентных элементов.
Обратно, пусть А = К[и„ ...,и„] — конечно порожденная алгебра. Рассмотрим гомоморфизм тп К[х„...,х„]- А, х,~ и,. Его ядро есть некоторый идеал 1 алгебры многочленов К[х,, ..., х„]. Пусть 1 =(1„...,~ ) и М с К" — алгебраическое многообразие, определяемое системой уравнений (26). Тогда точки многообразия М взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам алгебры А в К.
Однако идеал 1(М) может быть больше, чем 1, и из-за этого алгебра К[М] может не совпадать с алгеброй А. В любом случае Кег р ~ Кег я и, следовательно, имеется гомоморфизм ос А — К[М]. Его ядро состоит из тех элементов алгебры А, которые приходят (при гомоморфизме я) из многочленов, тождественно равных нулю на М, Согласно теореме Гильберта о нулях, если поле К алгебраически замкнуто, то Кег о. = габ А В частности, если алгебра А не имеет нильпотентных элементов (и поле К алгебраически замкнуто), то А = К[М]. Итак, в случае алгебраически замкнутого поля К мы установили взаимно однозначное соответствие между алгебраическими многообразиями в К" и алгебрами с и порождающими, не имеющими нильпотентных элементов. 395 в а. кОнечнО пОРОжденные АлГеБРы При нашей наивной точке зрения на алгебраическое многообразие просто как на подмножество в К" оно зависит не только от алгебры, но и от выбора системы порождающих в ней.
Однако кажется правдоподобным, что внутренние свойства алгебраического многообразия не должны зависеть от выбора систем порождающих алгебры многочленов на нем. Этот тезис реализуется при помощи следующего определения. Определение 3. Морфизмом алгебраического многообразия Мс К" в алгебраическое многообразие %с К называется отоб- ражение о[М- )]Г, (36) задаваемое многочленамн (т.е. координаты точки ]х(х), х е М, должны быть многочленамн на М). Обратимый морфизм называется изоморфизмом.
Аффинные алгебраические многообразия М и И называются изоморфными, если существует изоморфизм и: М- Х. Морфизм (36) определяет гомоморфизм алгебр о": К[Я[ — К[М[ (о (У))(х) = У(-(х)). (37) по формуле (38) к]п — ' к[я] Обратно, каждый гомоморфизм алгебр ]р: К[Я[ — К[М[ определяет морфизм он М- Ю, для которого с] = о". А именно, для всякой точки х Е М следует определить точку сг(х) Е А[ таким образом, что ]р[, =и] о[р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
