1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 70
Текст из файла (страница 70)
О Теорема Б. Пусть Ь вЂ” какое-либо расширение поля К. Совокупность Л всех элементов поля Т, алгебраических над К, является подполем, алгебраически замкнутым в Ь. (Последнее означает, что всякий элемент поля Ь, алгебраический над К, принадлежит К, т.е. алгебраичен уже над К.) Доказательство. Если и, и е К, то, согласно теореме 4, К(и, о) с К; в частности, и+и, ии, и ' йЛ.
Это означает, что К вЂ” подполе поля Ь. Пусть и е Ь вЂ” элемент, алгебраический над К, и пусть и„..., и„Е К вЂ” коэффициенты алгебраического уравнения, корнем которого он является. По теореме 4 Л"' = К(и„..., и„)— конечное расширение поля Л. Так как элемент и алгебраичен над К', то К'(и) — конечное расширение поля Л'. Следовательно, ЗВО Гл. 9.
КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА К'(и) — конечное расширение поля К и, значит, К'(и) с К; в частности, и Е К. П Поле К называется алгебраическим замыканием поля К в Ь. Например, поле всех алгебраических чисел есть алгебраическое замыкание Я поля Я в С. Так как поле С алгебраически замкнуто, то и 0 алгебраически замкнуто (в абсолютном смысле, а не только в С). Всякое конечное расширение поля Я называется полем алгебраических чисел (так что существует много различных полей алгебраических чисел).
Нетрудно доказать, что всякое поле алгебраических чисел изоморфно подпалю поля 0 (проделайте это!). В простом расширении поля Х, полученном присоединением корня неприводимого многочлена Г, этот многочлен не обязан (хотя и может) иметь более одного корня. Если мы хотим получить поле, в котором Г разлагается на линейные множители, необходимо, вообще говоря, дальнейшее расширение. Определение 2. Расширение Ь поля К называется полем разложения многочлена ГЕ К[х] (не обязательно неприводимого), если Г разлагается в Ь [х] на линейные множители и поле Ь порождается над К его корнями. Гомоморфизмы (в частности, изоморфизмы) расширений поля К, тождественные на К, называются гомоморфизмами (изоморфизмами) над К. Теорема 6.
Поле разложения любого многочлена Г е К [х] существует и единственно с точностью до изоморфизма над К. Для доказательства второй части теоремы нам понадобится Лемма 1. Пусть Р(гх) — расширение поля Р, полученное присоединением корня а неприводимого многочлена 6 Е Р[х], и р — гомоморфизм поля Р в некоторое поле Р. Гомоморфизм р продолжается до гомоморфизма ф: Р(о)- Р ровно столькими способами, сколько различных корней имеет в Р многочлен 6", полученный из многочлена П применением к его коэффициентам гомоморфизма ~р. Д о к а з а т е л ь с т в о. Искомое продолжение 4, если оно существует, задается формулой ф(аз+а,а+...+а гх )=ьь(а )+~р(а)д+...+ р(а )8 (аь, а„..., а Е Р), (22) где д = ф(а) — некоторый элемент поля Р. Применяя эту формулу к равенству 6(а) = О, получаем, что 6~(д) = О.
Обратно, $5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 381 если 11 Е г — корень многочлена Ьг, то формула (22) корректно определяет гомоморфизм 4:Р(о) — Р. 0 Доказательство теоремы б. Рассмотрим последовательность расширений К=К сК,СК,с..., в которой К, получается из К, , присоединением корня какого- либо неприводимого множителя ~,. степени > 1 многочлена 1 над К, , Так как число неприводимых множителей многочлена ~ каждый раз увеличивается, то эта последовательность не может быть бесконечной. Последний ее член К, = Г, и является полем разложения многочлена Г. Пусть теперь Х вЂ” другое поле разложения. Построим последовательность гомоморфизмов р,:К,— +Х (~=0,1,...,з) так, чтобы ра — -!б, р,[К,,=Ф, Согласно лемме, ю'-й шаг этого построения будет возможен, если многочлен У, = ~и-' имеет корень в Х.
Так как Д делит Г' в К,,[х], то ~, делит ~ в Х[х]. Но многочлен Г разлагается в Х [х) на линейные множители и, следовательно, любой его делитель положительной степени имеет корень в Х. Таким образом, искомые гомоморфизмы р,. существуют. Последний из них р,=р:ь- Х является изоморфизмом, так как, согласно определению поля разложения, поле Х является минимальным расширением поля К, над которым многочлен Г" разлагается на линейные множители.
С) ПРИМЕР 3. Найдем степень поля разложения Ь кубического многочлена у = ха+а,х'+а,х+ а Е К[х), сйагК Ф2. Рассмотрим различные случаи, которые могут представиться: 1) Г' имеет 3 корня в К. Тогда Ь = К. 2) Г' имеет 1 корень в К. Тогда Ь вЂ” квадратичное расширение поля К. 3) Г' не имеет корней в К и, следовательно, неприводим над К. Пусть тогда К,э К вЂ” кубическое расширение, полученное присоединением корня а, многочлена Г. Могут представиться два случая: 382 Гк Э.
КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА а) Г' имеет 3 корня в К,; тогда Ь = К„. б) у имеет только 1 корень в К,; тогда Ь вЂ” квадратичное расширение поля К, и, следовательно, б1ш,, Ь = б. Для различения случаев За) и Зб) рассмотрим дискриминант многочлена у, равный по определению где а„а, а, — корни многочлена Г" в Ь. (Выражение Р через коэффициенты многочлена у см. в $3.9.) Докажем, что если многочлен г' не имеет корней в К, то б(ш Ь =3 тогда и только тогда, когда Р Е К'. Заметим, что если Р (ь К', то Р ф К,', так как иначе К(ъ~Р) было бы квадратичным расширением поля К, содержащимся в К,, что невозможно в силу формулы умножения размерностей в башне расширений (теорема 3). Поэтому Р Е К' ",=; Р Е К,' с=:.
(а, — а,)(а, — а,)(аз — а,) Е К,. Далее, так как а, Е К,, а а, и а суть корни квадратного трехчлена с коэффициентами из К„то (а — а)( — )~К, и, значит, — аз азЕ~~ ~ — ~ «"г озеК1 "ь=~ Р = К| (здесь мы использовали, что сваг К Ф 2). Воспользуемся теперь теоремой б для описания всех конечных полей. Всякое конечное поле г' имеет характеристику р > О, являющуюся простым числом, и его циклическая адаптивная подгруппа, порожденная единицей, есть подполе, изоморфное полю вычетов Е,. Мы будем отождествлять это подполе с Е,.
Если б(ш„Г = ~, то ~Ф! =р". Таким образом, число элементов любого конечного поля есть степень простого числа. Теорема 7. Для любого простого р и натурального и существует ноле из р" элементов и все такие поля изоморфны. Доказательство этой теоремы потребует некоторой подготовки. э 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 383 Пусть à — любое (может быть, бесконечное) поле характеристики р > О. Рассмотрим отображение ~р; г'-+г', х~-~хг. Очевидно, что у(ху) = у(х)р(у). Кроме того, как это нн странно, Ф(х+ У) = Ф(х)+ у(у). Действительно, как мы видели в ф 1,6, Р (х+ у)'= ~, С,'х" 'и" = хг+ уг. з=в Таким образом, р — эндоморфизм (гомоморфизм в себя) поля Г. Он называется эндоморфиэмом Фробениуса.
Так как Кег~р=О, то!щ 1о=р" г. Очевидно, что для конечного поля г' = Г, так что эндоморфизм Фробениуса в этом случае является автоморфизмом. Доказательство теоремы 7. Пусть г — конечное поле из д = р" элементов. Так как мультипликативная группа г* имеет порядок д — 1, то аз ' = 1 для любого аЕ г ' и, значит, а'=а таЕг; Иначе говоря, все элементы поля г являются корнями многочлена х' — х. Следовательно, г — поле разложения этого многочлена над Ж,. В силу теоремы б это показывает, что все поля из д элементов изоморфны.
С другой стороны, пусть г — поле разложения многочлена У = х' — х над Ж,. Так как У'= — 1, то многочлен Г не имеет кратных корней. Его корни — это неподвижные точки автоморфизма ~р" поля Г, где р — автоморфизм Фробениуса. Легко видеть, что неподвижные точки любого автоморфизма поля образуют подполе. Таким образом, совокупность корней многочлена 7' есть подполе из д элементов в г (и, следовательно, совпадает с г ). Тем самым доказано существование поля из д элементов.
О Следствие. Для любого простого р и любого натурального и существует неприеодимый многочлен степени и над й,. Доказательство. Пусть г' — поле из д=р" элементов и а — порождающий элемент его мультипликативной группы (которая, как известно, циклическая). Тогда г' =У,,(а), и, значит, минимальный многочлен элемента а над Ж имеет степень и. П Поле из д элементов обозначается через Р,. (В частности, Р, =Е при простом р.) Гл. 9. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА ПРимеР 4.
Единственным неприводимым многочленом второй степени над полем Е, является многочлен х'+ х+ 1. Присоединяя к У,, корень этого многочлена, мы получаем поле У,. ЗАДАЧА 1. Составить таблицы сложения и умножения в поле г,. Бо всяком конечном расширении Ь поля Х, рассматриваемом как векторное пространство над Х, можно естественным образом ввести лскалярное умножение». А именно, для любого и е.б определим линейный оператор Т(и) в пространстве Ь по формуле Т(и)х= их (х Е Ь). След этого оператора назовем следом элемента и и обозначим через 1г и.
Очевидно, что след — линейная функция на Г . Определим скалярное умножение в Ь по формуле (23) (и, е) =1г ии. Это симметрическая билинейная функция на 5. Если сваг Х = О, то она невырожденна, так как (и, и ') = гг 1 = г(1ш Х ~ 0 для любого ненулевого элемента и е Т . П Риме Р 5. Опишем скалярное умножение в поле деления круга Я(з„) = Я[с,) (см. пример 2).
Как векторное пространство над Я поле Я(а,) порождается элементами 1, а.„, з,',..., зл ', сумма которых равйа нулю. Базис этого пространства составляют, например, элементы 1, е,, з,',..., зл з. Записав операторы Т(ф в этом базисе, легко получить, что 1г 1 = Р— 1, 1г з," = — 1 (к = 1,..., р — 1). Следовательно, )' р — 1 при А+1=0(шобр), ( -1 во всех остальных случаях. Скалярное произведение двух элементов поля Я(с,) вычисляется особенно просто, если один из них представлен в виде рациональной линейной комбинации элементов 1, ал, е',..., ел ' с суммой коэффициентов, равной нулю (что всегда можно сделать). 385 $5.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ р-! А именно, если 2', х„ = О, то «-о с »вЂ ! »вЂ ! '! / » †! х г', 2 у«е«) =р ~ хоуо+ 2 х у »=о»=о »=! Часть изложенных выше результатов о расширениях полей может быть обобщена на расширения нетеровых колец, если надлежащим образом видоизменить понятия алгебраического элемента и алгебраического расширения. Пусть кольцо В является расширением кольца А. Элемент и е В называется целым алгебраическим или просто целым над А, если он удовлетворяет нетривиальному алгебраическому уравнению с коэффициентами из А и со старшим коэффициентом, равным 1.
В частности, элементы самого кольца А являются целыми над А. Всякий элемент и е В, алгебраический над А, становится целым после умножения на подходящий ненулевой элемент кольца А (а именно, на старший коэффициент алгебраического уравнения с коэффициентами из А, которому удовлетворяет и). Кольцо В называется целым расширением кольца А или просто целым над А, если всякий его элемент цел над А. В случае когда А — поле, эти определения эквивалентны определениям алгебраического элемента и алгебраического расширения. Следующее определение является ключевым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
