1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 67
Текст из файла (страница 67)
ПРИМЕР 3. Всякое векторное пространство )г тавтологическим образом является модулем над кольцом 1.(Ъ') всех линейных операторов в 1г. ЗАмечАние 1 Аналогичным образом определяются правые модули. Разница состоит в том, что в этом случае элементы кольца А пишутся в произведении справа от элементов модуля и соответственно этому при умножении на произведение элементов кольца элемент модуля умножается сначала на первый множитель (а не на второй, как в случае левых модулей).
Если кольцо А коммутативно, то разницы между левыми и правыми модулями нет (и элементы кольца могут писаться в произведении с любой стороны от элементов модуля). Подмножество )т" модуля М называется подмодудем, если оно замкнуто относительно сложения и умножения на элементы кольца А. Всякий подмодуль является модулем относительно тех же операций. Пример 4.
Подмодуль абелевой группы, рассматриваемой как Ж-модуль — это просто подгруппа. Пример 5. Подмодуль К(г]-модуля (см. пример 1) — это подпространство, инвариантное относительно оператора умножения на 1. ПРИМЕР б. Подмодуль кольца А, рассматриваемого как (левый) модуль над самим собой — это левый идеал этого кольца. Так же, как это было сделано для векторных пространств в $8.2 и для абелевых групп в $1, определяется (внутренняя и внешняя) прямая сумма модулей. Определим теперь понятие фактормодуля. В А-модуле М отношение эквивалентности В следует считать согласованным с операцией умножен.я на элементы кольца А, если х х' ~ ах ах'.
Я л Отношение сравнимости по модулю аддитивной подгруппы )т" с М согласовано с операцией умножения на элементы кольца А тогда и Збб Гл. 9. кОммутАтиинАя АлГеБРА только тогда, когда Аà — подмодуль. В этом случае на факторгруппе М/ЛГ можно определить операцию умножения на элементы кольца А по правилу а(х + Ф) = ах+ АГ, превратив ее тем самым в А-модуль, называемый фактормодулем модуля М по подмодулю Х и обозначаемый через М/лГ. В частности, таким образом определяется факторпространство Ъ'/ГУ векторного пространства г' по подпространству сГ. Фактормодули г,-модулей — это то же, что факторгруппы.
Отображение / модуля М в модуль Ж (над тем же кольцом) называется гомоморфиэмом, если У( + У) = Х( ') + Х(У) /(ах) = а/(х). Обратимый гомоморфизм называется изоморфизмом. Если /: М вЂ” Ж вЂ” какой-либо гомоморфизм модулей, то его образ 1гп,5 = (/(х) / х Е М~ с М вЂ” подмодуль модуля Ф, а его ядро Кег/ = (х е М ~ Ях) = 0) с М вЂ” подмодуль модуля М, Для любого подмодуля Ж с М определяется канонический гомоморфизм ес М- М/У, х х+Л, ядром которого является АГ, Теорема 1 (о гомоморфизме модулей). Пусть /: М вЂ” Ф— гомоморфизм А -модулей. Тогда (гп / = М/ Кег /. Более точно, имеется изоморфизм ~о: 1т/=-М/Кег„г, ставящий в соответствие каждому элементу у = /(х) е 1гп/ смежный класс я(х) = х + Кег /.
Доказательство. Благодаря теореме 4.6.1 мы уже знаем, что отображение у является изоморфизмом аддитивных групп. $3. МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ГЛАВНЪ|Х ИДЕАЛОВ 367 Остается только проверить, что оно перестановочно с умножениями на элементы кольца А. Пусть 1(х) = у. Тогда 1(ах) =ау при аЕА и у(ау) = я(ах) = ая(х) = а|ь(у). П Пусть М вЂ” некоторый А-модуль.
Для любого подмножества Я с М совокупность всех линейных комбинаций а,х,+...+а,х„(х, ЕЯ, а,ЕА) есть наименьший подмодуль, содержащий Я. Он называется подмодулем, порожденным подмножеством Я, и обозначается через (Я). Если (5) = М, то говорят, что модуль М порождается подмножеством Я или что Я вЂ” система порождающих модуля М.
Модуль, допускающий конечную систему порождающих, называется конечно порожденным. Модуль, порождаемый одним элементом, называется циклическим. Идеал АппМ=(об А; аМ=О) называется аннулятором модуля М. Если Апп М фО, то модуль назвается периодическим. Теорема 2. Всякий циклический А-модуль М изоморфен модулю вида А71, где 1 — лев|ай идеал кольца А. Если кольцо А коммутативно, то идеал 1 совпадает с Апп М и тем самым определен модулем М однозначно. До к а з а т ел ь ст во. Пусть М=(х) — циклический А-модуль. Отображение 1: А — М, а~-~ах, является гомоморфизмом модулей, причем )ш 1= М.
По теореме о гомоморфизме М = А/Х, где Х = Кег 1. Второе утверждение теоремы очевидно. П Система (х„..., х ) элементов модуля М называется линейно независимой, если а,х, +... + а„х„= О (а,. е А) только при а, = = а„=О. Линейно независимая система порождающих называется базисом. Конечно порожденный модуль, обладающий базисом, называется свободным. Свободный циклический модуль изоморфен А (как А-модуль).
Для конечно порожденных модулей над кольцами главных идеалов можно построить теорию, вполне аналогичную теории конечно порожденных абелевых групп. 368 Гл.э. КОММУТАТИБНАЯ АЛГЕБРА Начиная с этого момента, мы будем предполагать, что А— кольцо главных идеалов. Теорема 3. Все базисы свободного А-модуля Ь содержат одно и то же число элементов. Доказательство. Пусть р — какой-либо простой элемент кольца А. Тогда А/(р) — поле и Ь/РЬ вЂ” векторное пространство над этим полем.
Если [е„..., е„) — базис модуля Ь, то ([е,),..., [е„)) (где [х] обозначает класс х+ рЬ) — базис этого векторного пространства. Следовательно, и = 31гп Ь/рЬ. П Число элементов базиса свободного модуля Ь называется его рангом и обозначается через г)гТ,. Теорема 4. Всякий подмодуль АГ свободного А-модуля Ь ранга и является свободным А-модулем ранга гп ( и, причем существует такой базис (е„..., е„) модуля Ь и такие (ненулевые) элементы и„..., и е А, что (и,е„..., и е ) — базис подмодуля Дг и и, ~ и„, при Г = 1,..., т — 1.
Доказательство. Первое утверждение теоремы прн и=1 есть определение кольца главных идеалов; при и > 1 она доказыватся точно также, как для А = г (см. теорему 1.3). Доказательство второго утверждения, как н в случае А = Т„ основано на приведении матрицы С перехода от базиса модуля Ь к базису модуля 1У к диагональному виду с помощью элементарных преобразований этих базисов.
В случае, когда А — евклидово кольцо, элементарными преобразованиями системы элементов А-модуля называются: 1) прибавление к одному элементу другого, умноженного на элемент кольца А; 2) перестановка двух элементов; 3) умножение одного элемента на обратимый элемент кольца А. Приведение матрицы С к диагонапьному виду в этом случае может быть осуществлено так же, как в доказательстве предложения 1.1, с той оговоркой, что минимизировать следует не сам элемент сп (что не имеет смысла), а его норму. В общем случае понятие элементарного преобразования следует расширить. Назовем квазиэлементарным преобразованием системы элементов (х„ ...,х,) какого-либо А-модуля замену двух элементов х, и хт их линеййыми комбинациями ах,.
+ Бх,, сх, + с(хт, где ~ ) — обратимая матрица с элементами из кольца А. (а Ь! 1,с г() (Обратимость матрицы равносильна обратимости ее определителя.) Ь 3. МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ 369 Ясно, что преобразование, обратное к квазиэлементарному, также является квазиэлементарным и что элементарные преобразования являются квазиэлементарными. Любую пару элементов (х, у) самого кольца А с помощью квазиэлементарного преобразования можно привести к виду (й, О), где а = (х, у), В самом деле, существуют такие а, Ь Е А, что ах+ Ьу = а. Рассмотрим матрицу а а ~.
Она обратима, — у/д х/й )' так как ее определитель равен 1. Соответствующее квазиэлементарное преобразование переводит (х, у) в (й, О). Следовательно, если в каком-либо столбце или какой-либо строке матрицы С имеются элементы х, у, то с помощью квазиэлементарного преобразования строк или столбцов из них можно получить элементы й, О. Такого рода преобразований достаточно, чтобы, следуя в целом доказательству предложения 1.1, привести матрицу С к диагональному виду.
П Изучим теперь строение произвольных конечно порожденных А- модулей, Всякий нетривиальный циклический А-модуль нзоморфен либо А, либо А/(и), где и — необратимый ненулевой элемент. Если (и, и) = 1, то изоморфизм колец А/(и, и): А/(и) Ю А/(и), построенный в доказательстве теоремы 2.5, является, как легко понять, и изоморфизмом А-модулей.
Следовательно, если и = р, ... р, — разложение элеента и на простые множители, то А имеет место изоморфизм А-модулей А/(и) = А/(р~' ) 63... Ю А/(р, ). (18) Определение 2. Конечно порожденный А-модуль М, аннулятор которого содержит степень простого элемента р Е А, называется примарным или, точнее, р-примарным. Таким образом, всякий периодический циклический А-модуль разлагается в прямую сумму примарных циклических подмодулей.
Теорема 6. Всякий конечно порожденный А-модуль М разлагается в прямую сумму примарных и свободных циклических подмодулей, причем набор аннуляторов этих подмодулей определен однозначно. Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.6. В частности, существование требуемого разложения 370 Гл.э. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА выводится из теоремы 4 и изоморфизма (18). Для доказательства его единственности (в указанном смысле) следует рассмотреть лодмодуль кручения Тог М =; (х е М: ах = 0 для некоторого а е А, а ф 01 и, для каждого простого элемента р Е А, подмодуль р-кручения Тог,М =; (х е М: р" х =Одля некоторого й е л~). Единственность разложения примарного модуля в прямую сумму примарных циклических подмодулей доказывается по индукции, как и в случае абелевых групп. Однако соображение, использовавшее порядок группы, в общем случае не работает.
Вместо него можно применить следующее соображение: если модуль М разложен в прямую сумму р-примарных циклических подмодулей, то число слагаемых равно размерности подмодуля (х Е М: рх = О) как векторного пространства над полем А/(р). П Так же, как и в случае абелевых групп, для всякого периодического А-модуля М одновременно с доказательством теоремы 5 получается, что М=А/(и,)®...®А/(и ), (19) где и„..., и — такие необратимые ненулевые элементы кольца А, что и,]и,~, при 9=1,..., т — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
