1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Пусть, скажем, т! И" й (1,..., р). Согласно условию, выполнено соотношение а+1 Я И 4 ! И ! р р ! 1 Т ( ! ) р ! ь И 1~ 1 ( 6 ) С другой стороны, по уже доказанной части теоремы аналогичное соотношение выполнено для миноров матрицы А: М., = ~'. (-Ц" 1М. М (68) зь ~ 41...ь ..т ьь 6 По предположению индукции правые части равенств (67) и (68) совпадают. Следовательно, и;, =М 1. П 6 Примяв 1. При и = 4, р = 2 соотношения Плюккера сводятся к одному соотношению ишиж+Ртзим+ Рз1дтз =О. (69) Пгимеэ 2. При р = тз — 1 нетривиальных соотношений Плюккера нет. Следовательно, всякий (и — 1).вектор разложим.
3хдлчл 3. Доказать, что при р ~< д существует билинейное отображение еи Ав(Ъ') х Ат(Ъ™) А ((Г'), задаваемое на разложимых элементах формулой 1о (а1 л... л ат, и! л... л а ) зйп(11,..., т, 71,..., у )а. (м1)... а (х )и . л... л а . 'тг Ь 6 я Л 1,,' 340 Гл. 8.
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА где суммирование происходит по всем рээличным т„..., т, э (уы..., у „) есть дополнение к ((ы ...,( ) в [1,...,о), упорядоченное произвольным образом. р Злдлчл 4. Докэзэть, что если б — ненулевой элемент из Л"(У'), то отобрз. жение ЛР(У)-~Л" Р(У*), и р Р(о, б), где )р — билинейное отображение из задачи 1, является изоморфизмом, переводящим рэзложимые элементы в рэзложимые. Вывести отсюдз другим способом (по срэвнению с примером 2), что всякий (и — 1)-вектор рззложим. В качестве другого приложения алгебры Грэссмэнз выведем тэк нээывземый пфэ фиан кососимметричной матрицы четного порядка.
усть и = 2ги и А = (а, ) — кососнмметричнзя матрице порядка и. Рассмотрим бнвекто Р 1 а= ~, а, (е,Леу)=~~,о, (е,.Ле), 1<т С 1 где (еы..., е„) — фиксированный базис прострвнствэ У. Вычислим его ги-ю степень в алгебре Л(У): а =аЛ...Ла=22ж Л а....а . е Л...Ле 1 ~ — ''' ~ 2 48''' ' — д 4 й -"* 1 ( 2, зйп((ы..., („)а, ... а, з ) е~ Л... Л е„, (4,", '.) где последняя сумма берется по всем перестановкам (т„..., т„) чисел 1,..., и. Слагаемые этой суммы, отличэюшиеся лишь порядком пэр (ты ьз),..., ((„(, т„) и порядком элементов в каждой паре, равны между собой.
Следовательно, а =от(( 7; зйп(((,...,т„)а....а,, )е|л...ле„, (70) (4' 1."('. А) где суммирование происходит по всем разбиениям множества (1,..., и) нз пары (т(, ьз),..., (~;, ы т„) (порядок пэр и порядок элементов в кэждои паре выбнрзются произвольно). Выражение (71) р(А = 2, зпп((„..., т„)а ... а; (' 81 "1'.— *;) называется лфоффионом матрицы А. Формула (70) переписывается в виде (72) а = гл((р1А)е( л...
л е„ Онэ справедлива и в том случае, когда векторы е(, , е„ линейно зввисимы; ио тогда онз означает просто, что а™ = О. Теорема 3. !) Р1САСг = де(С р1А для любой моглрицы С порядка и. 2) (р(А) =бе(А. Дока ззтельст в о. 1) Внзчзле докзжем эту формулу в предположении, что стэг К =О. Пусть (е~(,..., е„) — базис прострзнствз У и (е(,..., е„) = (е~,..., е„')С 341 $4. АЛГЕБРА ГРАССй4АНА ВыРазим бивектоР а = нх 2" а, ез Л е; чеРез е!~,..., е„'. ПУсть С = (с,.); тогда су 1 Г 1 ю а= — д аг сьсцеьде~ —— 2 2 амеьле!, схь! ь! где / аы — — ~~ лисы ей 44 Положим А' =(аы); тогда А'= САС Следовательно, а =т)(р!А)е! Л...Ле„= т!(р!А )е~ ~Л...Ле„'.
С другой стороны, е! Л... Л е„= (де1 С)е' Л... Л е„' (ср. формулу (63)). Значит, р(А бе1С = р(А', что и требовалось доказать. Доказанное равенство можно рассматривать как некое тождество в кольце многочленов с целыми коэффициентами от элементов матриц А и С. Редукция по модулю р показывает, что оно верно и для поля Хг, а следовательно, н дая любого поля характеристики р. 2) По теореме 5.3.6 существует такая неаырожденная матрица С, что 4 где Р— матрица вида О 0 ! -! 0 0 ! — ! 0 0 О Легко видеть, что бе(К =р!Е= ( О при й < гп.
так что в любом случае бе1 Р = (р! Р)т. Согласно первой части теоремы, р!А =бе1С р!Р. С другой стороны бе!А =(бе1С) де1Р. Следовательно, бе1 А = (р(А)з. (3 Примяв 3, Для кососимметрической матрицы А порядка 4 имеем Р!А = о!заза+ отавы+ оз! ота Сравнивая эту формулу с формулой (69), мы видим, что условие разложнмости бивектора а= 2; а! е,де. может быть записано в виде р(А =О, что ввиду теоремы 3 «у равносильно условию бе1А =О.
Так как ранг кососимметрической матрицы всегда четен, то это условие, в свою очередь, равносильно условию гй А < 2. С другой стороны, легко доказать и непосредственно, что бивектор о разложим тогда и только тогда, когда гй А < 2. Глава 9 КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА Наиболее важными типами алгебраических структур, для которых имеется содержательная теория, являются кольца (в частности, поля) и группы. В этой главе мы разовьем темы абелевых групп и коммутативных ассоциативных колец, начатые в гл.
1 и 3. Впрочем, некоторые общие определения и простейшие факты, приведенные в ф2, 3, относятся к более общим кольцам. ф 1. Абелевы группы Абелевы группы до некоторой степени схожи с векторными пространствами, с которыми читатель уже хорошо знаком. Во всяком случае, понятие линейной зависимости в теории абелевых групп также играет важную роль. Напомним, что элементы аддитивной абелевой группы можно умножать на целые числа (что соответствует возведению в степень в мультипликативной группе). Эта операция обладает такими же свойствами, как умножение векторов на элементы основного поля.
А именно, пусть А — аддитивная абелева группа. Тогда легко проверить, что Й(а+ Ь) = Йа+ 1сЬ, (Й + 1) а = Йа+ 1а, (Й1)а = Й(1а) (1) (2) (3) Й(а — Ь) = Йа — ЙЬ, (Й вЂ” 1)а= Йа — 1а. Для любого подмножества Я с А совокупность всех линейных комбинаций Й, а, +... + Й„а„(ас Е Я, Й, б Е) для любых а, Ь е А, Й, 1 е Ж. (Свойство (2) в мультипликативном ва- рианте было доказано в $4.3.) Из (1) и (2) выводятся аналогичные свойства для вычитания: 343 $ Е АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ есть наименьшая подгруппа группы А, содержащая Я. Она называется подгруппой, порожденной подмножеством Я, и обозначается через (Я).
Если (Я) = А, то говорят, что группа А порождается подмножеством 5 или что Я вЂ” система порождаюи(их группы А. (Это согласуется с понятиями, введенными в 5 4.4 для произвольных групп.) Абелева группа, допускающая конечную систему порождающих, называется конечно порожденной, Конечно порожденные абелевы группы аналогичны конечномерным векторным пространствам.
Система (а„ ...,а„) элементов группы А называется линейно независимой, если н,а, + ... + Й„а„ =О только при к, = ... = Й„ = О. Линейно независимая система порождающих называется базисом. В отличие от векторных пространств, не всякая конечно порожденная абелева группа обладает базисом. Так, группа Ж„ порождается одним элементом, но она не обладает базисом, так как всякий ее элемент а удовлетворяет нетривиальному соотношению па = О.
Определение 1. Конечно порожденная абелева группа, обладающая базисом, называется свободной. Для свободных абелевых групп справедливы аналоги некоторых теорем о векторных пространствах, доказанных в $2.2. Теорема 1. Все базисьс свободной абелевой группы Ь содержат одно и то же число элементов. Доказательство. Пусть (е„...,е„) и (е,',...,е„') — базисы группы Ь.
Предположим, что гп > п. Имеем: (е,',..., е' ) = (е„..., е„)С, где С вЂ” некоторая целочисленная матрица размера и х гп. По основной лемме о линейной зависимости столбцы матрицы С линейно зависимы как элементы пространства Я". Отсюда следует, что между ними имеется нетривиальная линейп;я зависимость с целыми коэффициентами; но тогда такая же линейная зависимость имеется между элементами е,',..., е„группы Ь, что невозможно. П Число элементов базиса свободной абелевой группы Ь называется ее рангом и обозначается через гк Х,. Очевидно, что всякая свободная абелева группа ранга и изоморфна группе г." строк длины п, составленных из целых чисел. ЗАА4ечАние 1. Нулевая группа считается свободной абелевой группой ранга О.
344 Гл. 9. кОммутАтиннАя АлГеБРА Опишем все базисы свободной абелевой группы Х . Пусть (е„... ..., е„) — какой-либо один базис и е'„..., е„' — какие-то элементы группы Х,. Имеем: (е'„..., е„') = (е„..., е„)С, (4) где С вЂ” целочисленная квадратная матрица порядка п. Теорема 2. Элементы е'„..., е„' составляют базис группы Х тогда и только тогда, когда де1С =т1. Доказательство. Если де1 С =Ы, то матрица С ' является целочисленной и (е,,..., е„) = (е„..., е„')С '. Отсюда следует, что элементы е„..., е„' порождают группу Х,, а из невырожденности матрицы С вЂ” что они линейно независимы.
Обратно, пусть (е'„..., е„') — базис группы Х . Тогда (5) (е„..., е„) = (е„..., е„)Р для некоторой целочисленной матрицы Р. Из (4) и (5) следует, что СР =.Е и, значит, (де1С)(де1Р) =1. Так как бег С и де1Р— целые числа, то де1 С = Ы. П Если уподоблять свободные абелевы группы векторным пространствам, то роль подпространств следует отвести подгруппам. Это частично оправдывается следующей теоремой. Теорема 3.
Всякая подгруппа АГ свободной абелевой группы Х, ранга и является свободной абелевой группой ранга < и. Доказательство проведем индукцией по и. При и = О доказывать нечего. При и > О пусть (е„..., е„) — базис группы Х . Рассмотрим подгруппу Х, = (е„ ..., е„ ,) с Х . Это свободная абелева группа ранга и — 1. По предположению индукции подгруппа АГ, = АГ и Х, является свободной абелевой группой ранга гп < и — 1. Пусть (Л . У ) — ее базис. Рассмотрим последние координаты всех элементов из 1т' в базисе (е„..., е„) группы Х .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
