1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 61
Текст из файла (страница 61)
АЛГЕБРА ГРАССМАНА ЗАДАЧА 1. Доказать, что То(1г) = ~Т'() ) ~ЛТ'()г) но, если только Йт р' > 1, Т'(Ъ') ф ЯТР( р') + ЛТРЯ) при р > 2. Подпространство ЛТ( 1г) = (1) Л ТР(1 ) с Т(~ ) р=о не является подалгеброй в Т($'), но его отождествление с Л((г) позволяет ввести в нем структуру алгебры, умножение в которой выглядит следующим образом: Т Л У =А11 (Т З У). Применим вышеизложенное к сопряженному пространству. Положим Л ($') =ЛР(Ъ'*), ЛТ((Р) =ЛТ"Я"). Пространство ЛТ,Я) есть не что иное, как пространство косо- симметрических р-линейных функций на р'.
Операция альтернировання выглядит следующим образом: (А11 гр)(х„..., х ) = —, 2; (зяп о)о(х, ц,..., х,, ), (59) ор Умножение в алгебре кососимметрических полилинейных функций ЛТ((г) = ® Л Т (Ъ~), р=о соответствующее умножению в алгебре Л„(Ъ') = Ю Л,(Ъ'), р=о выглядит следующим образом: (о А Р)(у33..., х,+,) = — — 2; зйп(4„..., г,,,)ср(хь,..., х,.
)(х,,, х,. ), (60) где суммирование, как и в формуле (50), происходит по всем разбиениям (г„..., о ~ Ер „..., 4,,) множества (1,..., р + д~ на 336 Гл. 8. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА две группы из р и д элементов соответственно. Произведение гх Л)З называется внешним произведением функций гх и )3. Внешнее произведение р линейных функций ст„..., сгг е й'* задается формулой (гх! Л... Л сг„)(х„..., х ) = —, Пе((о,(х,)). (61) Замечание 1, В случае поля положительной характеристики формула (60) не имеет сммсла. Однако, если убрать коэффициент перед суммой, полученная алгебра будет по-прежнему ивоморфна алгебре Л.(гг).
Иногда такое определение внешнего умножения принимают и в случае поля нулевой характеристики. Аналогично симметрической степени линейного оператора определяется внешняя степень Л'А линейного оператора А. ЗАЛАЧА 2. Доказать, что (гЛ'А= -((гА') — (1гА)' (62) В то время как понятие симметрической алгебры есть лишь новый взгляд на алгебру многочленов, понятие алгебры Грассмана является действительно новым для нашего курса, хотя неявно мы соприкоснулись с ним в теории определителей.
Приложения алгебры Грассмана, о которых будет рассказано ниже, можно рассматривать как развитие теории определителей. Пусть ьг есть п-мерное векторное пространство над полем Х характеристики ф 2. Теорема 1. 1) Система векторов (а„..., а ) пространства )г линейно зависима тогда и только тогда, когда а, Л...Ла,=О. 2) Если системы векторов (а„..., а,) и (Ь„., Ь„) линейно независимы, то (а„..., а,) = (Ь„..., Ь„) тогда и только тогда, когда р-векторь! а, Л... Л а и Ь, Л... Л Ь, пропорциональнас. До к а з а т е л ь с т в о. 1) Если векторы а„..., а„линейно зависимы, то один из них линейно выражается через остальные. Пусть, например, р-! а„= 2 Лэа! Тогда р-! а, Л... Л а, Л а = Я Л, а, Л...
Л а„, Л а! = О. ! Если векторы а„..., а„линейно независимы, то их можно включить в базис пространства У. Тогда р-вектор а, Л...Ла, будет одним 337 $4. АЛГЕБРА ГРАССМАНА из векторов базиса пространства Ле(У), построенного согласно определению внешней степени. Следовательно, он отличен от нуля. 2) Если (а„ ..., а,) = (Ь„ ..., 6,), то векторы 6„ ..., Ь линейно выражаются через векторы а„..., а, и, значит, р-вектор 6, Л... Л 6, линейно выражается через р-векторы вида а,. Л... Л а, . Однако ~ а, Л... Л а,, если з„..., ~, различны, а, Л ...
Л а, = 0 в противном случае. Следовательно, Ь, Л ... Л Ь, = Ла, Л ... Л а,. Если (а„ ...,а,) ~ (Ь„ ..., 6,), то существует такой базис (е„ ... ..., е„) пространства У, что (а„ ..., а„) = (е„ ..., е ), (Ь„ ..., Ь ) = (е „ ...„ ег „) (О < а < р). а, =~, аист (4 = 1,..., р). Имеем тогда а, Л...Ла,= ~ а,„...а. е„. Л...Ле,. Если среди индексов 4„..., з, есть одинаковые, то е„Л... Л е,. = О. Если же они все различны, то мы можем переставить множители в е„Л... Лег так, чтобы их индексы шли в порядке возрастания; при По уже доказанному р-вектор а, Л...Ла пропорционален е, Л...Ле„, а р-вектор 6, Л...ЛЬ, пропорционален е, Л...Ле„„.
Но р-векторы е, Л... Л е, и ег,, Л... Лез е не пропорциональны, так как они суть различные векторы базиса пространства Л"(У), построенного согласно определению внешней степени. Следовательно, и р-векторы а, Л... Л а и 6, Л... Л Ь не пропорциональны. П Совокупность разложимых р-векторов называется грассмановым конусом. Проективизация этого конуса называется грассмановым многообразием и обозначается Ог (Ъ'). Согласно доказанной теореме, точки многообразия Ог„($') находятся во взаимно однозначном соответствии с р-мерными подпростраиствами пространства Ь'. Пусть (е„ ..., е„) — фиксированный базис пространства Р' и (а„ ..., а,) — базис надпространства ЬГ.
Найдем координаты р-вектора а, Л ... Л а, в базисе пространства Л'(У), образованном произведениями е,. Л ... Л е,. с 4, « ... т',. Пусть А = (ав) — матрица размера р х п, образованная координатами векторов а„ ..., а, в базисе (е„ ..., е„), т.е.
338 Гл. 8. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА этом все произведение умножится на ( — 1)', где в — число инверсий в последовательности (з„..., з„). Отсюда следует, что а,Л...Ла = ~ М„ге Л...Ле,, «! «... ! (63) М! =Л,~ Аг, где Аг, не зввисит от А. Поэтому достаточно доквзвть, что р-«! ( !)М, -, а =О ь-! 4 "ч"'«+! (65) где М , — минор порядка р матрицы А, образованный столбца« ми с номерами т„..., з„. Согласно теореме 1, числа Мч, однозначно определяют подпространство У. Они называются его плюккеровыми координатами. Это не что иное, как однородные координаты соответствующей точки проективного пространства РЛРЯ).
Они определены с точностью до одновременного умножения на число с ф О. Кроме того, так как разложимые р-векторы составляют лишь часть пространства ЛР((г), плюккеровы координаты подпространства не могут быть произвольными. Они связаны соотношениями, описываемыми следующей ниже теоремой. Для того чтобы было удобнее написать эти соотношения, примем следующее соглашение: если звдвны квкие-то числа рй, для г! «...
г, то будем считать, чточислар! ! автоматическиопределеныдля любых «„...,«„твким образом, что при перестановке любых двух индексов число и., умножвется нв — 1 (и, 4 "ь тем самым, оно равно нулю, если какие-либо двв индекса совпадают). В чвстности, М! ! для любых г!,..., ! будет тогдв равно определителю матрицы порядка р, « составленной из столбцов матрицы А с номерами «!,...,«„ (в указанном порядке). Теорема 2.
Числа и! ! являются илюккероеыми координатами некоторого р-мерного иодиространстеа У с Р тогда и только тогда, когда они не равны одновременно нулю и для любых «!,...,! „!,У!,...,У ! выполнено соотношение р.!- ! с. (-!)" р Г и, ... =О (64) , ... *«... ««„ где крышка обозначает ироиуск соответствующего индекса. Соотношения (64) называются соотношениями Плюккера. Здмвчянив 2. Тек квк леввя чвсть соотношения (64) кососимметричнв по «!,... ...,« „, ипат!,...,т„!,томожносчитать,что«!«...«„, и т! «...у До кв зв тел ьс т в о.
Докажем, что соотношения (64) выполняются для плюккеровых координат Мч , р-мерного подпрострвнствв У с (г. Разлагая определи. тель М, . по первому столбцу, получаем ««!«" !«-! 339 $4. АЛГЕБРА ГРАССМАНА для всех з. Припишем к матрице А ее з-ю строку. Полученную матрицу размера (р+1) х и обозначим через А,. Тогда левая часть равенства (65) есть с точностью до знака результат оазложения йо последней строке определителя матрицы порядка р+ .1-1, составленнои из столбцов матрицы А, с номерами 11,..., т э 1. Так как матрица А, имеет две одинаковые строки, то этот определитель равен нулю. Обратно, пусть числа и! , не равны одновременно нулю и удовлетворяют б соотношениям (64).
Докажем, что существует такая матрица А размера р х и, что (66) (где М, 1 имеет тот же смысл, что и выше) для всех т1,..., т . б Считая для определенности, что и! —— 1, будем искать матрицу А в виде з Л 1 О ... О а! „„! ... а1„ ! О ! ... О азт~! ° ° ат При у' > р имеем тогда М - . =(-1)г 'аз, 1, .'..ю 6' Поэтому мы должны внять а1 =( — 1)г 'И ч' , Рт' тогда равенство (66) будет выполнено во всех случаях, когда множество (!1,..., 1 ) не более чем одины элементом отличается от множества (1,..., р). Докажем теперь индукцией по тп, что равенство (66) выполнено, если множество (т1,..., т ) отличается от множества (1,..., р) гп элементами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
