1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 56
Текст из файла (страница 56)
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Отметим, что всякая квадрика Х на карте 4, (а, следовательно, и на любой аффинной карте) является изображением некоторой проективной квадрики Х. Уравнение квадрики Х в однородных координатах получается из уравнения квадрики Х, если вставить х во все линейные члены и х,', — в свободный член.
Из теоремы 4.1 (в тех случаях, когда она верна) следует, что квадрика Х однозначно определяется квадрикой Х. ПРимеР 1. Рассмотрим конику С сРР', задаваемую в однородных координатах уравнением у2 хз ~2 О Ее изображением на аффинной карте Я является эллипс хэ+ хз = 1' бесконечно удаленных по отношению к Я точек на С нет. На аффинной карте х — х, = 1 та же коника изображается параболой где у = х +,т„при этом имеется одна бесконечно удаленная точка (1: 0: 1).
Наконец, на аффинной карте Я, коника С изображается гиперболой х~ — х~з = 1; при этом имеются две бесконечно удаленные точки (1: 1: 0) и (1:( — 1): 0). Все это хорошо видно на карте 50, где изображение прямой т — х, =О, бесконечно удаленной по отношению к карте х — х, = 1, задается уравнением х = 1 и касается изображения коники, а изображение прямой х, =О, бесконечно удаленной по отношению к Я„ т пересекает изображение коники в двух точках (см. рис. 22). Таким образом, можно сказать, что парабола касается бес- С конечно удаленной прямой, а гипербола з =О пересекает ее в двух точках. Нетрудно х~ видеть, что бесконечно удаленная точка параболы соответствует ее особому направлению (см.
$4), а бесконечно удаленные точки гиперболы — ее асимптотам. Рис. 22 ЗАдАИА 6. Доказать, что всякий параболоид в вещественном аффинном пространстве касается бесконечно удаленной гиперплоскости. 308 Гл, 7. АФФинные и пРОектиВные пРОстРАнстВА Если квадратичная функция Ч вырожденна и одномерное подпространство (х,) содержится в ее ядре, то конус Х(Я) вместе со всяким одномерным подпространством (х) ,-Е (хь) содержит двумерное подпространство (х, х ). Это означает, что квадрика РХЩ) вместе со всякой точкой х ~ х содержит прямую хх, т. е.
является конусом с вершиной в х. Ее изображением на аффинной карте будет конус или цилиндр в зависимости от того, принадлежит точка х этой карте или нет. (Таким образом, в проективной геометрии исчезает разница между конусами и цилиндрами.) В случаях К = С или К в пространстве У можно выбрать базис, в котором квадратичная функция Я имеет нормальный вид. Отсюда следует, что уравнение всякой невырожденной квадрики в комплексном проективном пространстве может быть приведено к виду т2+хз+ +х2=0 (48) а в вещественном — к виду х~~ + х,'+...
+ х~~ — х~ „, —... — х' = 0 ( —" ( й ( п) . (49) (Неравенство й > — достигается за счет возможного умножения уравнения на -1.) Мы видим, таким образом, что все невырожденные комплексные квадрики проективно эквивалентны, а невырожденные вещественГп — 11 ные квадрики распадаются на ~ — ~ + 1 классов проективной 2 эквивалентности. Тот факт, что квадрики, задаваемые уравнением (49), при различных к проективно не эквивалентны, вытекает из теоремы 4.1 и закона инерции.
Однако он проявляется и в различиях геометрического строения этих квадрик. Следующая теорема указывает одно нз таких различий. Теорема 4. Максимальная размерность плоскостей, содержащихся в вещественной проективной квадрике (49), равна и — А' — 1. Очевидно, что й-мерная плоскость П Д о к а з а т е л ь с т в о. задаваемая уравнениями х„э, =... = х„=О, не пересекается с квадрикой (49). Так как всякая плоскость размерности > и — к пересекается с Пь, то она не может целиком содержаться в квадрике. э 5. ПРОЕКТИВНЪ|Е ПРОСТРАНСТВА С другой стороны, перейдя к другому базису, уравнение квадрики (49) можно записать в виде УаУа 1+У~У» а+ +У У +У + +У =О откуда видно, что (и — Й вЂ” 1)-мерная плоскость У,=У,=...=Ух=о Таблица 2 Название Аффинное изображение Бесконечно удаленная часть эллипс парабола коника точка гипербола пара точек эллипсоид эллиптический параболоид точка овальная квадрика двуполостный гиперболоид коника однополостный гиперболоид коника линейчатая квадрика гиперболический параболоид пара прямых содержится в квадрике.
П В частности, квадрика (49) не содержит прямых линий тогда и только тогда, когда к = и†1, Такая квадрика называется овальной. Одним нз ее аффинных изображений является эллипсоид, При к ( < и — 1 квадрика называется линейчатой. В табл. 2 перечислены невырожденные квадрики в КР' и КРа н их аффннные изображения. В каждом случае указывается также бесконечно удаленная часть квадрики по отношению к соответствующей аффинной карте.
310 Гл. 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Отметим, что линейчатая квадрика в КРз «соткана» из двух семейств прямых: см. рис. 23, где показаны ее аффинные изображения. Рис. 23 Следующая теорема тесно связана с теоремой 4.2 и является ее проективным аналогом. Теорема 5. Для любой невырожденной вещественной проективной квадрики РХ группа С(РХ) проективных преобразований, отображающих Х на себя, действует на РХ транзитивно. Доказательство. Из условия невырожденности следует, что нулевой вектор является единственной вершиной конуса Х.
Поэтому теорема 4.2 в применении к Х означает, что группа линейных преобразований, отображающих конус Х на себя, транзитивно действует на множестве его ненулевых векторов. Утверждение теоремы 5 получается отсюда проективизацией. П ЗАДАЧА 7. Доказать, что если РХ вЂ” овальная квадрика, то группа С(РХ) транзитивно действует на множестве (упорядоченных) троек различных точек из РХ.
Группа С(РХ) в случае овальной квадрики РХ может служить базой дая построения конформной геометрии и геометрии Лобачевского. А именно, конформная геометрия реализуется на самой квадрике РХ, а геометрия Лобачевского — на ее внутренности. В обоих случаях группой, определяющей геометрию в смысле $4.2, является группа С(РХ) (но действующая на разных множествах), ЗАЛА ЧА 8. Доказать, что группа С(РХ) действует транзитивно на внутренности овальной квадрики С(РХ). (Ср. задачу 4.1.) Глава 8 ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА Тензорная алгебра — это скорее язык, чем содержательная теория, но язык очень полезный и, более того, совершенно необходимый.
Он позволяет, в частности, охватить единым взглядом и даже организовать в одну алгебру все объекты, рассматриваемые в линейной алгебре. 8 1. Тензорное произведение векторных пространств Начнем со следующего весьма общего понятия, охватывающего многие объекты, рассматривавшиеся нами ранее. Пусть Уп..., У, и сг — векторные пространства над полем К. Отображение 1,х (1) называется полилинейным (или, точнее, р-линейным), если оно линейно по каждому из р аргументов прн фиксированных значениях других аргументов.
Такие отображения образуют векторное пространство — подпространство в векторном пространстве всех отображений из У, х . х У„ в (Г. Обозначим это векторное пространство через Нот(У„..., 1'„; Б"). Если пространства У„ ..., У, и (т конечномерны, то и пространство Нош(У„..., У; ст) конечномерно.
Более точно, б(т Нот(Уо..., У„; (г) = й1т У,.... й1т У, б(т Ц так как полилинейное отображение (1) определяется своими значениями на наборах базисных векторов пространств которые, в свою очередь, определяются своими координатами в базисе пространства (Г.
При сг = К мы получаем пространство Нот(Уп..., У; К) поли- линейных функций на 1; х ° х У. В частности, Ноги(У; Х) есть пространство У*, сопряженное У. Тензорное произведение векторных пространств У и И' естественным образом возникает при рассмотрении всевозможных 312 Гл. 8. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА билинейных отображений 1с: Тг х И'- У. Как мы увидим, среди них имеется одно «универсальное», через которое могут быть описаны все остальные.
Соответствующее пространство У и называется тензорным произведением пространств Тг и И'. Предложение 1. Пусть И и Иг — векторные пространства с базисами (е,: «' Е Ц и ();: «' Е,У) соответственно. Следующие свойства билинейного отображения р: И х И'- У эквивалентны: 1) векторы р(е„),) (» ЕТ, «'Е,Т) составляют базис пространства У; 2) каждый вектор х Е У единственным образом представляется в виде г = ~; р(е„у,) (у, е Иг); 3) каждый вектор з Е П единственным образом представляется в виде г=~ х(х,, гт) (х, е И); (В случае бесконечномерных пространств предполагается, что лишь конечное число слагаемых в суммах отлично от нуля.) Доказательство.
Если а=2; зч1с(е„)), то а=2; 1а(е„У ), «» где у,. =2 г„~,, и наоборот. Отсюда вытекает эквивалентность свойств 1) н 2). Аналогично доказывается эквивалентность свойств 1) и 3). П Следствие. Выполнение условия 1) не зависит от выбора базисов в пространствах И и И'. Определение 1. Тензорным произведением векторных пространств И и И' называется векторное пространство Т вместе с билинейным отображением З Ъ'х Иг- Т, (х у)~ х®у, удовлетворяющим следующему условию: если (е,.: 1 е Ц и (У,: з е е з ) — базисы пространств И и И' соответственно, то (е, З ~: « Е Г, у Е У) — базис пространства Т, Согласно доказанному выше, выполнение последнего условия не зависит от выбора базисов в И и Иг. Очевидно, что тензорное произведение существует для любых векторных пространств И и РР': достаточно взять векторное пространство Т с базисом (т„: 1 Е Т,З' Е У) и определить билинейное отображение З: И х Иг - Т, задав его на парах базисных векторов по фоРмУле е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
