1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 55
Текст из файла (страница 55)
П Всякий невырожденный линейный оператор А е ОЦЪг) переводит одномерные подпространства в одномерные подпростраиства и тем самым определяет некоторое биективное преобразование А пространства РЪ'. Определение 3. Преобразования вида А, где А Е ОЦЪ'), называются проективными преобразованиями пространства РЪ'. Очевидно, что проективное преобразование переводит любую плоскость пространства РЪг в плоскость той же размерности. Отображение А А является гомоморфизмом группы 61.(Ъ') в группу преобразований пространства РЪ'. Его образ есть группа всех проективных преобразований пространства РЪ', называемая также полной проективной группой пространства РЪ' и обозначаемая через РО (Ъ').
Лемма 1. Ядро гомоморфизма А А есть группа скалярных операторов ЛЕ (Л Е Х'). Д о к а з а т е л ь с т в о. Если оператор А переводит каждое одномерное подпространство в себя, то все ненулевые векторы являются его собственными векторами. Но очевидно, что сумма собственных векторов с различными собственными значениями не может быть собственным вектором. Следовательно, все собственные значения оператора А одинаковы, а это и означает, что он скалярен.
П Таким образом, РЙЦЪ') =ОЦУП')/(ЛЕ: Л Е Х'). Посмотрим, как представляется проективное преобразование А на аффинной карте о. Оператор А осуществляет аффинное отображение гиперплоскости о на гиперплоскость Рис. ХО Ао. Изображение точки Ах =Ах (х Е о') на карте о' есть центральная проекция (с центром в нуле) точки Ах Е А8 на Я (см. рис. 20). Таким образом, можно сказать, что, с точки зрения аффинной 3О3 $5. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА карты, проективное преобразование есть композиция аффинного отображения и центрального проектирования. В координатах это выглядит следующим образом. Пусть матрица оператора А в базисе (е, е„..., е„) имеет вид А = (аь),", Рассмотрим неоднородные координаты в пространстве РЪ', очйределяемые репером (е„ео..., е„) аффинной карты Я (см.
(38)). Пусть х = еь + х1 е~ + ° ° ° + х„е„, так что точка х Е РЪ' имеет неоднородные координаты х„..., х„. Обозначим через у„..., у„неоднородные координаты ее образа. Тогда у, = „(т = 1,..., п). (41) ч с. 'ьтхз з =! Например, проективные преобразования прямой суть дробно- линейные преобразования (42) (аа — Ьс ф 0). (При с †,6 О точка --, переходит в бесконечно удаленную точку, с а бесконечно удаленная точка переходит в точку †.) с' Если АЯ = Я, то преобразование А представляется на карте Я как аффинное преобразование. Следующая лемма показывает, что всякое аффинное преобразование пространства Я получается таким образом. Лемма 2.
Всякое аффинное преобразование гиперплоскости Я с У, не проходяшей через нуль, единственным образом продолжается до линейного преобразования пространства T. Доказательство. Репер (е, е„..., е„) гиперплоскости Я есть в то же время базис пространства У (см. рис. 19). Продолжением аффинного преобразования 1' гиперплоскости Я является линейное преобразование пространства Ъ", переводящее базис (еь, е„ ..., е„) в базис (З"(е ), сЦ(е,),..., сЦ(е„)).
С1 Рассматривая аффинное пространство Я как часть проективного пространства РУ, можно сказать, что группа ОА(Я) есть подгруппа группы РОЦИТ'). ЗАДАЧА 3. Доказать, что для всякого проективного преобразования комплексного проективного пространства существует аффинная карта, на которой оно представляется как аффинное преобразование. 304 Глг 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Геометрия, определяемая группой проективных преобразований, называется проективной геометрией. Следующая теорема при сравнении с теоремой 3.1 показывает, насколько группа проективных преобразований богаче группы аффинных преобразований.
Назовем систему и + 2 точек и-мерного проективного пространства системой точек общего положения, если никакие и+1 из них не лежат в одной гиперплоскости. В частности, любые 3 различные точки проективной прямой проективным преобразованием можно перевести в любые 3 различные точки. Из-за этого в проективной геометрии не существует не только понятия расстояния между точками, но и понятия отношения тройки точек прямой, имеющегося в аффинной геометрии.
Однако существует некий инвариант четверки точек прямой. А именно, пусть ЄЄЄР, — точки прямой Р(1 С РЪ'. Выберем в пространстве (7 какой-либо базис (е„е,) и для любых векторов и, е Е П обозначим через йе((и, е) определитель матрицы, составленной из их координат в этом базисе. Пусть Р,. =й,. (( = 1,2, 3, 4). Легко видеть, что выражение де1(и„еа) ее1(и~, ее) ~~1'Р2'Рз'Р47 еее(ез,ее) ' еее(е, е ) (43) не зависит ни от нормировки векторов мо ни от выбора базиса Те„е ) в с7. Оно называется двойным отношением четверки точек Р~ Ре~ Рз~РР ТеоРема 3. ПУсть (Ре, Р„..., Р„е,) и (де, д„..., д„,) — две системы точек общего положения и-мерного проект ивного пространства РЪ'.
Тогда существует единственное проективное преобразование, переводящее р, в д, при ( =О, 1,..., п+ 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р, = е„д, = ~„где е,, ); (( = О, 1, ...,п + 1) — ненулевые векторы пространства 1'. Условие теоремы означает, что (ее, е„ ..., е„) (соответственно (Д,,Г„ ...,,7„))— базис пространства (7 и все координаты вектора е„,, (соответственно 7"„ ,) в этом базисе отличны от нуля. Йормировав векторы е, е„ ..., е„ (соответственно ге,,у„ ...,,Г„) некоторым вполне определенным образом, можно добиться того, чтобы е„ , = е + е, + ... + е„ (соответственно )„ , =,Ге + Л + ...
+ Д„), При этих условиях пусть А — линейный оператор, переводящий базис (е, е„..., е„) в (Д,,Т„...,7'„). Тогда Ае„,, = 7"„,, и А есть единственное проективное преобразование, удовлетворяющее требованию теоремы. П 305 $5, ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пусть Ь вЂ” аффинная карта прямой Р17. Выберем базис (е„е ) так, чтобы Ь = ет+ (е,), и пусть и! и и, = е + х!е,. Тогда х,. — неоднородная координата точки р,. на карте Ь (см. рис.
21) и Йе1(и„ит) = * 1 — — х,. — х,. х, 1 Следовательно, о с, Рис 2! 1 "з *! 4 (лР'Рз Р )= (44) Подчеркнем, что в силу наличия инвариантного определения (43) выражение (44) не зависит от выбора аффинной карты и координа- ты на ней. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Двойное отношение считается определенным, если среди точек р„р„р„р, нет трех одинаковых. При этом, если Р, = р, или р, = р,, его значение считается равным оо. ЗАДАЧА 4. Выяснить что происходит с двойным отношением (Р„р,; р, р,) = б при перестановках точек р„р„р„р,.
Доказать, 52 5!!3 что выражение не меняется ни при каких перестановках. 52(5 ! 2 — !) ЗАДАЧА 5. Изучив изображение четырех симметрично расположенных вдоль центральной аллеи квадратных цветников на рис. 17, показать, что гравер существенно исказил перспективу. (Указание: сравнить двойное отношение трех равноотстоящих точек центральной аллеи, определяемых этими цветниками, и ее бесконечно удаленной точки с двойным отношением изображений этих точек на гравюре.) Так как двойное отношение определялось в терминах, инвариантных относительно линейных преобразований пространства И, то оно сохраняется при любых проективных преобразованиях.
Перейдем теперь к проективной теории квадрик. Как мы сейчас увидим, она проще аффинной. Это одно из проявлений совершенства проективной геометрии, завораживавшего еще математиков Х1Х в., которые считали, что все геометрии следует выводить из проективной. Подмножество векторного пространства Ъ' будем называть конусом, если оно инвариантно относительно умножений на числа, т.е. вместе со всяким вектором содержит все пропорциональные ему 306 Гл. 7.
АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА векторы. (Это то же самое, что конус с вершиной в нуле в смысле определения, данного в $4.) В частности, квадрика Х с Ъ' является конусом в этом смысле тогда и только тогда, когда Х = Х((в), где Я вЂ” квадратичная функция в пространстве Ъ'. Такие квадрики будем называть квадратичными конусами (что слегка расходится с терминологией $4). Для любого конуса Х с Ъ' назовем его ароективизацией и обозначим через РХ подмножество пространства Р(г', образованное всеми одномерными подпространствами, содержащимися в Х. Ясно, что изображением подмножества РХ на аффинной карте о является пересечение Х О Я, Определение 4. Квадрикой в пространстве РЧ называется проективизация квадратичного конуса в пространстве У. Иными словами, это подмножество вида РХЯ), где (В— квадратичная функция в пространстве к', при условии, что оно не пусто и не является плоскостью.
Изображение проективной квадрики на аффинной карте, если оно не пусто и не является плоскостью, представляет собой аффинную квадрику. Однако тип этой квадрики зависит от аффинной карты. (Вспомните световое пятно от лампы с абажуром.) Проективная квадрика РХЩ) называется невырожденнои, если квадратичная функция Я невырожденна. Замечание 4. Используя идеи доказательства теоремы 4тц нетрудно показать, что, если только поле к содержит более пяти элементов, пересечение х(с7) и гт В никогда не пусто и может быть (гипер)плоскостью только тогда, когда г7 есть произведение двух линейных функций (и, следовательно, РХ(О) есть обьединение двух гиперплоскостей).
В однородных координатах проективная квадрика РХЯ) задается уравнением (в(хо, х„, х„) = ~ аихзху =0 (а, = а,г). (45) за=о Ее изображение на аффинной карте о задается в аффинных координатах уравнением (46) (в(1, х„ ...,х„) = О, а ее пересечение с бесконечно удаленной по отношению к Яо гиперплоскостью задается в однородных координатах на этой гиперповерхности уравнением (47) (в(0, х„..., х„) = О, 5 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
