1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 51
Текст из файла (страница 51)
пример 4.6.17). ПРимер 3. Важным примером несобственного движения является (ортогональное) отражение ти относительно гиперплоскости Н. Пусть е — единичный вектор, ортогональный Н. Всякую точку р е Я можно единственным образом представить в виде р= д+ Ле (д Е Н). По определению тир = д — Ле (см. рис. 11). Дифференциал отражении т есть (ортогональное) отражение относительно направляющего подпространства гипер- Рис. 11 Рис. 12 плоскости Н в пространстве !т. Пусть Н, и Н, — две гиперплоскости.
Если они параллельны, то Йти = ати и, следовательно, ! ~2 а(ти,ти,) — ати, ' с7ти, = с. В атом случае ти ти — параллельный перенос на удвоенный общий перпендикуляр гиперплоскостей Н, и Н, (см. рис. 12). Если же Н, и Н, пересекаются по (т! — 2)-мерной плоскости Р, то тити — поворот вокруг Р на удвоенный угол между Н, и Н,, т.е. движение, оставляющее на месте все точки плоскости .Р и осуществляющее поворот на указанный угол в любой двумерной плоскости, ортогональной Р (ср. пример б.3.4). ЗАДАЧА 7. Доказать, что группа !зоп! Н порождается отражениями относительно гиперплоскостей. 280 Гп 7. АФФинные и пРОектиВные пРОстРАнстВА Если в пространстве Я выбрано начало отсчета, то всякое движение однозначно представляется в виде (17), где у Е 0(У).
Однако вектор Ь, вообще говоря, зависит от начала отсчета. Следующая теорема даст некое каноническое представление любого движения. Теорема 2. Для всякого движения Х суи(ествует однозначно определенная плоскость Р = р + У со следуюи(ими свойствами: !) ЯР) = Р, причем Д вЂ” параллельный перенос (быть может, тривиальный); 2) дУ не имеет ненулевых неподвижных векгпоров в Ьг».
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если искомая плоскость существует, то ее направляющее подпространство должно совпадать с подпространством неподвижных векторов оператора А = д(. Обозначим это подпространство через У. Приняв какую-нибудь точку за начало отсчета, запишем движение 7' в векторизованной форме: 7(х) =Ах+ а. Пусть а= Ь+с, Ь Е У, с Е У".
Так как оператор А — Е невырожден на У», то существует единственный вектор х е Ьг», для которого Пусть р — соответствующая точка. Тогда ЛХЬ) =ро+ Ь Плоскость Р = рь + У и является той единственной плоскостью, которая удовлетворяет требованиям теоремы. П Плоскость Р называется осью движения 7'. Движение 7" определяется своей осью Р = д, + У, вектором Ь е У и ортогональным преобразованием В = А~о, пространства У», не имеющим неподвижных векторов.
Как следует из описания ортогональных преобразований, для собственных движений размерность д1гп сг» четна, а для несобственных — нечетна. Пользуясь этой теоремой, опишем движения евклидовой прямой, плоскости и трехмерного пространства в терминах элементарной геометрии. Через Р будем обозначать ось движения 7". Пусть 7 — движение евклидовой прямой. Возможны два случая. 1) д(ш Р = 1.
В этом случае У вЂ” параллельный перенос. 2) д1щР =О, т.е. Р— точка. В этом случае 8=-Е и 7"— отражение (симметрия) относительно точки Р. Пусть 7 — движение евклидовой плоскости. Возможны три случая. Е 3. АФФИННЬ|Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ДВИЖЕНИЯ 281 1) д1пз Р = 2. В этом случае г' — параллельный перенос. 2) дпп Р = 1, т.е. Р†прям. В этом случае В= †и у' — отражение относительно прямой Р или скользяи(ее отражение, т.е. композиция отражения относительно Р и параллельного переноса вдоль Р. 3) дцп Р = О, т.е.
Р— точка. В этом случае 1' — (нетривиальный) поворот вокруг точки Р. Пусть, наконец, у' — движение трехмерного евклидова пространства. Возможны четыре случая. 1) дпп Р = 3. В этом случае г" — параллельный перенос. 2) б1пз Р = 2. В этом случае 1' — отражение относительно плоскости Р или скользящее отражение, т. е.
композиция отражения относительно Р и параллельного переноса на вектор, параллельный Р. 3) д1гп Р = 1. В этом случае Г" — (нетрнвиальный) поворот вокруг прямой Р или винтовое движение, т.е. композиция поворота вокруг Р и параллельного переноса вдоль Р.
4) д1птР =О. В этом случае ~ — зеркальный поворот, т.е. композиция (нетривиального) поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной этой прямой; при этом указанные прямая и плоскость пересекаются в точке Р. ЗАДАЧА 8. Что представляет собой композиция поворотов Г" и д евклидовой плоскости вокруг разных точек? (Указание: вычислите д((д) ) Для любой фигуры М евклидова пространства о можно определить ее зруппу симметрии Ьугп М =(~ 61зот 3:1(М) = М).
Таким образом возникают, например, кристаллографическне группы как группы симметрии кристаллических структур. Отметим, что если группа ВутМ содержит несобственные движения, то группа Вут, М = (~ Е 1зот Я:,Г'(М) = М) является ее подгруппой индекса 2 как ядро гомоморфизма Бут М- (Ы),,Г Йе1а,р 282 Гл. 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Если М вЂ” ограниченный выпуклый многогранник, то группа Буги М конечна, так как движение, отображающее многогранник М на себя, однозначно определяется тем, как оно переставляет его вершины, а таких перестановок может быть лишь конечное число. Кроме того, группа Буш М сохраняет центр тяжести множества вершин многогранника М и потому фактически представляет собой подгруппу ортогональной группы. Наиболее симметричны так называемые и р а в и л ь н ы е м н ог о г р а н н и к и.
Пусть М вЂ” телесный выпуклый многогранник в п-мерном евклидовом пространстве. Назовем флагом многогранника М набор его граней (Рь, Р„..., Р„, ), где йгп Р, = А и Рь с Р1 с... с Р„ Определение 3. Выпуклый многогранник М называется правильным, если для любых двух его флагов существует движение у Е Буги М, переводящее первый из этих флагов во второй. Так как движение Г е Буш М, очевидно, определяется тем, куда оно переводит какой-нибудь один флаг, то порядок группы симметрии правильного многогранника равен числу его флагов. Двумерные правильные многограяники — это обычные правильныг многоугольники. Их группы симметрии были описаны в примере 4.1.11.
Трехмерные правильные многогранники — это платоновы тела, т.е. правильный тетраэдр Т, куб К, октаэдр О, додекаэдр Ю и икосаэдр Т. (См. рис. б гл. 4.) Куб и октаэдр, а также додекаэдр и икосаэдр — это так называемые двойственные правильные многогранники, имеющие одинаковые группы симметрии, так как центры граней одного из двойственных многогранников являются вершинами другого. (Тетраэдр двойствен сам себе.) Согласно предыдущему, порядок группы симметрии Буш Р трехмерного правильного многогранника Р равен числу его флагов, т.
е. ~Буш Р ~ = (число вершин) х х (число ребер, выходящих из каждой вершины) х 2. Следовательно, )Буш Т~=24, )БушК)=)Буш 0~=48, )БушР~=)БушТ)=120. Группа Буш Р имеет вдвое меньший порядок. Она состоит из поворотов вокруг прямых, проходящих через центр многогранника Р и через его граничную точку, которая является либо вершиной, либо серединой ребра, либо центром грани. ЗАДАЧА 9. Перечислить все элементы группы симметрии куба. 283 $4. КВАДРИКИ В рамках группового подхода аналогично евклидовой геометрии столь же просто определяется псевдоевклидова геометрия. Вещественное векторное пространство, в котором фиксирована симметрическая билинейная функция г» сигнатуры (й,1), где к, 1 > О, й + 1 = и = й1гп )г, называется псевдоевклидовым векторным пространством сигнатуры (к, 1), Группа линейных преобразований пространства )г, сохраняющих функцию с», называется псевдоортогональной группой и обозначается 0((г г»).
Аффинное пространство Я, ассоциированное с псевдоевклидовым векторным пространством Ъ', называется псевдоевклидовым аффинным пространством соответствующей сигнатуры, а группа 1зош Я = й '(ОЯ о)) — группой его движений. Геометрия, определяемая этой группой, н есть псевдоевклидова геометрия. Пространство-время специальной теории относительности — это псевдоевклидово аффинное пространство сигнатуры (3, 1). Оно называется пространством Минковского, а группа его движений— группой Пуанкаре. (Соответствующая группа псеадооргогональных преобразований называется группой Лоренца.) ЗАДАЧА 10. Описать псевдоортогональную группу О()г с»), где Ъ' — двумерное вещественное векторное пространство, а функция о имеет сигнатуру (1, 1). (Указание: использовать систему координат, в которой соответствующая квадратичная функция имеет вид д(х) = х,х .) ЗАДАЧА 11.
Сформулировать и доказать «третий признак равенства треугольников» на псевдоевклидовой плоскости. ф 4. Квадрини Простейшими обьектами аффинной и евклидовой геометрий являются плоскости, которые, как мы знаем, задаются системами линейных уравнений. Естественным обобщением плоскостей (называемых также линейными многообразиями) являются так называемые алгебраические многообразия — подмножества аффинного пространства, задаваемые произвольными системами алгебраических уравнений. Их изучением занимается алгебраическая геометрия. Это обширный раздел математики, который не может быть представлен в настоящем курсе. Мы лишь слегка коснемся некоторых общих вопросов алгебраической геометрии в гл. 9, а в этом параграфе рассмотрим простейший после плоскостей тип алгебраических многообразий — квадрики, задаваемые одним 284 Гл.
7. АФФинные и пРОектиВные пРОстРАнстВА алгебраическим уравнением второй степени. К их числу относятся такие объекты элементарной геометрии, как окружности и сферы. Будем считать, что сваг К ~ 2. Определение 1. Аффинно-квадратичной функцией на аффинном пространстве Я называется всякая функция Я: Я вЂ” К, имеющая в векторизованной форме вид Я(х) = д(х) + 1(х) + с, (19) Доказательство. Имеем Я(о'+ х) = Я(о + а+ х) = д(а+ х) + 1(а+ х) + с = = д(а) + 2д(а, х)+ д(х)+ 1(а) + 1(х) + с = = д(х) + (2д(а, х) + 1(х)) +(д(а) + 1(а) + с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
