1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Полупространство Н' называется при этом опорным полупространством тела М. Предложение 5. Гиперплоскость Н, проходящая через граничную точку замкнутого вьтуклого тела М, является опорной тогда и только тогда, когда Н П М = О. Доказательство. Если НПМ фЯ, то точки множества М' (и, тем самым, точки тела М) имеются по обе стороны от Н. Обратно, если точки тела М имеются по обе стороны от Н, то, поскольку каждая точка тела М является пределом точек множества М', по обе стороны от Н имеются даже точки этого множества.
Отрезок, соединяющий две такие точки, целиком лежит в М' и пересекает Н, так что Н й М' ~ О. 0 Ключевой теоремой теории выпуклых множеств является следующая теорема отделимости. 266 Гл. 7. АФФинные и пРОектиВнеее пРОстРАнстВА Теорема 1. Через любую граничную точку замкнутого выпуклого тела проходит опорная гиперплоскость. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р — граничная точка замкнутого выпуклого тела М в и-мерном аффинном пространстве. Докажем индукцией по к, что при к < и — 1 через точку р проходит к-мерная плоскость, не пересекающая М . При к = О такой плоскостью является сама точка р.
Предположим, что уже удалось найти (й — 1)-мерную плоскость Р с нужными свойствами. Выберем любую (й + 1)-мерную плоскость Н', содержащую Р и какую- нибудь внутреннюю точку р, тела М, и попытаемся найти нужную нам й-мерную плоскость среди плоскостей, содержащих Р и содержащихся в Н'. Рассмотрим выпуклое тело М'= Мй Я' в пространстве о'. Ясно, что М Г1 Н' с (М')'. Обратно, всякая точка т Е (М')' является внутренней точкой отрезка, соединяющего точку д, с некоторой точкой д Е М'С М (см.
рис. 4) и потому принадлежит М'. Таким образом, (М') = М' г~ о '. В частности, отсюда следует, что Рй(М')'=О, и нам достаточно доказать, что в Н' существует Рис. 4 опорная гиперплоскость тела М', содержащая Р. Изменив обозначения, будем считать, что Я'= о, М'=М и к+1 = и. Итак, пусть Р— это (п — 2)-мерная плоскость, проходящая через точку р и не пересекающая М'. Докажем, что существует опорная гиперплоскость тела М, содержащая Р. Каждая гиперплоскость Н, содержащая плоскость Р, разбивается ею на две полуплоскости (или полугиперплоскости, если угодно), скажем, Не и Н (не путать с предыдущими обозначениями полупространств). Если ни одна из полуплоскостей Н+ и Н не пересекает М', то все доказано. Если они обе пересекают М', то и Р пересекает М', так что этот случай невозможен. Пусть теперь Н+ пересекает М , а Н не пересекает.
Начнем поворачивать гиперплоскость Н вокруг Р, условно говоря, по часовой стрелке. Ясно, что при небольшом повороте полуплоскость Н~ по-прежнему будет пересекать М'. Однако при повороте на я она перейдет в полуплоскость Н , которая М' не пересекает. Поэтому существует некий минимальный поворот, при котором Н" перестает пересекать М'. Повернутую таким образом гиперплоскость Н обозначим через Ны $2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 267 Согласно построению, полу- плоскость Нь' не пересекает множество М , но при малей- 77~ М / шем повороте против часовой / стрелки начинает его пересекать (см. рис.
5). С другой стороны, если бы полуплоскость Н„ пересекала М', то она сохранила бы это пересечение при любом небольшом повороте. Но, с В как мы уже отмечали, обе поло- /го вины гиперплоскости, содержащей Р, не могут пересекать Мь. Рис. 5 Следовательно, Н не пересекает М' и, значит, Н, — опорная гиперплоскость. С1 ЗАМЕЧАНИЕ 1. Фактически мы доказали более сильное утверждение, а именно, что любая плоскость, проходящая через точку р и не пересекающая М', содержится в некоторой опорной гиперплоскости. ЗАмечАние 2, Через данную граничную точку р тела М может проходить либо единственная опорная гиперплоскость, как на рис. 5, либо бесконечно много таких гиперплоскостей, как на рис. б.
Опорная гиперплоскость может содержать и другие точки тела М, кроме точки р, как на рис. 7. Рис. б Рис. 7 Теорема 2, Всякое замкнутое выпуклое множество М является пересечением некоторого (быть может, бесконечного) числа полупрост ранств. 2б8 Гк 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что всякая гиперплоскость Н является пересечением полун пространств Н ' и Н . Отсюда следует, что и йлоскость любой размерности является пересечением полупространств. Пор этому доказательство теоремы сводится к случаю, когда М— тело.
Докажем, что замкнутое выпуклое тело М является пересечением своих опорных полупространств. Пусть д ф М и р — какая-либо внутренняя Рис. 8 точка тела М. Отрезок рд пе- ресекает границу тела М в некоторой точке г Ф о. Проведем через эту точку опорную гиперплоскость Нт (см. рис. 8).
Так как У(р) ) О, а У(г) = О, то У(д) < О, т. е. д ф Н'. ~3 Определение 5. Пересечение конечного числа полупространств называется выпуклым многогранником. Выпуклый многогранник, являющийся телом, называется телесным. Иными словами, выпуклый многогранник есть множество решений конечной системы линейных неравенств. Отметим, что выпуклый многогранник не обязан быть ограниченным. Так, например, все пространство Я является выпуклым многогранником (пересечение пустого множества полупространств).
Выпуклый многогранник не обязан быть телесным (хотя иногда это и требуют), Очевидно, что пересечение конечного числа выпуклых многогранников является выпуклым многогранником. Любая плоскость является выпуклым многогранником. ПРИМЕР 1. Симплекс с вершинами д„р„...,р„является выпуклым многогранником, так как он может быть задан линейными неравенствами х, > О (т' = О, 1,..., п), где т, х„..., х„— барицентрические координаты относительно р„ р„ ..., р„. ПРИМЕР 2. Выпуклый многогранник, задаваемый линейными неравенствами 0( х,. ( 1 (1 = 1,..., п), где х„..., х„— аффинные координаты относительно некоторого репера, называется п-мерным параллелепипедом.
Определение б. Точка р выпуклого множества М называется крайней, если она не является внутренней точкой никакого отрезка, целиком лежащего в М. 269 з 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА Теорема 3. Всякое ограниченное замкнутое выпуклое множество М является выпуклой оболочкой множества Е(М) своих крайних точек. Доказательство. Положим М=сопуЕ(М). Очевидно, что М С М. Докажем индукцией по П1ш Я, что МС М.
При П1ш Я =0 доказывать нечего. Пусть й1ш Я > 0 и р Е М. Докажем, что р Е М. Будем считать, что М вЂ” тело, так как иначе можно применить предположение индукции. Рассмотрим два случая. 1-й случай. Пусть р — граничная точка. Проведем через р опорную гиперплоскость Н. Тогда М П Н вЂ” ограниченное замкнутое выпуклое множество, и всякая его крайняя точка является в то же время крайней точкой множества М. По предположению индукции М и Н является выпуклой оболочкой множества своих крайних точек. Следовательно, р е М. 2-й с л у ч а й. Пусть р — внутренняя точка. Проведем через р любую прямую.
В силу ограниченности множества М она пересекает его по некоторому отрезку уг, содержащему точку р. Точки о и т являются граничными точками тела М и по доказанному принадлежат М. Следовательно, р Е М. С) Теорема 4 (Минковского — Вейля). Следующие свойства ограниченного множества М с Я равносильны: 1) М вЂ” выпуклый многогранник; 2) М вЂ” выпуклая оболочка конечного числа точек. Д о к а з а т е л ь с т в о.
1) Пусть М=ПН~ А (9) — выпуклый многогранник. Докажем, что всякая его крайняя точка есть единственная точка пересечения некоторых из гиперплоскостей Н,..., Н . Отсюда будет следовать, что М имеет лишь конечное число краиних точек. С другой стороны, по теореме 3 он является их выпуклой оболочкой. Пусть р е М вЂ” крайняя точка. Положим й = 0: У,, (р) = О) с (1,..., гп), Р=(хе Я:Цх)=О при ~'Е.7). Так как П(р) > 0 при ь' ф Х, то р является внутренней точкой выпуклого многогранника МОР в пространстве Р. Но р — крайняя точка множества М и, следовательно, — крайняя точка множества М П Р. Это означает, что й(ш Р = О, т.е. Р = (р).
270 Гл. 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 2) Пусть М = сопч(р„..., р,). Будем считать, что а11 М = В, и рассмотрим выпуклый многогранник М'=((: Г(р,.) >О при 1=1,..., Е, ~ Яр,) =1~ '=1 в пространстве аффинно-линейных функций на В. Так как аффинно-линейная функция на В однозначно определяется своими значениями в точках р„..., р„, а для функций из М' эти значения принадлежат отрезку 10, 1], то М* — ограниченный многогранник. По доказанному он является выпуклой оболочкой конечного числа точек, скажем, Л,..., 7 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
