1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

При этом в любом ортонормированном базисе матрицы эрмитова оператора и соответствующей ему эрмнтовой функции совпадают. Применяя теорему о существовании ортонормированного базиса из собственных векторов эрмитова оператора, мы получаем, что для любой эрмитовой квадратичной функции д в эрмитовом пространстае существует ортонормированный базис, в котором ее матрица диагональна, т. е.

||(х) = Л, |х,|з +... + Л„|х„|з. (23) Числа Л„..., Л„определены однозначно с точностью до перестановки, так как это собственные значения соответствующего эрмитова оператора. Выражение (23) называют каноническим видом эрмитовой квадратичной функции ц. Эрмитов оператор называется положительно определенным, если соответствующая ему эрмитова квадратичная функция положительно определенна илн, что равносильно, если все его собственные значения положительны. Гл.

6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 236 Унитарные операторы в эрмнтовом пространстве 1' образуют подгруппу группы С«1.(Р'), называемую унитарной группой и обозначаемую 1)(Ъ'). Соответственно этому унитарные матрицы образуют подгруппу группы С«Е„(С), обозначаемую 13„. Унитарные операторы (соответственно матрицы) с определителем 1 образуют подгруппу в 13(г") (соответственно в 13„), называемую специальной унитарной группой н обозначаемую Я)(У) (соответственно Я3„). Всякий невырожденный линейный оператор в эрмитовом пространстве единственным образом представляется в виде произведения положительно определенного эрмитова и унитарного операторов.

Такое представление линейного оператора называется его полярным разложением. В одномерном случае линейный оператор есть просто комплексное число, а его полярное разложение— тригонометрическая форма этого числа. Поскольку тригонометрическая форма комплексного числа связана с полярными координатами на плоскости, это объясняет термин «полярное разложение» в общем случае. Комплексификация г'(С) евклидова пространства $' каноническим образом превращается в эрмитово пространство, если определить скалярное умножение по формуле (х, +»У„х +»1А) = 1(х„хз) + (У,, Уз)]+ 1](хи У») — (У„х )). При этом комплексное продолжение А симметрического (соответственно кососимметрического, ортогонального) оператора А будет эрмитовым (соответственно косоэрмитовым, унитарным) оператором.

Используя этн соображения, можно дать еще одно доказательство существования собственного вектора у симметрического оператора А в евклидовом пространстве (с. А именно, пусть х+»у (х, у Е $') — какой-либо собственный вектор оператора А . Так как оператор А эрмитов, то соответствующее собственное значение Л вещественно и, значит, Ах =Лх, Ау=Лу. Хотя бы один нз векторов х, у отличен от нуля; он и будет собственным вектором оператора А. 237 $4. ЖОРДАНОВА ФОРМА $4. Жорданова форма Для некоторых специальных типов линейных операторов, как, например, симметрических, эрмитовых и унитарных, рассмотренных в предыдущем параграфе, удается доказать возможность приведения их матрицы к диагональному виду.

В общем случае для этого имеются препятствия, указанные в теореме 2А. Первое из них состоит в том, что характеристический многочлен может не разлагаться на линейные множители, т.е. иметь менее чем и корней. Его не существует для линейных операторов над полем комплексных чисел. В случае линейного оператора над полем вещественных чисел можно работать с его комплексификацией, что в какой-то мере снимает проблему: выбор удачного базиса из комплексных векторов позволяет понять и действие исходного оператора в вещественном пространстве. Так, в $2 мы видели, что всякому мнимому собственному вектору отвечает двумерное инвариантное подпространство в вещественном пространстве.

Как будет показано в $9.5, аналогичное расширение основного поля возможно и в общем случае. Второе препятствие состоит в том, что размерность какого-либо собственного подпространства может оказаться меньше кратности соответствующего корня характеристического многочлена. Тогда приходится расстаться с мечтой привести матрицу оператора к диагональной форме, но, если характеристический многочлен разлагается на линейные множители, ее можно привести к так называемой жордановой форме, минимально отличающейся от диагональной.

Этому и посвящен настоящий параграф. Коль скоро собственных векторов может оказаться недостаточно, естественно рассмотреть какие-то более общие векторы, Определение 1. Вектор е е $' называется корневым вектором линейного оператора А, отвечающим числу Л е К, если (А — Лб') е =О для некоторого гн Е У~. Наименьшее из таких т называется высотой корневого вектора е. В частности, собственные векторы — это корневые векторы высоты 1. Удобно считать нулевой вектор корневым вектором высоты О (отвечающим любому Л ). ПРИМЕР 1. Для оператора дифференцирования в пространстве С (К) бесконечно дифференцируемых функций собственные векторы, отвечающие числу Л вЂ” это функции, пропорциональные е"*, 238 Гл. 6.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ а корневые векторы — это функции вида р(х)е"*, где р(х)— многочлен; при этом высота такого корневого вектора равна дед р+ 1. В частности, корневые векторы, отвечающие числу О— это многочлены. Если е — корневой вектор высоты п~ > О, то вектор ~ — (А ЛЕ)~» — |е собственный с собственным значением Л. Следовательно, Л— корень характеристического многочлена. Легко видеть, что корневые векторы, отвечающие корню Л, образуют подпространство.

Оно называется корневым подпространством и обозначается У" (А). Ясно, что г" (А) ~ К(А). Если е — корневой вектор высоты т > О, то (А — ЛЕ)е— корневой вектор высоты гп — 1. Отсюда следует, что корневое подпространство У" (А) инвариантно относительно А — ЛЕ, а значит, и относительно А.

Множество корневых векторов высоты < пт — это не что иное, как ядро оператора (А — ЛЕ)™. Таким образом, корневое подпространство $"(А) — это объединение возрастающей цепочки подпространств Кег(А — Л Е) с Кег(А — Л Е)' с... В конечномерной ситуации эта цепочка, начиная с некоторого места, стабилизируется, и, значит, Ъ'1(А) = Кег(А — ЛЕ) для некоторого и|.

В базисе пространства У"(А), согласованном с этой цепочкой подпространств, оператор А — ЛЕ записывается нильтреугольной матрицей (т.е. треугольной матрицей с нулями на диагонали), а оператор А соответственно этому — треугольной матрицей с числом Л на диагонали. Отсюда мы получаем два следствия: 1) характеристический многочлен ограничения оператора А на Ъ'"(А) равен (т — Л)', где к = б|гп Ъ'"(А); 2) при р ,-4 Л оператор А — рЕ невырожден на У~(А). ЗАДАЧА 1.

Доказать, что высота любого корневого вектора, отвечающего корню Л, не превосходит б1|п У'(А). Докажем теперь ключевое утверждение, оправдывающее понятие корневого вектора. Предложение 1. Размерность корневого подпространства равна кратности соответствующего корня характеристического многочлена. $4. ЖОРДАНОВА ФОРМА 239 Доказательство. В базисе (е„..., е„) пространства Ъ', первые к векторов которого составляют базис подпространст- ва $™(А), матрица А оператора А имеет вид (6), где  — матрица оператора В = А~„„<лг Следовательно, ~д(1) = ге(1) ое1($Š— С) =($ — Л)' бе4(тŠ— С).

Пусть С вЂ” линейный оператор в пространстве И' = (е„, „..., е„), задаваемый матрицей С. Нам нужно доказать, что Л не является корнем многочлена ое1(тŠ— С), т.е. собственным значением опе- ратора С. Предположим противное. Тогда существует такой ненулевой вектор е е И~, что Се = Ле. Это означает, что Ае = Ле+ и, и Е У~(А), и, следовательно, (А — ЛЕ)е = и — корневой вектор, но тогда и е— корневой вектор, что противоречит определению Р'"(А). П Предложение 2. Корневые подпространства, отвечающие различным корням Л„..., Л„, линейно независимы. Д о к а з а т е л ь с т в о.

Доказательство аналогично доказатель- ству теоремы 2.3 о линейной независимости собственных подпро- странств. Пусть е, +, +е„, +е„=О (е, Е Ъ'" (А)). Применим к этому равенству оператор (А — Л,Е)", где п1 — высота вектора е„. Мы получим (А — Л Е) е, +...+(А — ЛьЕ) е, =О. Если доказывать предложение индукцией по й, то предположение индукции даст (А — Л Е) е, =... =(А — Л„Е) е, =О. Так как оператор А — Л,Е невырожден на каждом из подпространств "ч'"'(А),..., У~'-'(А), то отсюда следует, что е, =...= е„, =О; но тогда и е, =О. П Предложения ! и 2 в совокупности позволяют сделать следующий вывод.

Теорема 1. Если характеристический многочлен гл(1) разлагается на линейные множители, то 1' = Е ~'" (А), где Л„..., Л, — (различные) корни многочлена Ул(т). 240 Гл. б. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Исследуем теперь более подробно действие оператора А на каждом из корневых подпространств. Определение 2. Линейный оператор Л/ называется нильпотентным, если существует такое т Е Ж, что ЛГ" =О. Наименьшее из таких т называется высотой нильпотентного оператора ЛГ. ПРИМЕР 2.

Оператор дифференцирования в пространстве многочленов степени не выше и является нильпотентным оператором высоты и+1. Так как И" (А) = Кег(А — ЛЕ)" для некоторого т, то оператор ЛГ= (А — ЛЕН ч„, нильпотентен. Поэтому наша задача сводится к исследованию нильпотентных операторов. Пусть Лà — нильпотентный оператор в векторном пространстве И. Высотой вектора е е И относительно ЛГ называется наименьшее т, для которого ЛI"е = О, т.е. высота вектора е как корневого вектора оператора ЛI (отвечающего корню О). Очевидно, что высота любого вектора не превосходит высоты самого оператора ЛГ, причем существуют векторы, высота которых равна высоте оператора ЛГ, Мы будем обозначать высоту вектора е через и( е, Лемма 1.

Характеристики

Список файлов книги