1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 46
Текст из файла (страница 46)
$ З. ФУНКНИИ ОТ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 253 ПРимеР 9. Найдем решение системы дифференциальных уравнений х,'(з) = х,(т) — Зх„(з), х~(т) = х,(г) — т (т) — бт (г), х~(т) = — х,(т)+ 2хт(з) + 5х (т), удовлетворяющее начальным условиям х,(0) = 1, х,(0) = 1, т (0) = О. Матрица А этой системы совпадает с матрицей примера 3. Мы должны вычислить Г(А), где Г(и) = е'" (здесь т выступает как константа).
Интерполяционный многочлен р(и) = аи' + Ьи + с определяется условиями р(1)=а+ Ь+с =е', р(2) =4а+ 2Ь+ с = ез', Р'(2) = 4а+ Ь = гез', откуда а = (т — 1)ем + е', Ь = — (Зт — 4)ем — 4е', с = (2г — 3)е" + 4е'. Следовательно, еы = ез'[(г — 1)Аз — (Зт — 4)А + (2г — З)Е) + е'(Аз — 4А+4Е) = /Зт — 3 — бе+6 — 91+6'1 /4 — 6 — 6'1 =е" ~Зт — 2 — бе+4 — 9т+З~+е' ~ 2 — 3 — 3) .
— т 2т Зт+1 0 0 0 Решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, полу- /1~ чается умножением матрицы е'" на столбец ~1). Таким образом находим О 31+3) м 2 хз(г) = (-Зг + 2)ем — е', хз(г) = тез'. Глава 7 АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА у 1. Аффннные пространства В элементарной геометрии мы имеем дело не только с векторами, но и с точками (и даже главным образом с точками). Подобно тому, как аксиоматика векторного пространства отражает в обобщенном виде свойства векторов элементарной геометрии, аксиоматика аффинного пространства отражает свойства точек и векторов элементарной геометрии в их взаимосвязи.
В «обычном» евклидовом пространстве элементарной геометрии можно определить операцию сложения точки и вектора. А именно, суммой точки р и вектора х называется точка, являющаяся концом вектора, равного х, отложенного от точки р. Свойства этой операции и лежат в основе следующего определения. Пусть $' — векторное пространство над полем Л, Определение 1. Аффинным пространством, ассоциированным с векторным пространством )т, называется множество Я вместе с операцией сложения Я х )т — Я, удовлетворяющей следующим условиям: 1) р+(х+ у)=(р+ х)+ у (рЕ 4 х, уЕ У); 2) р + О = р (р Е Я, Π— нулевой вектор); 3) для любых р, д е Я существует единственный вектор х, такой, что р+х=д.
Элементы множества Я называются точками. Вектор х из условия 3) называется вектором, соединяющим точки р и д, и обозначается через рд. Из условия 1) следует, что рд+ дт = рт Чр, д, т е Я Всякое векторное пространство У можно рассматривать как аффинное, считая, что точки — это те же векторы„и определив операцию сложения точки и вектора как сложение векторов.
При этом вектор рд будет разностью векторов д и р. 255 $1. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА С другой стороны, если в аффинном пространстве Я фиксировать некоторую точку о — «начало отсчета», то можно отождествить каждую точку р с ее радиус-вектором ор. При этом сложение точки и вектора превратится просто в сложение векторов, Такое отождествление точек с векторами называется векторизацией аффинного пространства. (Конечно, оно зависит от начала отсчета.) Размерностью аффинного пространства по определению считается размерность соответствующего векторного пространства. Точка о (начало отсчета) вместе с базисом (е„..., е„) пространства У называется репером аффинного пространства Я. С каждым репером связана аффинная система координат в пространстве Я. А именно, каждой точке р е Я приписываются координаты, равные координатам вектора ор в базисе (е„..., е„).
Легко видеть, что 1) координаты точки р+ х равны суммам соответствующих координат точки р н вектора х; 2) координаты вектора щ равны разностям соответствующих координат точек о и р. Линейные комбинации точек аффинного пространства, вообще говоря, не определены. Однако некоторым из них можно придать смысл. А именно, назовем барицентрической линейной комбинацией точек р„...,р, е Я линейную комбинацию вида 2; Л,.р„ где 2; Л,.
= 1, и будем считать ее равной точке р, определяемой равенством ор = 2 Л,.ор,, где о е Я. Благодаря условию 2 Л,. =1 это определение не зависит от выбора точки о. Действительно, пусть о' †люб другая точка. Тогда о'р = о'о + ор = 2 , 'Л,(о'о + ор,.) = 2; Л,.о'р, В частности, центр тяжести системы точек (р„..., р») можно определить как сеп1(р„..., р„) = -(р, +...
+ р„). 1 ЗАДАЧА 1. Показать, что в обычном евклидовом пространстве а) барицентрическая комбинация Лр+ ид двух точек р и д есть точка, делящая отрезок ро в отношении р: Л (она лежит на самом отрезке, если Л, р > О, и на его продолжении в противном случае); б) центр тяжести множества вершин треугольника есть точка пересечения его медиан. 256 Гк 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пусть р, р„..., р„— такие точки и-мерного аффинного пространства Я, что векторы ду„..., р„р„линейно независимы. Тогда каждая точка р Е Я единственным образом представляется в виде Р= 2 хьР„ =о где 2 х! =1. -о В самом деле, это равенство можно переписать в виде ЄР= 2, х,РЬРо !=! откуда следует, что в качестве х„ ...,х„ можно (и должно) взять координаты вектора рор в базисе (р,р„ ..., ц,,р„); после этого х определяется равенством х = 1 — 2 х! =1 Числа х, х„..., х„называются бари!)ентрическими координатами точки р относительно р„р„..., р„.
Основными объектами элементарной геометрии являются прямые и плоскости. Следующее определение вводит соответствующие понятия в геометрию аффинных пространств. Определение 2. Плоскостью в аффинном пространстве Я называется подмножество вида Р=р,+ Ц является наименьшей плоскостью, содержащей М.
Эта плоскость называется аффинной оболочкой множества М и обозначается где ро — некоторая точка, а У вЂ” подпространство пространства г'. Подпространство У однозначно определяется как совокупность всех векторов, соединяющих точки плоскости Р, и называется направляющим подпространством плоскости Р. Сумма точки из Р и вектора из У принадлежит Р. Относительно этой операции плоскость Р является аффннным пространством, ассоциированным с векторным пространством У. По определению б1щ Р = д!щ У. Нульмерная плоскость есть точка. Одномерная плоскость называется прямой.
Плоскость размерности и — 1 называется гиперплоскостью. В качестве точки р в равенстве (1), определяющем плоскость Р, может быть взята любая точка этой плоскости. Очевидно, что пересечение плоскостей, если оно не пусто, также является плоскостью. Для любого подмножества МС Я и любой точки р ЕМ плоскость ро+ (д~р: р Е М) 257 $ Е АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА через ай М. Она может быть также определена как совокупность всех барицентрических линейных комбинаций точек из М. Теорема 1. Через любые к+! точек аффинного пространства проходит плоскость размерности < к; при этом, если эти точки не содержатся в плоскости размерности < к, через них проходит единственная плоскость размерности к. Доказательство. Пусть р, р„..., р, е Я, Тогда т =Рь+(й Рьрь) Ранг матрицы с хьь хь! " ' хьв хю хп ...
х,„ (2) не изменится, если прибавить к первому столбцу сумму всех остальных. При этом мы получим матрицу есть плоскость размерности < к, проходящая через р, р„..., р,. Если б1гп Р = к, то векторы р,,ро..., рр„р, линейно независимы и Р является единственной к-мерной плоскостью, проходящей через л„р„..., р„. И Точки р, р„..., р, е Я называются аффинно зависимыми, если они лежат в плоскости размерности < к, и аффинно независимыми в противном случае. Из доказательства теоремы 1 видно, что точки рь, р„..., р„аффинно зависимы тогда и только тогда, когда векторы Рьр1,..., ду„линейно зависимы.
В то же время из определения ясно, что свойство точек быть аффинно зависимыми или независимыми не зависит от их нумерации (в частности, от того, какую из них мы возьмем за р ). Теорема 2. Точки рь,р„...,р„аффинно независимы тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из их барицентрических координат, равен к + 1. Доказательство. Пусть хиь х,.„..., х,„— барицентрические координаты точки р, относительно (аффинно независимых) точек оь, д„..., д„. Тогда х,„..., хы — координаты вектора д„р,. в базисе Йод~ дои.1.
258 Гл. 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЪ|Е ПРОСТРАНСТВА Вычтя из каждой строки первую строку, что также не изменит ранга, мы получим матрицу < хс! О*„-„ О х„, — хс! ... х,„— хс„ ранг которой на единицу больше ранга матрицы (3) х, — хс! ... х,— х„ элементы которой суть координаты векторов р,ро..., р,р, в базисе Таким образом, ранг матрицы (2) равен 6 + 1 тогда и только тогда, когда ранг матрицы (3) равен !с; но последнее как раз и означает, что векторы р,р„..., рьр, линейно независимы, т.е. что точки р, р„..., р„аффинно независимы. П ПРИМЕР 1. Пусть точки х, у, х, лежащие на сторонах 6с, са, а6 треугольника або или их продолжениях (см.
рис. 1), делят эти стороны в отношениях Л: 1, и: 1, и: 1 соответственно. Выясним, при каком условии на Л, !л, и точки х, у, х лежат на одной прямой, т. е. аффинно зависимы. В силу задачи 1 матрица барицентрических координат точек х, у, х относительно точек а, 6, с имеет вид 1 Л О Л+1 Л+1 и О ! и+1 и+1 1 и — — О и+1 и+1 По теореме 2 точки х, у, х лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е. когда Лри = — 1. Это утверждение носит название теоремы Менелая. Рис. 2 Рис.
1 259 $1. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЗАДАЧА 2. Используя барицентрические координаты, доказать теорему Чевы: в обозначениях примера 1, прямые ах, бу, сг пересекаются в одной точке (см. рис. 2) тогда и только тогда, когда Л1»о = 1. Теорема 3. Оепустое подмножество Р С Я является плоскостью тогда и только тогда, когда вместе с любыми двумя различными точками оно содержит проходящую через них прямую. Доказательство. Утверждение «только тогда» очевидно. Пусть теперь Р с Я вЂ” непустое подмножество, обладающее указанным свойством. Пусть (д„р„..., р,) — максимальная аффинно независимая система точек в Р. Тогда Р С аН(рь,р„..., р„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
