1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Этим же способом доказывается, что если минимальный миогочлен оператора А разлагается иа линейные множители иад К, то и его характеристический миогочлеи разлагается иа линейные множители иад К, Пользуясь теоремой Гамильтона — Кали, можно свести вычисление любого многочлена 7 от линейного оператора А к вычислению многочлена степени < и от этого оператора. А именно, разделим Г на Г с остатком: $ З. ФУКСИИ ОТ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 247 Предложение 1. Пусть Л„..., Л, е К вЂ” различные числа и й„..., Ь, — натуральные числа, удовлетворяющие условию (26). Обозначим через Р„пространство многочленов степени < и. Тогда отображение ун Р„- К", ставящее в соответствие каждому многочлену р е Р„набор чисел (Р<и(Л,): 1 = 1,..., г, у' = О, 1,..., й, — 1), является изоморфизмом векторных пространств. Доказательство.
Очевидно, что у — линейное отображение. Так как 61гпР„= 61гпК" = и, то достаточно доказать, что Кег ~р = О. Но Кег р состоит из многочленов, для которых каждое из чисел Л,, является корнем кратности > Ьо а ненулевой многочлен степени < и не может иметь так много корней (с учетом кратностей). П Задача нахождения многочлена р степени < и, для которого числа ри~(Л,.) (1 =1,..., з; у =О, 1,..., Ь,.— 1) равны какимто заданным числам, называется задачей интерполяции (с кратными узлами). В случае простых узлов, т.е. когда Ь, =...
= Ь, = 1, ответ может быть дан в виде интерполяционной формулы Лагранжа. ПРИАтЕР 3. Вычислим А, где А= 1 — 1 -6 Имеем т — 1 О 3 7 (т) = — 1 с+1 6 тз 5тз+8т — 4=(Ь вЂ” 1)(М 2)з 1 -2 т — 5 Интерполяционный многочлен р(т) = аз~ + Ьт + с определяется условиями р(1) = а+ Ь + с = 1, р(2) = 4а+ 2Ь + с = 2, р'(2) = 4а+ Ь = т ° 2 откуда а = (гп — 2) . 2 — 1+ 1 Ь = -(Згп — 8) 2 ' — 4, с = (2т — 6) 2'" — ' + 1. 248 Гл. б. ЛИНЕЙНЫЕ РПЕРАТОРЫ Следовательно, А =2" '1(гп — 2)А~-(Згп — 8)А+(2т — 6)Е!+Аз — 4А+4Е= /Згп — 6 — бгп+12 — 9гп+12 т Г'4 — б -б т =2 ' ~Згп — 4 — бгп+8 — 9гп+6 ) + ~ 2 -3 -3) . — гп 2т Зт+2 О О О Изложенная теория может быть обобщена с многочленов на произвольные аналитические функции, но для этого мы должны исследовать топологические свойства алгебры линейных операторов.
Пусть Ъ' — векторное пространство над полем К = К или С. Определение 1. Нормой в пространстве У называется всякая функция (! . (): У вЂ” К, обладающая свойствами 1) !!х!!)О при х~О; 2) !(Лх(! = !Л (!Щ 3) !!х+ у!! < !!х!!+ !!у!!. Приведем примеры норм в К".
ПРИМЕР 4. !!х!! = шах !х,.). ПРимЕР 5. Евклидова (эрмитова) норма )Щ = 2 ~х,!з. ПРИМЕР 6. !!х!(=2,)х,(. Определение 2. Последовательность векторов х„называетси сходящейся по норме к вектору х е У, если !пп (!х„— х!! = О. Легко видеть, что сходимость по любой из приведенных выше норм означает просто покоординатную сходимость. На самом деле это справедливо вообще для всех норм в конечномерном пространстве, как показывает следующее Предложение 2. Для любьи двух норм !!.
)!, и !!. )!з в конечномерном векторном пространстве Тг существуют такие пололсательные константы а и Ь, что а< — *~-а < Ь при всех хЕЪ' хфО. !!х!! ~ Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно сравнить произвольную норму с какой-либо фиксированной.
Пусть (Щ = 2 !х,.), где х„..., х„— координаты вектора х в базисе (е„..., е„1. Тогда (!хЦ < 2', !х,.!!!е,.!!з < Ь!!х~)„ $5. ФУНК((ИИ ОТ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 249 где Ь = щах!!е,!!з. Неравенства !!(х+ сах!(~ — (!х((з! < !!2) х!!~ < Ь(!дгх!!, показывают, что !! !! — непрерывная функция в топологии по- координатной сходимости. Пусть а — ее минимум на »единичной сфере» !(х!(, = 1 в смысле первой нормы. Тогда !(х!(, > а!)х(!, при всех х Е Ъ'. П Замвчанив 2. В бесконечномерном пространстве различные нормы, вообще говоря, определяют различные топологии. Проверьте зто, например, яля норм 1 !Л~ = 5!Х( )!Вз (!г'!!з = '"'" (з'(з)! в пространстве непрерывных функций на отрезке (О, 1!.
Пусть»г — конечномерное векторное пространство с фиксированной нормой !! !!. Определение 3. Ряд 2; х (х„е 'к') называется абсолютно м=~ »» сходящимся, если числовой ряд 2 , '((х,„(! сходится. Точно так же, как для числовых рядов, доказываются следующие утверждения. Предложение 3. Всякий абсолютно сходящийся ряд ~ х (х е 'и') сходится, причем (~ 2 х ! < 2 , (!х !!. Предложение 4. Сумма абсолютно сходящегося ряда не изменяется ни при какой перестановке его членов. Определим теперь норму в пространстве линейных операторов на (г. Определение 4.
Нормой линейного оператора А называется число )!А)! = гпах !!Ах!! = щах —. ((*(! ' Предложение 5. Определенная таким образом функция в пространстве линейных операторов действительно является нормой. Кроме того, она обладает свойством !!АВ!! < !!А!!!!В!!. Доказательство. Имеем !!А+В(! = гпах (!(А+В)х!! = гпах !)Ах+Вх(! < щах(!!Ах!(+((Вх)!) < гаах !(Ах(! + гпах !!Вх!! = !)А!! + )!В!!. 250 Гл. б. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Остальные свойства нормы очевидны.
Далее, 11АВ11 = шах 11 *1~ = гпах )( — *-~( )) — ~~ < *Фо 1~у~1 в*го !!ВЫ!! 11х~1 <шах) — *1 шах 11 *11 <шах)( — з11 шах 11 — *1=)(А))))В11. П в гь У*1~ в еь !Ф! ьео Ы ео 'ье11 ЗАЛАНА 2. Найти явный вид нормы линейного оператора для каждой из трех приведенных выше норм в пространстве К". Очевидно, что норма линейного оператора не меньше, чем модуль любого его собственного значения. Теорема 2. Пусть ряд7(с)= 2 а с (а еК) сходится при )Г! < В. Тогда ряд =о 7(А) = 2; а„А (28) ~=о абсолютно сходится для любого линейного оператора А, удов- летворяющего условию 11А11 < А.
Доказательство. Как известно, из сходимости степенного ряда У(с ) при ~ Ф ~ < А следует его абсолютная сходимость в том же интервале (круге). Так как !)а А 11 < '1а 'И1А() то ряд 7(А) абсолютно сходится при 11А11 < В. П Равенство (28) считается определением функции 7" от линейного оператора А. При этом сохраняются свойства (24). Аналогичным образом определяется функция от матрицы. Как и в случае мно- гочленов, если А — матрица оператора А в каком-либо базисе, то 7(А) — матрица оператора 7(А) в том же базисе. Предположим теперь, как и выше, что характеристический мно- гочлен 7л имеет корни А„ ..., А, кратностей й„ ..., й„ причем й, +... + й, = п.
Если ))А(( < В, то 1л,.( < В при а = 1,..., в. Теорема 3. В условиях теоремы 2 найдем многочлен р сте- пени < и, удовлетворяющий условиям (27). Тогда 7" (А) = р(А). До к азат ельст в о. Для любого гп положим 7 (г)= 2 а„Ф" ь-о и обозначим через р многочлен степени < п, удовлетворяющий условиям (27) дяя многочлена 7' вместо У. Согласно предыдущему, 7„(А) = р (А).
Из предложения 1 следует, что 1пп р„= р. Имеем теперь У(А)= Йш,1'„(А)= 1цп р (А)=р(А). П $5. ФУНКЦИИ ОТ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 251 Согласно сформулированному выше общему принципу, для любого линейного оператора А определяется его экспонента е" (=ехрА) по формуле !' 2! 3' (29) Как и для чисел, путем перемножения рядов с использованием предложения 4 устанавливается Теорема 4. е'~е = е'ее при АВ = ВА.
(При АВИВА это свойство, как правило, не имеет места, и можно сказать, что лишь благодаря этому обстоятельству существует теория групп Ли.) При фиксированном А положим О(т)=е л (т ЕК) (30) Очевидно, что м(0) = Е. Из теоремы 4 следует, что 0(!+э)=й!)й ), й-!)=О(!)-' Таким образом, операторы м(т) образуют группу. Она называется однопарамегпрической группой, порожденной оператором А. ПРИА!ЕР 7.
Пусть Ю вЂ” оператор дифференцирования в пространстве многочленов степени ( и. Тогда (е~г)(х) = у(х) + у!(Г)г + ~+) т'+... = Г(х+ !). ,(о -!') ПРимеР 8. е ~ У = соз 5'и (проверьте). !! о) !созт ~5!ПГ СОзт Для операторной функции вещественного или комплексного переменного можно обычным образом определить производную. При этом очевидно, что дифференцирование операторной функции сводится к дифференцированию матричных элементов. Теорема Б. м(с) =м(г)А= Ам(!). Доказательство.
Так как й(! + !з!) = и(!)й(!з!) = м(сь!)й!), то о!о= е е — '"-'~~'=оо! ю во~=-'= о! о а! ы о =(11щ -'%=-'-) а( ), 252 Гл. б, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ и доказательство, как и в случае числовой экспоненты, сводится к выводу лзамечательного предела» сл 1пп ' =А. (31) Имеем — =А Е+з 2~+$з, +" Ряд, заключенный в круглые скобки, при ~1~ < 1 мажорируется сходящимся числовым рядом ~~А) )ли2 ~~А~~З и потому абсолютно сходится, причем его сумма по норме не превосходит суммы указанного числового ряда. Отсюда и следует (31). П Теорема 5 позволяет найти в общем виде решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами л х,'.(т) = 2, авх,(г) т=1 (л =1,, и). (32) (Здесь х,(т),...,х„(г) — неизвестные функции переменного т.) Согласно общей теории, система (32) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям вида х (О) = х, (т' = 1,..., а).
Перепишем систему (32) в векторной форме: (33) х'(г) = Ах(г), (34) где х(т) — вектор-столбец с координатами х,.(г), а А — матрица с элементами ао. Начальное условие (33) можно записать в форме (35) х(0) = х, где х — вектор-столбец с координатами х, Тогда решением будет х(г) = е'"х . (36) Доказательство этого получается непосредственной проверкой с помощью теоремы 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
