1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 40
Текст из файла (страница 40)
10.) Например, пусть Х = К, Х = К, ~р(х) = х+ а (а е К). Тогда (~р„г)(х) = ~(х — а). $1. МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 219 (График Функции р„У получается из графика функции У сдвигом вправо на а.) Так как сов(х — а) =сова. сов х+в!па з!их, в!п(х — а) = — в!и а сов х + сов а з!и х, то надпространство (сов х, в!и х) инвариантно относительно х., причем матрица ограничения преобразования Р.
на это подпространство в базисе (сов х,в!и хТ имеет внд сов а — в1п а ) П(а) в!и а сов а/ ПРИМЕР б. В любой алгебре преобразование Т,;. х~ ах (аЕА), называемое левым умножением на элемент а, является линейным оператором. Рассмотрим, например, поле С как алгебру над !к. Равенства (а+ ЪЬ) 1 = а+ Ьъ', (а+ Ьъ ) ° г' = — Ь + ае показывают, что матрица оператора Г,.
„. в базисе (1, г) есть ЗАДАЧА 1. Найти матрицу левого умножения на А = ~ а ) /а Ь! ~ с в алгебре 1.,(К) в базисе, составленном нз матричных единиц. Доказать инварнантность подпространств (.Еп, Ех) н (Яп, Е„). Линейные операторы в одном векторном пространстве можно складывать, умножать друг на друга и умножать на числа. Эти операции определяются так же, как для общих линейных отображений (см. $2.3). Им соответствуют такие же операции над матрицами, т. е., например, матрица произведения двух линейных операторов в каком-либо базисе равна произведению нх матриц в том же базисе.
Из свойств операций над линейными отображениями, доказанных в $2.3, следует что совокупность всех линейных операторов в векторном пространстве У является ассоциативной алгеброй. Мы будем обозначать эту алгебру через ЦУ). Отметим, что если Йщ У = и, то йщ 1.(У) = йщ 1.„(К) = пз. Алгебра 1.(У) обладает единицей. Ею является тождественный оператор, который мы будем обозначать буквой Е. Матрица оператора Е в любом базисе есть единнчная матрица а.
Гл. 6. ЛИНЕИНЪ|Е ОПЕРАТОРЫ 220 Линейный оператор АЕ ЦИ) обратим тогда и только тогда, когда Кег А = 0 и 1га А= У. Из теоремы 2,3.3 следует, что в конечномерном случае, если Кег А = О, то автоматически!щ А = И, и обратно. С другой стороны, ясно, что линейный оператор обратим тогда и только тогда, когда его матрица обратима„т.е.
невырожденна. В общем случае размерность надпространства 1щА называется рангом линейного оператора А и обозначается через гк А. В силу следствия 1 теоремы 2.3.3 она равна рангу матрицы оператора А (в любом базисе). Из формулы (5) следует, что определитель матрицы оператора А не зависит от выбора базиса. Он называется определителем линейного оператора А и обозначается через де1А. 2 2. Собственные векторы Основная задача теории линейных операторов состоит в приведении матрицы линейного оператора к возможно более простому виду за счет выбора подходящего базиса.
Как мы уже отмечали, для этого полезно знать инвариантные подпространства. Особую роль играют одномерные инвариантные подпространства. Их рассмотрение приводит к понятию собственного вектора. Определение 1. Ненулевой вектор г Е У называется собственным вектором оператора А, если Ае = Ле. Число Л е Л" называется при этом собственным значением оператора А, отвечающим собственному вектору е. Очевидно, что ненулевой вектор е является собственным тогда и только тогда, когда одномерное надпространство (г) инвариантно.
В базисе, составленном из собственных векторов (если таковой существует), матрица оператора диагональна, что является пределом мечтаний. ПРИМЕР 1. Для оператора дифференцирования в пространстве многочленов единственным с точностью до пропорциональности собственным вектором является многочлен 1 (причем соответствующее собственное значение равно О). Таким образом, в этом случае из собственных векторов нельзя составить базиса. ПРИМЕР 2. Собственные векторы поворота на угол сг ф йя в трехмерном пространстве — это векторы, лежащие на оси поворота, причем соответствующее им собственное значение равно 1. При а = йя собственными (с собственным значением ( — 1)") являются также векторы, ортогональные оси поворота.
Таким образом, базис 221 $2. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ из собственных векторов в этом примере существует только тогда, когда а = 0 или я (если считать, что 0 < а < 2я). Для существования собственного вектора с собственным значением Л необходимо и достаточно, чтобы оператор А — ЛЕ был вырожден, т.е. чтобы де1(А — ЛЕ) =О. Если А =(ае) — матрица оператора А в каком-либо базисе, то ап — Г ап от1 ап йе1(А — сЕ) = а„„вЂ” Ф а„ а„, откуда видно, что ое1(А — гЕ) представляет собой многочлен степени п от т.
Определение 2. Многочлен у (с) = ( — 1)" пе1(А — гЕ) = йе1(гŠ— А) называется характеристическим многочленом оператора А. Легко видеть, что коэффициент при т" многочлена 1л(с) равен 1, а коэффициент при т" ' равен — 1гА, где 1гА — след матрицы А (сумма ее диагональных элементов). Свободный член многочлена ~„(г) равен ~ (О) =(-1)" йе1А. ЗАДАЧА 1. Доказать, что коэффициент прн г" ~ многочлена Я с) равен ( — 1)' х(сумма главных миноров порядка й матрицы А).
(Главным минором квадратной матрицы называется определитель ее подматрицы, расположенной симметрично относительно главной диагонали.) Отметим, что характеристический многочлен линейного оператора в силу своего определения не зависит от выбора базиса. Отсюда, в частности, вытекает, что след матрицы линейного оператора не зависит от базиса. Выше была фактически доказана Теорема 1. Собственные значения линейного операторов это в точности корни его характеристического многочлена. Следствие.
Любой линейный оператор в комплексном векторном пространстве имеет собственный вектор. Линейный оператор в вещественном векторном пространстве может не иметь собственных векторов, как показывает пример поворота плоскости на угол а Ф О, я. Однако использование комплексных чисел позволяет получить полезную информацию и о 222 Гл.
6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЪ| линейных операторах над полем вещественных чисел. Это достигается с помощью так называемой комплексификации. Пусть У вЂ” вещественное векторное пространство. Построим из него комплексное векторное пространство У(С) аналогично тому, как нз поля К строится поле С.
А именно, элементами пространства У(С) будем считать пары (х, у), где х, ус T. Определим сложение таких пар и умножение на комплексные числа по правилам (х„у, ) + (хз, ь',) = (х, + х„у, + уз), (Л + ар)(х, у) = (Лх — ру, ах+ Лу). Легко проверить, что при этом получится векторное пространство над С. Согласно данному определению, сложение пар вида (х, О) и их умножение на вещественные числа сводится к соответствующим операциям над их первыми компонентами. Отождествим каждую пару вида (х, О) с вектором х е У; тогда пространство У окажется вложенным в Ъ'(С) в виде вещественного подпространства. При этом окажется, что (х, у) = х + Еу.
Любой базис пространства 1' (над К) является в то же время базисом пространства У(С) (над С). Однако в пространстве г'(С) существуют и другие базисы. Любой линейный оператор А в пространстве У однозначно продолжается до линейного оператора А в пространстве $" (С). При этом в базисе, составленном из вещественных векторов, оператор А имеет такую же матрицу, как и оператор А.
Оператор А может иметь мнимые собственные значения и соответствующие им мнимые собственные векторы. Какой смысл они имеют в вещественных терминах? Предложение 1. Вектор х+ Еу (х, у Е T) является собственным вектором оператора А с мнимым собственным значением Л + ьр (Л, р Е К, и ~ О) тогда и только тогда, когда У = (х, у) с Ъ' — двумерное инвариантное надпространство для оператора А, причем Ах = Лх — иу, (14) Ау = ах+ Лу. Доказательство проводится непосредственным вычислением. Равенства (14) означают, что в базисе (х, у) пространства У оператор А~ имеет матрицу (15) $2. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 223 Из них также следует, что вектор х — ту является собственным вектором оператора А с собственным значением Л вЂ” тр. ПРимеР 3, Оператор А поворота евклидовой плоскости на угол сг в ортонормированном базисе (е„е,) имеет матрицу П(а) (см.
(9)), Следовательно, вектор е, + ге, является собственным вектором оператора А с собственным значением соз а — г з1п а, а вектор е, — ы — собственным вектором с собственным значением сова + т'з1п а. Таким образом, матрица поворота может быть приведена к диагональному виду в комплексном пространстве. В качестве следствия предыдущего предложения получается важная Теорема 2. Для любого линейного оператора над полем вещественных чисел существует одномерное или двумерное инвариантное надпространство, При заданном собственном значении Л собственные векторы находятся из системы однородных линейных уравнений (А — ЛЕ)Х =О, где Х обозначает столбец координат неизвестного вектора. Вместе с нулевым вектором они составляют подпространство Р'„(А) = Кег(А — Л Е), называемое собственным подпространством оператора А, отвечающим собственному значению Л.
Его размерность равна п — гк(А — ЛЕ), где и = д1щ Ъ'. Теорема 3. Собственные подпространства, отвечающие различным собственным значениям Л„..., Л, оператора А, линейно независимы. Доказательство. Докажем утверждение теоремы индукцией по й. При Е = 1 доказывать нечего. Пусть й > 1 и е, +... + еь, + е„= О (е,. е Ъ"„(А)). Применяя оператор А, получаем Л, е, +... + Л, е,, + Л„е~ = О. Вычитая отсюда исходное равенство, умноженное на Л„получаем (Л, — Л )е, +...
+(Л„, — Л )е„, =О, откуда в силу предположения индукции следует, что е, = ... = е„, = О. Но тогда и е = О. С) 224 Гл. 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Следствие. Если характеристический многочлен ул(г) имеет п различных корней, то суи(ествует базис из собственных векторов оператора А. Указанное условие не является необходимым для существования базиса из собственных векторов. Так, для тождественного оператора Е все векторы являются собственными, и, стало быть, любой базис состоит из собственных векторов, однако его характеристический многочлен Г (г ) =(г -1)" имеет единственный (но и-кратный) корень 1.
Рассмотрим два более интересных (и важных) примера. ПРимеР 4. Пусть )г = сг Э И', Линейный оператор Р, определяемый формулой Р(у+ г) = у (у Е Ц г Е И'), называется проектором на П параллельно И'. Очевидно, что (Г = К(Р)> И вЂ” ~з(Р). В базисе пространства Тг, составленном из базисов подпространств о и Иг, оператор Р записывается диагональной матрицей с числами 1 и О по диагонали.
ЗАДАЧА 2. Доказать, что линейный оператор Р является проектором (для какнх-то сГ и И') тогда и только тогда, когда Р' = Р. ПРимеР 5. В тех же обозначениях линейный оператор 1с, определяемый формулой К(у+х)=у — г (уЕ Ц ге И~), называется отражением относительно П параллельно Иг. Очевидно, что сг = Ъ;(Р,), Иг = $',(К). В базисе пространства Тг, составленном из базисов П и Иг, оператор и. записывается диагональной матрицей с числами 1 и — 1 по диагонали. ЗАДАЧА 3. Доказать, что линейный оператор Я является отражением (для каких-то У и И') тогда и только тогда, когда Ят = Е. Для получения необходимого и достаточного условия существования базиса из собственных векторов докажем сначала Предложение 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
