1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть (е„..., е„) — базис в У, Тогда Гс=(уеЪ'. о(е,,у)=0, 1=1,...,й). (11) Записывая эти условия в координатах, мы получаем систему однородных линейных уравнений. Эти уравнения линейно независимы, так как для любых Л„..., Л„, не равных нулю одновременно, линейная функция 2, Л,а(е,, у) = о(~ Л,е,, у) в силу невырожденности функции сг не является нулевой.
Следо- вательно, бпп Гс = и — к, где п =йгп Тг По той же формуле йгп(у~)с = п — (и — к) = й = йгп у. Однако ясно, что (Гс)л э Г. Следовательно, (Гл)с = У. П Определение 6. Подпространство Г называется нгвырожденным относительно функции о, если ее ограничение на 5Г невырожденно. Предложение 2. г' = Ег Ю У~ тогда и толысо тогда, когда подпространство сГ невырожденно. Доказательство. Из (11) ясно, что в любом случае бпп Г' > Йгп )г — 'Йцп П С другой стороны ЕгП Гс = Кегсг)в, так что если сг и Гс =О, то подпространство сг невырожденно. Обратно, если подпространство У невырожденно, то О й Ус = 0 и Йгп(сг+ Г") = йт Ег+ йгп Гс > йт Ъ; откуда следует, что У + Гл = Ъ'.
П 196 Гл. 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пусть а — симметрическая билинейная функция. Базис (е„..., е„) пространства У называется ортогональным (относительно а), если его векторы попарно ортогональны. В ортогональном базисе матрица функции а диагональна, а сама функция а и соответствующая ей квадратичная функция д записываются в виде (12) (13) а(х, у) = а, х, у, +...
+ а„х„у„, д(х) = а,х~+... + а х~. а(е„е,) = д(е,) ~ О. Согласно предложению 2, У = (е,) Ю (е,) По предположению индукции существует ортогональный базис (е„..., е„) пространства (е,)~. Добавляя к нему вектор е„мы получаем ортогональный базис (е„е,..., е„) пространства У. С1 Следующая теорема дает более явный способ построения ортогонального базиса (при ограничениях, указанных в ее формулировке).
Пусть (е„..., е„) — некоторый базис пространства У и А— матрица функции а в этом базисе. Обозначим через А, матрицу ограничения функции а на подпространство 1', = (е„ ..., е„) в базисе (е„ ..., е,) этого подпространства, т.е. левый верхний угол порядка й матрицы А. Число б„ =бе1 А, будем называть угловым минором порядка й матрицы А. Положим также Уз=О, бе=1.
Теорема 2. Если все угловые миноры б„..., б„матрицы А отличны от нуля, то существует единственный ортогональный базис (Л,..., У„) пространства У, удовлетворяющий условиям У„ 6 е + У , (й = 1,...,п). (14) При этом Ч(Л)=а(Л Л)= у-" — (й =1,, и) (15) Теорема 1. Для любой симметрической билинейной функции существует ортогональный базис. До к а з а т е л ь с т в о. Докажем это утверждение индукцией по и =апп У.
При п = 1 доказывать нечего. Пусть и ) 1. Если а ыО, то доказывать опять-таки нечего. Если а ~ О, то в силу формулы (10) д ~ О, т. е. существует такой вектор е„что $3. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 197 Доказательство. Докажем теорему индукцией по п. При и=1 имеем б! '! г! = е„д(у!) = з! (= — !) . При и > 1 применим предположение индукции к базису (е„... ..., е„!) пространства \ „',. Пусть (у„...,,г„!) — ортогональный базис пространства )г„„удовлетворяющий условиям теоремы. Будем искать вектор )'„в виде — 1 ~„= е„+ ~, Л, Д, Е е„+ Р„ 1=! Заметим, что б! д(~,)= — *' ф.О при 1=1,...,п — 1, ! — 1 и поэтому условия ортогональности О = ()„, ~,) = (е„, Л) + Л,д(~,) (1 = 1,..., и — 1) удовлетворяются при подходящем выборе чисел Л„..., Л„,, при- чем эти числа определяются однозначно.
Так как ~„ ф Ъ'„ „ то (г!,..., Я вЂ” базис пространства Ъ'. Остается проверить равенство (15) при и = и. Так как матрица перехода от базиса (е„ ..., е„) к базису (у!,..., Я является (верхней) унитреугольной (т.е. треугольной с единицами на диа- гонали), то ее определитель равен 1 и формула (!) показывает, что определитель матрицы функции а не меняется при переходе к базису (,г!,...,Я. Однако в этом базисе матрица функции !х диагональна, причем ее диагональные элементы равны ч(Л), ", ИУ. ) ч(Л). Следовательно, б.
= Ч(Л) Ч(У. И(Л). Такое же рассуждение, примененное к ограничению функции а на подпространство 7„' ! (или, если угодно, предположение индукции) показывает, что б„! = ~(~!)... д(Т„!). Отсюда следует, что д(У„)= б' . С1 Процесс построения ортогонального базиса, описанный в доказательстве теоремы, называется процессом ортогонализации Грана — Шмидта. Рисунок 3 иллюстрирует его в случае, когда о — скалярное умножение в Ез.
198 Гл. 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пусть (е„..., е„) — базис пространства Ъ', ортогональный относительно функции а. За счет нормировки векторов е,. числа а,. = д(е,.) можно умножать на квадраты любых ненулевых элементов поля К. Кроме того, переставляя базисные векторы, можно переставлять и эти числа. Однако, как видно из доказательства теоремы 1, в выборе ортогонального базиса имеРис.
3 ется гораздо больший произвол. Как можно изменять числа а,, пользуясь этим произволом? Ответ на этот вопрос существенно зависит от поля К. Пусть К = С. Тогда путем нормировки базисных векторов числа а, могут быть сделаны равными 1 или О, и после подходящей перестановки базисных векторов, функция д приводится к так называемому нормальному виду: д(х) = х~ +... + хт. Число т является инвариантом, так как г =тки. Пусть теперь К = К. Тогда путем нормировки базисных векторов числа а, могут быть сделаны равными х1 или О, и после подходящей перестановки базисных векторов функция д приводится к нормальному виду: д(х)=х, +...+х„— х „—...— х„ 2 2 2 2 (16) Сумма й+ 1 =гид является инвариантом, но являются лн инварнантами й и 1 по отдельности? Для ответа на этот вопрос введем одно важное понятие. Определение 1.
Вещественная квадратичная функция д называется положительно определенной, если д(х) > О при х ~ О. Вещественная симметрическая билинейная функция называется положительно определенной, если соответствующая ей квадратичная функция является положительно определенной. Так, скалярное умножение геометрических векторов является положительно определенной симметрической билинейной функцией. Аналогично определяются отрицательно определенные квадратичные и симметрические билинейные функции.
$3. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 199 Очевидно, что нормальный вид положительно определенной квадратичной функции есть х,'+... + хт. Теорема 3. Число й в нормальном виде (1б) произвольной вещественной квадратичной функции д есть максимальная размерность подпространства, на котором функция д положительно определенна. Доказательство. Очевидно, что функция д положительно определенна на й-мерном подпространстве (е„ ..., е,). Пусть теперь 11 — произвольное подпространство, на котором функция д положительно определенна, и И' = (е„ „ ..., е„).
Так как д(х) < О при х е И', то 17 П И' = О. Отсюда следует, что б(гп 17 ( й. П Аналогично, 1 есть наибольшая размерность подпространства,на котором функция у отрицательно определенна. Следствие (закон инерции). Числа к и 1 в нормальном виде (1б) вещественной квадратичной функции д не зависят от выбора базиса, в котором эта функция имеет нормальный вид. Эти числа называются соответственно положительным и отрицательным индексами инерции квадратичной функции д (а также соответствующей симметрической билинейной функции а). Пара (к,1) называется сигнатурой функции д (или функции а).
ПРИМЕР 5. Квадратичная функция д(х)= х,х путем (невырожденного) преобразования координат Р х! х! + хт~ хт х! х! приводится к виду д(х) = х," — х,'~. Поэтому ее сигнатура равна (1, 1), ЗАДАЧА 2. Найти сигнатуру симметрической билинейной функции из примера 3 (в случае К = Ж). Теорема 2 позволяет (при указанных в ней ограничениях) определить индексы инерции вещественной квадратичной функции по угловым минорам 6„..., 6„ее матрицы в каком-либо базисе.
Теорема 4 (метод Якоби). Если все угловые миноры 6ь матрицы вещественной квадратичной функции д отличны от нуля, то отрицательный индекс инерции функции д равен числу перемен знака в последовательности (17) 1, 6„6„..., 6„. (Определение числа перемен знаков в последовательности вещественных чисел см. в $3.4.) Гл. 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Д о к а з а т е л ь с т в о непосредственно следует из теоремы 2. Заметим, что в условиях теоремы функция д невырожденна, так что сумма ее индексов инерции равна и.
Следствие (критерий Сильвестра). Весцвстввнная квадратичная функция является положительно определенной тогда и только тогда, когда всв угловьсе миноры ве матрицы положительны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если все угловые миноры положительны, то, в частности, онн отличны от нуля, и применение метода Якоби доказывает, что функция является положительно определенной. Обратно, если функция положительно определенна, то ее ограничение на любое подпространство Ъь (в обозначениях теоремы 2) также положительно определенно и, следовательно, невырожденно. Это означает, что все угловые миноры отличны от нуля.
Применяя метод Якоби, получаем, что они положительны. П ЗАМЕЧАНИЕ 1. Модифицируя процесс ортогонализации, можно показать (попробуйте это сделать), что метод Якоби годится и в том случае, когда некоторые из угловых миноров равны нулю, лишь бы в последовательности Б„бз,..., б„не было двух нулей подряд (в частности, может быть 6„=0, но тогда должно быть 6 с ~0). Как мы видели, в случаях К = С или зс никакие изменения диагонального вида матрицы квадратичной функции, кроме тех, которые достигаются уже путем перестановки базисных векторов и нх умножения на числа, невозможны, но так обстоит дело не всегда. Пусть К = Š— поле вычетов по простому модулю р эз 2. Известно (см. э теорему 9.1.7), что е' — циклическая группа, следовательно, (е') = (аз: ее ег)— подгруппа индекса 2.
Ее элементы называются кеадратичнымй вычетами, а элементы второго смежного класса — квадратичными нееычетами. Пусть е е Е"— У фиксированный квадратичный невычет. ТЕорема 5. Всякая невырожденная квадратичная функция над полем Е„ (р ~ 2) может бэста приведена к одному из двух видов хс+...+х с+х«~ 2 2 2 хс + '' + х« — с Ч ех« 2 2 в зависимости от тово, является определитель ее матрицы квадратичным вычетом нли невы«етом. Лемма Е Всякая невырохсденная квадратичная функция д е векторном пространстве размерности и > 2 над полем Е„представляет единицу, т.е.
уравнение д(х) = 1 имеет решение. Доказательство. Достаточно рассмотреть случай и=2. Можно считать, что д(х) = а! хс + отхт, $3. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИт(НЪ|Е ФУНКЦИИ 201 где г = гко. Рассмотрим теперь кососимметрические билинейные функции. Здесь нас ожидает сюрприз: строение этих функций оказывается не зависящим от поля К. Пусть а — кососимметрическая билинейная функция в и-мерном векторном пространстве 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
