1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Доказательство. В обозначениях доказательства теоремы 1 векторы е„..., е,, „составляют базис подпространства У+ И', так что д1ш(У+ Иг) = й+ 1 — Р, С) Для трех подпространств аналогичная теорема неверна. 3АЛАИА 1. Привести пример, подтверждающий это высказывание. Взаимное расположение произвольного (конечного) числа подпространств описать, вообще говоря, сложно (и в некотором смысле даже невозможно). Однако нас будет в первую очередь интересовать один частный случай, когда это сделать просто.
Определение 3. Подпространства Сг„..., У„называются линейно независимыми, если нз равенства и, +... + и, = О (еч е Ег,) следует, что и, =... = и„= О. Для двух подпространств У, И' линейная независимость равносильна тому, что Уй Иг =О. Напрашивающееся обобщение для любого числа подпространств неверно. ЗАЛАЧА 2. Привести пример трех линейно зависимых надпространств, все попарные пересечения которых равны нулю.
Определение 4. Суммой Ц +... + ЕГ„подпространств У„... ..., У, С ~/ называется совокупность векторов вида и, +... + и„, где сн Е У,. Это наименьшее подпространство, содержащее все подпространства Ц„..., 0'„, Предложение 1. Следующие свойства системы подпространств Ц,..., 7~ С Ъ' равносильньи 1) Ц,..., С' линейно независимы; 2) объединение базисов подпространств Ц,..., Ег, линейно независимо; З) б1 (Ц+...+У.)=д1 (~+" +й1"'Ц 186 Гл. 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Доказательство. 1) ч=ь 2). Пусть (е,.„..., ем ) — базис подпространства Ц (г = 1,..., к).
Предположим, что между векторами еи (~ =1,..., Й, у'=1,..., и,) имеется нетривиальная линейная зависимостгя 2 Л„ен =О. Тогда сумма векторов х, =~,Лвев б У, (а =1,...,Й) равна нулю, причем не все они равны нулю. Следовательно, подпространства 0;,..., ГГ„ линейно зависимы. Обратно, если подпространства Ц,..., 0„' линейно зависимы, то существуют векторы х,.
б У, (1 = 1,..., Й), не все равные нулю, сумма которых равна нулю. Разложив каждый из них по базису своего подпространства, мы получим нетривиальную линейную зависимость между векторами ео. 2) ч=ь3). Так как объединение базисов подпространств Ц,..., 0'„ порождает сумму 0;+... + У„, то каждое из свойств 2) и 3) равносильно тому, что это объединение является базисом пространства сг, + ... + 0;. Следовательно, эти свойства равносильны между собой.
П Сумма линейно независимых подпространств 0„ ..., У„ называется прямой суммой и обозначается Ц Ю ...Ю 0'„. Каждый вектор и прямой суммы о д н о з н а ч н о представляется в виде и = и, +...+и,, где и, е Ег„вектор и,. называется проекцией вектора и на подпространство У, Подчеркнем, что проекция вектора на подпространство У,. зависит не только от этого подпространства, но и от остальных слагаемых разложения Ц Ю...
Ю У,. ПРИМЕР 1. Квадратная матрица А называется симметричной, если Ат = А, и кососимметричной, если Ат = — А. Симметричные (соответственно кососимметричные) матрицы образуют подпространство 1.„'(К) (соответственно 1.„(К)) в пространстве 1.„(К) всех матриц. Прн условии, что сваг К ~ 2, всякая матрица А может быть представлена в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц: А =-(А+А )+-(А — А").
С другой стороны, при том же условии очевидно, что матрица, симметричная и кососимметричная одновременно, равна нулю. Это означает, что 1.„(К) = 1.+„(К) Ю 1.„(К). ПРИМЕР 2. Аналогично доказывается, что пространство всех функций на вещественной прямой является прямой суммой подпро- 187 $2. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ странств четных и нечетных функций.
(В этом примере векторное пространство и оба подпространства бесконечномерны.) Пример 3. Пусть (е„..., е„) — базис векторного пространства У. Тогда У=(е,) Ю...Ю(е„). Проекция вектора х е У на (е,.) равна х,е„где х, есть 1-я координата вектора х в базисе (е„ ..., е„), и зависит не только от е„ но и от остальных векторов базиса. Определения 3 и 4 могут быть распространены на бесконечное число подпространств, если рассматривать только такие суммы векторов, в которых лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.
ПЕИмЕР 4. Пусть А = К[х„..., х„) — алгебра многочленов от и переменных. Обозначим через Аг подпространство однородных многочленов степени а'. Так как всякий многочлен однозначно представляется в виде суммы однородных многочленов различных степеней, то А =АеЮА, ЮАз 9... = ® Аг. гга При этом А„А, сА„ Разложение какой-либо алгебры А в прнмую сумму подпространств А, (а е 2), удовлетворяющее условию (1), называется ее градуировкой. Алгебра, снабженная градуировкой, называется градуированной алгеброй.
(Некоторые из подпространств Аг могут быть нулевыми. Так, в приведенном выше примере А„= 0 при а' < О.) Зддлчл 3. Пусть А = 1.„(К) — алгебра матриц. Обозначим через А„линейную оболочку матричных единиц Еч с т' — ( = а. Доказать, что подпространства А„задают градуировку алгебры А. (Здесь А„= 0 при )й! > п.) 2 2. Линейные функции Векторные пространства и их подпространства представляют мнр, в котором живут персонажи линейной алгебры. Простейшими из них, помимо векторов, являются линейные функции, которые, как мы увидим, в некотором смысле двойственны векторам.
188 Гл. З. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение 1. Линейной функцией (или линейной формой) на векторном пространстве Ъ' называется всякая функция сс: УК, обладающая свойствами 1) сс(х+ у) = сс(х) + сг(у); 2) сс(Лх) = Ло(х). Иными словами, линейная функция — это линейное отображение пространства Ъ' в поле К, рассматриваемое как (одномерное) векторное пространство. ПРнмеР !. Как доказывается в курсе элементарной геометрии, функция о(х) = (а, х) (аЕ л,з) является линейной функцией на пространстве Е'.
ПРимЕР 2. Функция ст(Г) = Г(т ) (х Е Х) является линейной функцией на пространстве Ь'(Х, К) функций на множестве Х со значениями в К (см. пример 1.7.2). ПРНЬтЕР 3. Функция а(У) =У'(хз) (х Е!к) является линейной функцией на пространстве С'(К) дифференцируемых функций на вещественной прямой. ПРимЕР 4. Функция стЩ = ] Т(х) ах является линейной функцней на пространстве С[а, Ь] непрерывных функций на отрезке [а, Ь]. ПРнэгеР 5. Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов.
След матрицы Х обозначается через !г Х. Функция сс(Х) = !ГХ является линейной функцией на пространстве 1.„(К) квадратных матриц. Если х„ ...,х„ — координаты вектора х в базисе (е„ ..., е„), то ст(х) = а, х, +... + а„х„, (2) где а, = сс(е,.). Таким образом, линейная функция однозначно определяется своими значениями на базисных векторах, называемыми ее коэффициентами в данном базисе. Коэффициенты могут быть произвольными: для любых а„..., а, Е К функция сг, определяемая формулой (2), является линейной. Линейные функции образуют подпространство в пространстве Г(Ъ; К) всех функций на Ъ' со значениями в К.
Определение 2. Пространство линейных функций на Ъ' называется сопряженным пространством по отношению к Ъ' и обозначается через $". Пусть (е„ ..., е„) — базис пространства Ъ". Линейные функции е„ ..., е„ Е У', определяемые равенствами е,.(х) = х„ называются в 2. линейные Функции 189 координатными функциями относительно базиса (е„..., е„). Они составляют базис пространства У', который называется сопряженным базисом по отношению к (е„..., е„). Из его определения следует, что для любого вектора х е У х = ~ в,.(х)е,. (3) Сопряженный базис может быть также определен условиями (1 при Е=~, в,.(ез) = бв Ф ~ ' (символ Кронекера). (О при г~з' Из предыдущего следует, что б(ш У' = 81гп У, так что пространства У и У' изоморфны, хотя между ними и не существует никакого естественного (выделенного) изоморфизма.
Однако второе сопряженное пространство У'* = (У')' оказывается естественно изоморфным пространству У. Из определения операций в пространстве У* следует, что для любого вектора х е У функция ~. на У*, определенная по формуле ~,(а) = а(х) является линейной. Теорема 1. Отображение х ~„является изоморфизмом пространства У на пространство У'*. Доказательство. Из определения линейных функций следует, что (.~„=,г"„+~„и,г",. = Л,г",.
Остается проверить, что отображение х ~, биективно. Пусть (е„..., е„) — базис пространства У и (в„..., в„) — сопряженный базис пространства У*. Тогда Д, (вз) = вз(е,.) = Бв, так что (~,,...,У, ) — базис пространства У*', сопряженный базису (в„..., е„). Отображение х ~„переводит вектор с координатами х„..., х„в базисе (е„..., е„) пространства У в вектор с такими же координатами в базисе (Д,,..., Д, ) пространства У*". ч' Следовательно, оно биективно. С) В дальнейшем мы будем отождествлять пространства У и У** посредством указанного изоморфизма, т.е.
рассматривать каждый вектор х е У одновременно и как линейную функцию на У" (и писать х(а) вместо ~.(а)). При таком соглашении пространства У и У' будут играть совершенно симметричную роль. Следствие. Всякий базис пространства У' сопряжен некоторому базису пространства У. ЗАЛАЧА 1. Показать, что линейные функции е„..., в„(где и = д(ш У) составляют базис пространства У* тогда и только Гл. 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА тогда, когда не существует ненулевого вектора х е У, для которого кг(х) =...
= е„(х) = О. ЗАДАЧА 2. Пусть У вЂ” пространство многочленов степени < п над полем Х. Показать, что линейные функции к, к„..., к„, определяемые равенствами е,(г) = ) (хг), где х, х„..., х — различные элементы поля Х, составляют базис пространства У*, и найти сопряженный базис пространства У. Показать, что формула (3) в этом случае превращается в интерполяционную формулу Лагранжа. ЗАДАЧА 3. Пусть У то же, что и в задаче 2, причем с)гаг Х = =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
