1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ПгнМЕР 11. Аналогичным образом рассмотрение гомоморфизма бе1 из примера 5 приводит к таму, что И.„(К)/Я.„(К) = К* — результат, уже полученный в примере 5.15. Пример 12. Рассмотрение гомоморфизма зяп из примера 6 приводит к тому, что Я„/А „С,. В частности, отсюда следует, что ПрИМНр 13. Согласно определению (см.
$2), всякое аффинное преобразование / есть произведение параллельного переноса и линейного преобразования ~р. Последнее называется линейной частью или дифференциалом преобразования У и обозначается через ь(/. Формула (~ 'Р)(ььт') ь +ькьр'РФ~ полученная при доказательстве предложения 2.1, показывает, что отображение ьь: ОА(У)- Я.(У), /~ д/ является гомоморфизмом. Очевидно, что 1щ ь( = И.(Ъ"), Кег ь( = Тгап г', так что ОА(Ъ')/Тгап Ъ' И (Ъ'). Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП ПРИМЕР 14. Пусть ~з = А,А А — правильный треугольник. Сопоставив каждому движению р е 5угп зл подстановку а е Я по правилу у(А4) = А,<о, мы получим гомоморфнзм У: 5ущ л Яз.
Так как всякое движение плоскости, оставляющее на месте 3 точки, не лежащие на одной прямой, тождественно, лз то Кег 7" = (Ы ). Докажем, что !т 7 = Я,. Так как 1т7" — подгруппа группы Яз и группа Яз порождается транспозициями, то достаточно проверить, что любая транспозиция принадлежит 1гп 7, т. е, может быть осуществлена некоторым движением р б 5упз сз. Но л,,4 л это действительно так: например, транспози- ция (12) осуществляется отражением относиРис. 7 тельно прямой 1, показанной на рис.
7. Таким образом, 5ущ "-' — 8з. Аналогично доказывается, что группа симметрии правильного тетраэдра изоморфна Я4 (проделайте это!). ПРИмЕР15. При перестановках переменных х,, х,, х,, х, многочлены х1хз+ хзх4~ х~хз+ хзх4~ х1х, + хзхз (15) переставляются между собой. Занумеровав их каким-либо образом, мы получим гомоморфизм 4: ~4 ' ~З.
Докажем, что 1гп 7' = Я . Для этого достаточно проверить, что любая транспозиция многочленов (15) может быть осуществлена некоторой перестановкой переменных х,, х, х,, х4. Но это действительно так: например, транспозиция первых двух многочленов (15) может быть осуществлена транспозицией переменных х и х . Далее, Кег 7" — это так называемая четверная группа Клейна Ъгз = (е, (12)(34),(13)(24),(14)(23)). По теореме о гомоморфизме Ъ; з Я4 и 34Я Я.
Легко видеть, что группа Ъ; изоморфна группе из примера 1.7. 181 $ б, ГОМОМОРФИЗМЫ ЗАДАЧА 2. Доказать, что для любого и 6 1Ч имеет место следующий ~парадоксальныйэ изоморфизм: ЗАДАЧА 3. Пусть Р— простое число. Найти порядки групп (.з(Ж ) и Я 2(Ж ). Очевидно, что композиция гомоморфизмов Р— С и С вЂ” Н есть гомоморфизм à — 8. ПРимкР 16. Рассмотрим композицию гомоморфизмов де1: О1.„(К)- К' и здп: К*- С,=(~1), где зяп обозначает знак вещественного числа. Мы получим таким образом гомоморфизм з: И.,(И) — С.
При и = 2 он имеет следующий геометрический смысл: если е(А ) = 1 (соответственно з(А ) = — 1), то линейное преобразование пространства Е', определяемое матрицей А, сохраняет (соответственно меняет) ориентацию в том смысле, что любой положительно ориентированный базис оно переводит в положительно (соответственно отрицательно) ориентированный базис. Аналогичная интерпретация возможна и при п = 3. ПРимкР 17. Композиция гомоморфизмов Н: ОА(К")- О)(К')=Я..(И) и е: 01„(К)-+С, есть гомоморфизм ОА(И" ) С . (16) При п = 2 и 3 это позволяет распространить на аффинные преобразования евклидовой плоскости и евклидова пространства понятие сохранения или изменения ориентации. А именно, аффинное преобразование сохраняет (соответственно меняет) ориентацию, если его дифференциал сохраняет (соответственно меняет) ориентацию. В частности, можно говорить о движениях, сохраняющих или меняющих ориентацию (что мы уже делали раньше, не давая точного определения).
ПРйМЕР 18. Пусть С С1зот Е" (я=2 или 3) — какая-либо подгруппа, содержащая движения, меняющие ориентацию. Рассматривая ограничение на С гомоморфизма (16), мы приходим к выводу, 182 Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП что подмножество движений из С, сохраняющих ориентацию, есть подгруппа индекса 2. Будем обозначать эту подгруппу через С . ПРимЕР 19. В частности, подгруппу Бущ~К с Яут К будем называть группой вращений куба К. Так как 15утХ~ =48 (см.
пример 5.10), а 5ут эК есть подгруппа индекса 2, то )5ут К~ = 24. Докажем, что 5ущ К=Я,. Для этого занумеруем каким-либо образом 4 диагонали куба Х и поставим в соответствие каждому движению р Е 5ут ~К подстановку, осуществляемую им на множестве диагоналей. Мы получим гомоморфизм 1 .Г: 5ущэК "д4. Докажем, что 1щ/ = Я„, откуда уже будет следовать, что / — изоморфизм, поскольку (Зугп К( = ~Я,!.
Для этого достаточно проверить, что любая транспозиция принадлежит 1т /. Но это действительно так: например, транспозиция (12) осуществляет- ся поворотом на я вокруг прямои 1, изображенной на рис. 8. ЗАДАЧА 4. Доказать, что группа Р, (группа симметрии квадрата) изоморфна группе 5ущ (к,тэ+ и,к,) (см. примеры 1.8 и 5.11). ЗАДАЧА 5. Доказать, что Я,(Ж~) = Я,. Согласно определению операции в факторгруппе С/Н, отображение а: С вЂ” ~ С/Ж, д~-+дФ, является гомоморфизмом. Оно называется каноническим гомоморфизмом группы С на факторгруппу С/Н.
Его ядром, очевидно, является подгруппа 1У. Пусть |: С- Н вЂ” любой сюръективный гомоморфизм. Положим Кег/ = Ж. Согласно теореме 1, Н = С/Ф и, если отождествить Н с С/Ж при помощи указанного там изоморфизма, гомоморфизм / совпадет с каноническим гомоморфизмом группы С на С/Ф. Поэтому теорему 1 можно понимать таким образом, что никаких сюръективных гомоморфизмов групп, кроме канонических гомоморфизмов на факторгруппы, в сущности, не существует.
Глава 5 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Эта и последующие две главы будут посвящены линейной алгебре, начала которой были изложены в гл. 2, и связанной с ней геометрии. Линейная алгебра является наиболее прикладным разделом алгебры. Ее аппарат так же необходим любому математику, как аппарат математического анализа, Следует, однако, предостеречь читателя от взгляда на линейную алгебру как на манипулирование с матрицами — взгляда, игнорирующего ее идеологию, в частности, геометрические образы, скрывающиеся за ее понятиями. Читатель, пошедший по этому легкому пути, много потеряет. Он будет испещрять формулами десятки страниц или перегружать компьютер в ситуациях, очевидных для того, кто действительно владеет линейной алгеброй. За исключением общих определений, некоторых примеров н тех случаев, когда будет оговорено противное, все векторные пространства в главах, относящихся к линейной алгебре, предполагаются конечномерными. Основное поле, если это не есть какое-то конкретное поле, обозначается буквой .К.
2 1. Взаимное расположение подпространств Очевидно, что для любых двух подпространств У и Иг векторного пространства У их пересечение У и И" также является подпространством. Это наибольшее подпространство, содержащееся как в У, так и в И~. Определение 1.
Суммой У + Иг подпространств У и Иг называется совокупность векторов вида и+ ш, где и е У, ш Е Иг. Это наименьшее подпространство, содержащее как У, так и И'. Определение 2. Базис пространства Ъ' называется согласованным с подпространством У, если У является линейной оболочкой какой-то части базисных векторов (т.е. одним из «координатных подпространств» относительно этого базиса). 184 Гл.
5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Так, на рис. 1, а) базис (е„е,) согласован с подпространством с!, а на рис. 1, б) — нет. Л,е! =О. !=! Рассмотрим вектор и -!-! — и Л!е! ! с+! х следует, что он лежит в 1Т, Таким образом, х е с! г) ИР и, си!-р Л,е,. !=с.!.! с х= ~ Л!е! =— !=1 Из первого представления вектора а из второго — что он лежит в И'. значит, и х=~ ре,=— *' =! Рис. 1, а) Рис. 1, В) Легко видеть, что для всякого подпространства существует согласованный с ним базис. Менее очевиден следующий замечательный факт.
Теорема 1. Для всякой пары подпространств У, ИР с У существует базис пространства У, согласованный с каждым из надпространств ст, ИР. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Те„..., е ) — базис подпространства 1!' г) ИР. Дополним его какими-то векторами е, ..., е, до базиса подпространства с!" и, с другой стороны, векторами е„„..., е„ до базиса подпространства Иг. (Здесь р = йщ У и ИР, й = =йщ с!', 1=й!п ИР.) Докажем, что векторы е„..., е,„,, линейно независимы. Дополнив ик затем до базиса надпространства У, мы и получим базис, согласованный как с 1Т, Рис. 2 так и с ИР. Предположим, что $1.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ 185 Так как векторы е„..., е„е„„..., е„, „линейно независимы, то отсюда следует, что х = О и Л,. = О при 1 = й + 1,..., й + 1 — р. Далее, так как векторы е„..., е„линейно независимы, то из равенства ь 2,'Л,.е, =О 1 следует, что Л, =О при 1 =1,..., й. П Рисунок 2 иллюстрирует это доказательство в случае р = 1, й = =1=2. Следствие. днн(У+ И ) = д1ш У + д1гп И' — д1ш(У г1 Иг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
