1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Предложение 1. Для любой подгруппы С с О(.(Ъ') множество Тгап Ъ' С = (т„у: а Е 1', <р Е С) является транзитивной группой преобразований пространства Ъ". 156 Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП Доказательство. При а, Ь е 1г, р, Ф еб((г) имеем, согласно формулам (1) и (2), (т.р)(т,ф)= ~„(ргьр-') рф = г„„„ру ЕТгап г'. С. Отсюда следует, что (г,~р)-' = М,,„,р ' еТгап 1' С. Таким образом, Тгап 1' С вЂ” группа преобразований. Она транзитивна, поскольку уже ее подгруппа Тгап Ъ' транзитивна. П В частности, мы можем взять С = бЦ г').
Полученная группа бА( г') =Тгап 1' бЦ1') называется полной аффинной группой пространства г', а ее элементы — (биективными) аффиннГями преобразованиями. Связанная с ней геометрия называется аффинной геометрией. В случае Ъ'= Е~ мы получаем аффинную геометрию евклидовой плоскости. Предложение 2.
Группа движений евклидовой плоскости есть подгруппа группы бА(Е'), равная Тгап Е' О . Дока з а тел ьст во. Прежде всего, заметим, что все параллельные переносы и все ортогональные преобразования являются движениями. Пусть теперь à — какое-либо движение. Положим а = г'(о). Тогда движение у = т. ' Г оставляет на месте точку о и, значит, принадлежит группе О, (см.
пример 1.10). Таким образом, Г = 8„~рЕТгапЕ' О,, П Аналогичным образом описывается группа движений евклидова пространства. Следствие. Если фигуры У;, У' с Е' равны в евклидовой геометрии, то они равны и в аффинной геометрии. Группа бА(Ез) не совпадает с группой движений. Примером аффинного преобразования, не являющегося движением, может служить гомотетия (с коэффициентом ~ т1) или растяжение вдоль какой-либо оси. Таким образом, группа бА(Е') богаче группы движений, и фигуры, не равные в евклидовой геометрии, могут оказаться равными в аффинной геометрии. Так, в аффинной геометрии все окружности равны.
ЗАДАЧА 1. Доказать, что в аффинной геометрии все треугольники равны. В 2. ГРУППЫ В ГЕОМЕТРИИ И ФИЗИКЕ 157 В аффинной геометрии отсутствует понятие расстояния между точками. Однако, как показывает следующая задача, имеется инвариант трех точек, лежащих на одной прямой. ЗАДАЧА 2. Доказать, что при аффинных преобразованиях сохраняется отношение, в котором точка делит отрезок.
Аналогичным образом определяется аффинная геометрия евклидова пространства. В рамках группового подхода могут быть построены также проективная и конформная геометрии, геометрия Лобачевского и другие геометрии, используемые в математике и ее приложениях. Группы преобразований в физике описывают симметрию физических законов, в частности, симметрию пространства-времени. Точка пространства-времени задается тремя пространственными координатами л, у, г и временнбй координатой 8, так что пространство-время с фиксированной системой отсчета может быть отождествлено с К'. Переход к другой системе отсчета означает некоторое преобразование пространства К'.
Как в классической, так и в релятивистской механике (точнее, в специальной теории относительности), существует понятие инерциальных систем отсчета, в которых все законы механики имеют одинаковый вид. Переходы от одной инерциальной системы отсчета к другим составляют некоторую группу преобразований пространства К'. Эта группа однозначно определяет законы механики.
Отличие релятивистской механики от классической обусловлено тем, что она берет за основу другую группу преобразований. Группа симметрии пространства-времени в классической механике есть группа Галилея, описываемая следующим образом; С = Тгап К' Н О„ где Оз — группа ортогональных преобразований пространственных координат, а Н вЂ” группа преобразований вида (а, у, г, т) ~-~(а+ аг, у+ ат, а+ от, 8), соответствующих переходу к новой системе отсчета, равномерно и прямолинейно движущейся относительно старой. Из этого описания группы Галилея видно, что в классической механике время абсолютно в том смысле, что разность временных координат двух событий одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Согласно представлению релятивистской механики, группа симметрии пространства-времени есть группа Пуанкаре С = Тгап К4 ° Оз „ 159 $3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ где О, — группа линейных преобразований, сохраняющих многочлен 2+ уз+ хз 12 (в системе единиц, в которой скорость света равна 1). Группа Оз ! содержит группу О,, не затрагивающую временнбй координаты.
Нетривиальным примером преобразований из О,, могут служить преобразования Лоренца (х, у, х, 1)!-! (хеба+ Ф з!! а, у, з, ха!! а+ 1 сЬа), перемешивающие пространственные и временнйе координаты. Вид этих преобразований показывает, что в релятивистской механике время не абсолютно. Группа Пуанкаре была описана в работах Лоренца и Пуанкаре как группа симметрии законов электродинамики (уравнений Максвелла).
Заслуга Эйнштейна состояла в том, что он имел смелость сделать вывод, что и законы механики должны иметь ту же группу симметрии. Группы преобразований лежат также в основе кристаллографии и теории элементарных частиц. Так, в кристаллографии они описывают симметрию кристаллических структур и, тем самым, физических свойств кристаллов. (См.
рис. 2, где изображены кристаллические структуры поваренной соли, алмаза и графита.) 9 3. Циклические группы Так же, как в группе й', в любой группе С могут быть определены степени элемента 9 Е С с целыми показателями: 99 ° 9 если й >О, если й =О, если й <О. е, 9-!9-! 9 — ! Имеет место свойство ь ! ь .!. ! (4) Это очевидно, если й, 1 > О. Рассмотрим случай, когда й > О, 1 < О, й+1> О. Тогда 9 9 =99 ° 99 У ° 9 =99 У=У ь -! Гс +! Аналогично рассматриваются остальные случаи. 160 Гл.4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП Из (4) следует, что (дь) — 1 -ь Кроме того, е = д~ по определению. Таким образом, степени элемента д образуют подгруппу в группе С. Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом д, н обозначается через (д).
Возможны два принципиально разных случая: либо все степени элемента д различны, либо нет. В первом случае подгруппа (д) бесконечна. Рассмотрим более подробно второй случай. Пусть д" = д', й > 1; тогда д' ' = е. Наименьшее из натуральных чисел т, для которых д" = е, называется в этом случае порядком элемента д и обозначается через огб д. Предложение 1. Если огб д= и, то 1) д = е 4=Ь и ~ ти; 2) д" =д' 4=Ь 1 аа1(шоди). Доказательство.
1) Разделим т на и с остатком: т=ои+т, 0<т<и. Тогда в силу определения порядка д =(д")' д'=д'=е 2) В силу предыдущего д!=д' ч=ь д" '=е 4=Ф. и~(к — 1) ч=т к=1(шос1и). и Следствие. Если огдд = и, то подгруппа (д) содержит и элементов. Доказательство. Действительно, (д) =(е,д,д~,...,д" '), причем все перечисленные элементы различны. П В том случае, когда не существует такого натурального тп, что д"' = е (т.е. имеет место первый из описанных выше случаев), полагают оп1 д = оо. Отметим, что огб е = 1; порядки же всех остальных элементов группы больше 1.
В адаптивной группе говорят не о степенях элемента д, а о его кратных, которые обозначают через кд. В соответствии с этим порядок элемента д аддитивной группы С вЂ” это наименьшее из натуральных чисел ти (если такие существуют), для которых тпд Ф д + д+ . + д = О. ~в $3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 161 ПРИМЕР 1. Характеристика поля (см.
$1.6) есть порядок любого ненулевого элемента в его аддитивной группе. ПРИМЕР 2. Очевидно, что в конечной группе порядок любого элемента конечен. Покажем, как вычисляются порядки элементов группы Я„. Подстановка т е Я„называется циклом длины р н обозначается через (г,и' ...
г„), если она циклически переставляет гю ы,..., гги т. е. т(г,) = г, б т(~) = гз,...,т(г ) = г„а все остальные чйсла оставляет на месте. Очевидно, что порядок цикла длины р равен р. Циклы т, н т, называются независимыми, если среди факти- 2 б 7 8 чески переставляемых ими чисел нет общих; в этом Рис. 3 случае т,т, = т,т,. Всякая подстановка однозначно разлагается в произведение независимых циклов. Например, и= ( 5 6 7 4 8 3 2 1) =(2637)(158), 171 2 3 4 5 6 7 81 что наглядно показано на рис. 3, где действие подстановки гг изо- бражено стрелками. Если подстановка и разлагается в произведе- ние независимых циклов длин р„ р„ ..., р„ то огд гг = НОК (р„р,..., Р,).
ПРИМЕР 3. Порядок комплексного числа с в группе С* конечен тогда н только тогда, когда это число есть корень некоторой степени нз единицы, что, в свою очередь, имеет место тогда и только тогда, когда 1с~ =1, а агдс соизмерим с и., т.е. -а-е Я. Задача 2. Доказать, что агсга — несоизмерим с гг. 3 4 Пример 4. Найдем элементы конечного порядка в группе 1зопг Е' движений плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
