1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Отношение лексикографического упорядочения одночленов обладает следующими свойствами: 1) если и >- о и о ~ «л, то и )- и (транзитивность); 2) если и >- о, то и«г >- о«г для любого одночлена «г; 3) если и, >- о, и оэ >- о„то и, и, >- о, о . Первое из этих свойств, собственно, и дает основание называть отношение «ь.» упорядочением. 126 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть первая переменная, которая не входит во все одночлены и, е, и1 с одним и тем же показателем, входит в них с показателями й, 1, гп соответственно.
Тогда й >1>т, причем хотя бы в одном из двух случаев имеет место строгое неравенство. Следовательно, й ) т, а это и означает, что и ~ и1, 2) При умножении на и1 к показателям, с которыми каждая из переменных входит в и и о, добавляется одно и то же число, и знак неравенства (или равенства) между этими показателями не меняется, а только эти неравенства и имеют значение при сравнении одночленов. 3) Пользуясь предыдущим свойством, получаем 1222 ~ 1212 ~ 1212' ПРнмеР 1.
Следующий многочлен расположен по лексикографическому убыванию членов: х2х + х,х22х + 2х,х2+ х2хз — хзх22+ 3. Обратите внимание на то, что член х,х'х, лексикографически младше х,'т,, хотя его степень больше. Среди ненулевых членов любого ненулевого многочлена е К1х„х2, ..., х„) имеется единственный, который лексикографически старше всех остальных.
Он называется старшим членом многочлена у. Предложение 3. Старший член произведения ненулевых многочленов равен произведению их старших членов. Доказательство. Достаточно доказать это утверждение для двух многочленов. Пусть Г"„Г2 — ненулевые многочлены, и„21 — их старшие члены и 21„212 — какие-то их члены.
Если о, ~и1 или еа ~ и2, то в силу предложения 2 и1и2 ь' 211212. Следовательно, после приведения подобных членов в произведении ,Г112 произведение и,и сохранится в качестве ненулевого члена, который старше всех остальных. П 127 $ З. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ ф 8. Симметрические миогочлены Определение 1. Многочлен ~ Е К[х„хт,..., х„] называется симметрическим, если он не изменяется ни при каких перестановках переменных. Так как любая перестановка может быть осуществлена путем последовательных перестановок двух элементов, то многочлен является симметрическим, если он не изменяется при перестановке любых двух переменных.
Очевидно, что каждая однородная компонента симметрического многочлена также является симметрическим многочленом. ПРимер 1. Степенные суммы г = х,' + х~" +... + х~ (й = 1, 2,...), очевидно, являются симметрическими многочленами. ПРИМЕР 2. Следующие симметрические многочлены называются элементарными симметрическими многочленами; а, = х~ + х + ... + х„, аг = х~хт + х хз + ° ° ° + х„ х„, а„= ~>Г, х„х ...х,, ь «, ...<\ а„=х,х,...х„. ПРИМЕР 3. Определитель Вандермонда у(х„хг,..., х„) = П (х,.
— х,) 1 >г (см пример 2.4.5), представляющий собой произведение разностей всевозможных пар переменных, при перестановках переменных может только умножиться на х1 за счет того, что в некоторых случаях уменьшаемое и вычитаемое поменяются ролями. Число таких случаев равно числу инверсий в соответствующей перестановке.
Следовательно, у(хь, хь,..., х, ) = здп(й„й„..., й ) у(х„хз ... х ), Таким образом, сам определитель Вандермонда не является симметрическим многочленом, но таковым является его квадрат у(х„хт,..., х„) = П (х,. — х, )~. $ >з 128 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ ПРимеР 4. При любых перестановках переменных х„х, х„х4 многочлены Ь! — — х!хз+ хзхю Ьз —— х!хз+ хзхю "з = х!хз+ хгхз переставляются между собой. Поэтому любой симметрический многочлен от них будет симметрическим многочленом от х„х„х„х,. В частности, таковым является их произведение ~! ~~! ~з (х! хз + хзх~)(х! хз + хзх4)(х! х4 + хз хз) ЗАЛАЧА 1. Доказать, что многочлен (х! + хз хз хз )(х! хз + хз хз )(х! хз хз + х! ) является симметрическим.
Симметрические многочлены находят применение в исследовании алгебраических уравнений с одним неизвестным благодаря формулам Виета (см. $2), которые выражают элементарные симметрические многочлены от корней алгебраического уравнения через его коэффициенты (при условии, что число корней уравнения в рассматриваемом поле равно его степени). Ясно, что только симметрические многочлены от корней уравнения однозначно определены: значение любого другого многочлена, вообще говоря, зависит от нумерации корней. С другой стороны, мы покажем, что любой симметрический многочлен от корней алгебраического уравнения может быть выражен через коэффициенты этого уравнения.
ПРИМЕР 5. Многочлен з = х,'+ хзз+... + х,' является симметрическим. Легко видеть, что зз = !г! — 2!гз. 2 (15) Поэтому сумма квадратов корней алгебраического уравнения х" + а!х '+ а х" '+... + а„!х+ а„=0 равна аз — 2а . Очевидно, что сумма и произведение симметрических многочленов, а также произведение симметрического многочлена на число являются симметрическими многочленами. Иными словами, симметрические многочлены образуют подалгебру в алгебре всех многочленов.
Следовательно, если Р Е зз"(Х„ Хз,...,Х ) — произвольный многочлен от т переменных и у!, уз,..., у Е зз(х„ х„ ...,х„)— какие-то симметРические многочлены, то Р(,Г'„,Гз,...,,Г„) †так симметрический многочлен от х„ х„ ...,х„. Естественно поставить вопрос, нельзя ли найти такие симметрические многочлены 129 $8. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЪ| ?„?с,..., ?„, чтобы всякий симметрический многочлен можно было выразить через них указанным способом. Оказывается, что в качестве таких многочленов можно взять элементарные симметрические многочлены о„о„..., а„. Теорема 1. Всякий симметрический многочлен единственным образом представляется в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
Доказательству теоремы предпошлем две леммы. Лемма 1. Пусть и = ах,"' хсзр... хц — старший член симметрического многочлена з". Тогда (16) 1с,)й,)...)к„. Доказательство. Предположим, что й,, < к,~, для некоторого 1. Наряду с членом и многочлеи ? должен содержать член и'=ах,ь'...х, "х;„,... х„, й,, н ь получающийся из и перестановкой х,, и х,.„. Легко видеть, что и'~ и. Это противоречит тому, что и — старший член многочлена У.П Лемма 2. Для любого одночлена и = х~ хсц... х~, показатели которого удовлетворяют неравенствам (!б), существуют такие неотрицательные целые числа 1„1„..., 1„, что старший член многочлена а,"о,"...
т„' совпадает с и. Числа 1„1,..., 1„ определены этим условием однозначно. Доказательство. Старший член многочлена о, равен х)хт... х„. В силу предложения ?.3 старший член многочлена о а~~... о„' равен *'(*,)'" (*,, )'-=*,"' "Е4'- '....'. Приравнивая его одночлену и, получаем систему линейных уравнений 1, + 1 +... + 1„= й„ (с +... + 1„= кс, 1„= )с„, которая, очевидно, имеет единственное решение 1с = йс — 1сс+, (1 = 1, 2,..., и — 1), 1„= й„.
(1?) Из условия леммы следует, что определенные таким образом числа 1„1, ..., 1„неотрицательны. П 1ЗО Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЪ| МНОГОЧЛЕНОВ ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнение 1, + Ц +... + 1„= Й, показывает, что степень одночлена Х," Хт~... Х~ по совокупности переменных равна степени одночлена и по х,. Доказательство теоремы 1.
Пусть ~ЕК[х„х, ..., х„] — симметрический многочлен. Нам нужно найти такой многочлен Г Е К[Х„Х„..., Х„], что Г(о„о,..., и„) = у. Если Г = О, то можно взять Г = О. В противном случае пусть и, = ах,"хтт' ... х„' — старший член многочлена ~. По лемме 1 выполняются неравенства (16). По лемме 2 существует такой одночлен Г, Е К[Х„Х„..., Х„], что старший член многочлена Г,(о„от,..., о„) равен и,.
Рассмотрим симметрический многочлен Г', = ~ — Г, (о„о,, о„), Если Д, =О, то можно взять Г = Г,. В противном случае пусть и,— старший член многочлена ~,. Ясно, что он младше, чем и,. Существует такой одночлен Гт Е К[Х„Х„..., Х„], что старший член многочлена Гт(о„стт,..., о„) равен и, Рассмотрим симметрический многочлен г' =,т', — Гт(о„о„..., а„). Если Д = О, то можно взять Г = Г, + Гт. В противном случае, продолжая процесс, получаем последовательность симметрических многочленов У, Л,,Г',..., старшие члены которых удовлетворяют неравенствам и,>-и 'т-... По лемме 1 показатель при любой переменной в любом из одночленов и не превосходит показателя при х, в этом одночлене, а он, в свою очередь, не превосходит й,. Поэтому для наборов показателей одночленов и имеется лишь конечное число возможностей, так что описанный выше процесс должен оборваться.
Это означает, что Ум =О для некоторого М, В качестве Г можно тогда взять Г, + Гт+... + Гм. Докажем теперь, что многочлен Г определен однозначно. Предположим, что Г и С вЂ” такие многочлены, что Г(о„от,..., т„) = С(о„о„..., о„). Рассмотрим их разность Н = à — С. Тогда Н(о„от,..., о„) = О. $8. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ Нам нужно доказать, что Н = О. Предположим, что это не так, и пусть Н„Н„..., Н, — все ненулевые члены многочлена Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
