1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(х — с„), где с„с„..., с„— корни многочлена Г", причем каждый из них повторен столько раз, какова его кратность. Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х в этих двух представлениях многочлена Г', мы получаем следующие формулы Виета: с! + с2+... + с„= — —, сч с,с + с,се+... + с„,с„= —, с,с ...с„=( — 1)" — ". В левой части й-й формулы Виета стоит сумма всевозможных произведений к корней многочлена Г, С точностью до множителя ( — 1)' это коэффициент при х" ' в произведении (х — с,)(х — с )...
(х — с„). ПРнмеР 1. Комплексные корни 5-й степени из 1 е„=сов з +ез(п з (й=0,1,2,3,4) $2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ 99 (рис. 1) суть корни многочлена х' — 1. По первой из формул Виета их сумма равна нулю. Приравнивая нулю сумму их вещественных частей, получаем 2 соз — + 2 соз — ~ + 1 = О. 5 5 Пусть соз — = х; тогда соз-3- —— 2х 4х =2х' — 1, так что 4хз+2х — 1 =О, откуда 2х Л вЂ” ! 4х ъ/54 ! 5 4 ' 5 4 Рис. 1 ЗАДАЧА 1. Пусть п — простое число. Пользуясь задачей 1.6.2 и последней из формул Виета, доказать теорему Вильсона: (и — 1)! = — — 1 (щод и). Многочлен 7 называется нормированным (или приведенным), если о = 1. Формулы Виета позволяют выразить коэффициенты нормированного многочлена через его корни (при условии, что число корней с учетом кратностей равно степени многочлена).
ПРНМБР 2. Найдем нормированный многочлен 4-й степени 2 = х'+а,х'+ азх + азх+ а, имеющий двукратный корень 1 и простые корни 2, 3. По формулам Виета -а, =1+1+2+3=7, аз = 1 1+ 1 2+1.3+1 2+ 1.3+2.3=17, -аз=1 ! 2+1 1 3+1.2 3+1.2 3=17, а=1 1 ° 2 3=6. Таким образом, У = х' — 7хз+ 17х' — 17х+ 6. Кратность корня многочлена может быть истолкована и другим способом, по крайней мере в случае с!заг К = О.
для этого нужно определить дифференцирование многочленов. Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЪ| МНОГОЧЛЕНОВ Из правил дифференцирования функций вещественной перемен- ной следует, что производная многочлена есть также многочлен. Обозначим через Р отображение алгебры К[х) в себя, ставящее в соответствие каждому многочлену его производную. Отображе- ние В обладает следующими свойствами: 1) оно линейно; 2) В(И) =(Рйу+НРу) 3) Вх= 1. Эти наблюдения позволяют определить дифференцирование мно- гочленов над любым полем Л, когда определение производной, даваемое в анализе, не имеет смысла, Предложение 1, Существует единственное отображение Р: Л [х] — К[х], обладающее свойствами 1) — 3).
Дока за тел ь от в о. Пусть Р— такое отображение. Тогда Р1 = Р(1 ° 1) = (В!) ° 1+ 1- (В1) =.В 1+ В1, откуда Р1 =О. Докажем по индукции, что Рх" = пх" '. При и =1 это верно по предположению, а переход от п — 1 к и делается выкладкой рх"=В(х"-'х)=(Вх" '~х+х"-'(Вх)=(п — 1)х -' х+х" '=хх" '. Тем самым отображение В однозначно определено на базисных векторах 1,х,хз,..., а значит, и на всем пространстве К[х). Обратно, построим линейное отображение В: К[х] — К[х], задав его на базисных векторах формулами В1 = О, Рх" = пх" ' (и = 1, 2,...), и проверим, что оно обладает свойством 2).
В силу линейности достаточно проверить это свойство для базисных векторов. Имеем В(х х") = Рх +" = (гп+ п)х (Вх )х" + х (Вх") = гпх 'х" + пх х" ' =(гп+ п)х ~" '. С! Многочлен ВГ" называется производной многочлена Г" и обозна- чается, как обычно, через Г"'. Сделав в многочлене У Е К[х] замену х= с+ у, где с е Л, мы можем представить его в виде многочлена (той же степени) от у = = х — с или, как говорят, разложить по степеням х — с: Г" = Ь„+ Ь,(х — с)+ Ьз(х — с)з+... + Ь„(х — с)".
(7) Очевидно, что если с — корень многочлена Г", то его кратность равна номеру первого отличного от нуля коэффициента этого разложения. $2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ 101 Предложение 2. Если сваг К = О, то коэффициенты разложения многочлена 1' е К1х] по степеням х — с могут быть найдены по формулам У~"~~ь) ь! (Здесь ~'">, как обычно, обозначает й-ю производную многочлена 1'.) Доказательство. Продифференцируем равенство (7) й раз и подставим х = с. П Таким образом, ,Г = 7(с) + (Г~(х — с) + ~ь2(Г)(х — с)з+... + ~-(-)(х — с)".
Эта формула называется формулой Тейлора для многочленов. Из формулы Тейлора и сделанного выше замечания следует Теорема 4. При условии, что сйагК =О, кратность корня с многочлена Х е К[х1 равна наименьшему порядку производной многочлена 7", не обращающейся в нуль в точке с. Следствие. При том же условии всякий й-кратный корень многочлена 7' является (Ь вЂ” 1)-кратным корнем его производной. ЗАмечАние 3. В случае с)гаг К > 0 кратность корня с может быть меньше указанного в теореме 4 числа. Более того, такого числа может вообще не существовать. Так, например, если ив простое число, то первая, а значит, и все последующие производные многочлена х" ей„1х), имеющего и-кратный корень О, являются нулевыми многочленами.
В случае К = 1к теорема 4 позволяет истолковать кратность геометрически. А именно, если кратность корня с многочлена У Е К1х) равна й, то вблизи точки с многочлен )' ведет себя как Ь(х — с)' (Ь ф 0). Это означает, что его график в точке с при й = 1 просто пересекает ось х, а при к > 1 имеет с ней касание (й — 1)-го порядка. Кроме того, знак многочлена 1'(х) при прохождении точки с при нечетном й меняется, а при четном й не меняется (см. рис.
2). Коэффициенты разложения (7), а значит, и значения производных многочлена 7 в точке с (в случае сваг К = 0) могут быть найдены последовательными делениями с остатком многочлена 7" на х — с. А именно, при первом делении получается остаток Ьь и неполное частное у; = Ь, + Ь,(х — с) +... + Ь„(х — с)" при делении У, на х — с получается остаток Ь, и т. д. 102 Гл, 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОБ Рис. 2 ПРимЕР 3. Разложим указанным способом по степеням х — 2 многочлен 7 = х5 — 5х4+ 7хз — 2хс+4х — 8 е К(х). Последовательные деления с остатком на х — 2 будем проводить по схеме Горнера, используя строку результатов каждого деления как строку исходных данных для следующего деления: Таким образом, ~ = 7(х — 2)л+ 5(х — 2)" + (х — 2)а.
В частности, мы видим, что 2 — трехкратный корень многочлена 7. Кроме того, 7'"(2)=3! 7=42, ~~(2)=4! 5=120, У"(2)=5! 1=120. $3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 103 ф 3. Основная теорема алгебры комплексных чисел Оценка сверху числа корней многочлена, полученная в предыдущем параграфе, ничего не говорит о наличии хотя бы одного корня. И действительно, существуют многочлены положительной степени, не имеющие корней, например, многочлен х'+1 над полем К вещественных чисел. Именно это обстоятельство послужило поводом для построения поля С комплексных чисел. Если бы и над полем С существовали многочлены положительной степени, не имеющие корней, это привело бы к необходимости его дальнейшего расширения.
Однако, к счастью, это не так. Это составляет содержание теоремы, которую называют основной теоремой алгебры комплексных чисел. Теорема 1. Всякий многочлен положительной степени над полем комплексных чисел имеет корень. Поле, над которым всякий многочлен положительной степени имеет хотя бы один корень, называется алгебраически замкнутым. Таким образом, теорема ! означает, что поле С комплексных чисел алгебранчески замкнуто. Существует несколько доказательств этой теоремы. Любое из них включает элементы анализа, так как оно должно как-то использовать определение поля вещественных чисел, которое не является чисто алгебраическим. Доказательство, приводимое ниже, является почти полностью аналитическим.
л1 + гз сз Нам понадобится понятие предела последовательности комплексных чисел. Перед - сз тем как дать соответствующее определение, напомним, Рис. 3 что модуль ф комплексного числа г есть длина вектора, изображающего это число. Отсюда следует, что !х, — х,~ есть расРис. 4 стояние между точками, изображающими числа и г,.
Известные из геометрии неравенства показывают (см. рис. 3 и 4), что ! + "~<1М+!"! Ь1-!.)!<~1- ! (Равенства могут иметь место, когда соответствующий треугольник вырождается в отрезок.) Определение 1. Последовательность комплексных чисел х„ (Й е В!) называется сходящейся к комплексному числу г (обозначение: х — х), если !г — г1- О.
Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЪ| МНОГОЧЛЕНОБ Лемма 1. Пусть г, = х„+ у, ч, г = х + ут' (х, у„, х, у е К). Тогда г„- г ч=» х„- х и у„- у. Доказательство. Имеем (см. рис. 5) ! — г!= так что х,— хиу„- у Рис. З Обратная импликация вытекает из неравенств !хь х! < [гь г! [уь у! < !гь г!. Лемма 2. г — ~ г =» !г ! — !г!. Доказательство следует из того, что [!г„! — !г!! < !гь — г!. П Лемма 3. г, — ~ г и ш„- ш =: г„+ ш„- г+ ш и г ш — ~ гш. Д о к а з а т е л ь с т в о такое же, как для последовательностей вещественных чисел: !(гь+и~ь) — (г+ ш)! = [(г„— г)+(ш, — ш)! < !г -г!+[ш -ш! -~ О, !зыбь — гш! = !(г„— г)шь+г(ш„-ш)! < !ге-г[!ш„!+!г[[ш„— ш! — О.
ЕЗ Следствие. Пусть г„- г и Г'еС[з! — любой многочлен. Тогда ~(г,) — ~ ~(г). (Здесь мы допускаем вольность в обозначениях, обычную в анализе, когда значение переменной обозначается так же, как сама переменная.) Лемма 4 (о возрастании модуля многочлена). Если !г„! — оо и У е С[а! — многочлен положительной степени, то ! Г(г )! - оо. Доказательство. Пусть у = аог" + а, г" ' +...
+ а„, г + а„(оо ф О); тогда !~(;)!=!гь!.~.+-,', +...+ —,:-', +$> Выражение, стоящее в скобках, стремится к [а !. Следовательно, все произведение и, тем более, !~(г„)! стремятся к бесконечности. О $ 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 105 РЫ =1+ с,(г — гь) +с„,(г — г )Р '+...+с„(г — зь)' (с, ФО). Нам нужно доказать существование такого г, что Идея доказательства состоит в том, что, если выбирать г достаточно близким к г,, выполнение этого неравенства будет зависеть только от суммы первых двух членов предыдущего ! разложения.
Будем искать г в виде а = го+ тг! (см. рис. 6), где т е (О,!), а а! — комплексное число, удовлетворяющее условию с ар = — 1. р 1 Имеем тогда Рис. а р(р) ! рр+ рр~-! (р) !"(рь) где !Р— некоторый многочлен степени и — р — 1 (с комплексными коэффициентами). Если С вЂ” максимум модулей коэффициентов многочлена р, то )<р($)) < А =(и — р)С и, следовательно, — (-~ < 1 — $Р+ А 8Р+ ! = 1 — $Р(! — Ат) < 1 при т <-. С) 1 А Следующая лемма является ключевой для доказательства основной теоремы. Лемма 5 (лемма Даламбера). !7усть,у е Цг] — многочлен положительной степени и Г(д ) ~ О. Тогда сколь угодно близко к гь можно найти такое з, что ~У(г)! < ~,Т(гь)!. Доказательство. Разложим Г по степеням г — гь и разделим на Г(гс). Учитывая, что несколько первых коэффициентов разложения, следующих за свободным членом, могут оказаться равными нулю, запишем результат в виде Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
