1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

П Процедура нахождения наибольшего общего делителя, использованная в этом доказательстве, называется алгоритмом Евклида. Элементы а, Ь е А называются взаимно простыми, если (а, 6) = 1. В этом случае, согласно доказанной теореме, существуют такие и,иеА, что аи + Ьи = 1. Перейдем теперь к вопросу о разложении на простые множители. Определение 4. Необратимый ненулевой элемент р целостного кольца называется лроспгым, если он не может быть представлен в виде р = аЬ, где а и 6 — необратимые элементы. Иначе говоря, элемент р простой, если всякий его делитель ассоциирован либо с 1, либо с р. Простые элементы кольца г, в этом смысле — это числа вида хр, где р — простое число.

Простые элементы кольца К[х], где К вЂ” поле, по традиции называются неприводимыми многочленами. Таким образом, неприводимый многочлен — это такой многочлен положительной степени, который не может быть разложен в произведение двух многочленов положительной степени. Очевидно, что всякий многочлен первой степени неприводим. Из основной теоремы алгебры комплексных чисел вытекает, что неприводимые многочлены над С вЂ” это только многочлены первой степени, а из следствия теоремы 4.1 — что неприводимые многочлены над К вЂ” это многочлены первой степени и. многочлены второй степени с отрицательным дискрнминантом. В следующем $5.

ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ЕВКЛИДОВЫХ КОЛЬЦАХ 117 параграфе мы обсудим вопрос о неприводимых многочленах над Ц и, в частности, увидим, что они могут иметь любую степень. Пусть теперь А — любое евклидова кольцо. Лемма 1. Если простой элемент р кольца А делит произведение а,о ... а„, то он делит хотя бы один из сомножителей а„а„..., а„.

До к аз а тельство. Докажем это утверждение нндукцией по и. При п = 2 предположим, что р не делит а,. Тогда (р, а,) =1 и, значит, существуют такие и, о Е А, что ри+ а,о = 1. Умножая это равенство на о, получаем риа + а, а е = от, откуда следует, что р делит а .

При и > 2 представим произведение а, а ...а„в виде а,(а ... а„). По доказанному р)а, или р(а ... а„. Во втором случае по предположению индукции р ~ а,, где г — один из индексов 2,..., и. П Теорема 2. В евклидовом кольце всякий необратимый ненулевой элемент может бгять разложен на простые множители, причем это разложение единственно с точностью до перестановки множителей и умножения их на обратимые элементьс ЗАмечАиие 3.

Говоря о разложении на простые множители, мы не исключаем разложения, состоящего только из одного множителя. Доказательство. Назовем необратимый ненулевой элемент аЕ А хорошим, если он может быть разложен на простые множители. Предположим, что существуют плохие элементы. Выберем из них элемент с наименьшей нормой. Пусть это будет элемент а. Он не может быть простым. Следовательно, а = Ьс, где Ь и с — необратимые элементы. Имеем Ж(Ь) < йГ(а) и )т'(с) < Дг(а) и, значит, Ь и с — хорошие элементы; но тогда, очевидно, и а — хороший элемент, что противоречит нашему предположению. Таким образом, всякий необратимый ненулевой элемент кольца А может быть разложен на простые множители.

Докажем теперь индукцней по п, что если (9) а=р,р ... р„= д,д ... д,„, где р,, д, — простые элементы, то гп = и и, после подходящей перенумерации множителей, р,. ° д,. при 1 =1, 2,..., и. При и = 1 это утверждение очевидно. При п > 1 имеем р~ ~ д,оэ... д и по лемме 1 существует такой номер ю', что р, ~ д,. 118 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОБ Тогда р, уо Можно считать, что т' = 1 и р, = а,. Сокращая равенство (9) на рп получаем Рз ° Р =Уз У ° По предположению индукции отсюда следует, что гп = и и, после подходящей перенумерации, р д,, при 1=2,..., и. Тем самым утверждение доказано.

П Следствие, Пусть а=р~~... р," — разложение элемента аЕ А На ПРОСтЫЕ МНОжитЕЛи, ПРиЧЕМ Р,. тс Рз ПРи Ь' ~ 1'. ТОгда ВСЯКий делитель й элемента а имеет вид й =ср,'...р;, где 0 < 1,. < Ь, (Ь =1,..., е), а с — обратимый элемент. До к а за тельс т во. Пусть а=уй. Разложим д и д на простые множители. Перемножив эти разложения, мы получим разложение а на простые множители. Сравнив его с данным разложением, получим требуемый результат. П ЗАДАЧА 1.

Доказать, что в евклидовом кольце а) Ь]а, с]аи(Ь,с)=1 =~ Ьс)а; б) с[аЬ и (Ь,с)=1 =ь с[а, ЗАЛАЧА 2. Наименьшим оби(им кратным элементов а и Ь целостного кольца называется их общее кратное (т.е. элемент, делящийся на а и на Ь), делящее все их общие кратные. Оно обо- значается через [а, Ь] или НОК (а, Ь)). Доказать, что в евклидовом кольце для любых элементов а, Ь существует наименьшее общее кратное [а, Ь), причем (а, Ь)[а, Ь] аЬ. ЗАЛАЧА 3.

В кольце И[1) (см. пример 1) разложить на простые множители числа 2, 3 и 5 и подумать, в чем принципиальная разница между этими тремя случаями. Известно, что простых чисел бесконечно много. Напомним рассуждение, которое это доказывает. Предположим, что р„р,... ..., р„— это все простые числа. Тогда число р,р,... р„+ 1 не делится ни на одно из них, что, очевидно, невозможно. Точно такое же рассуждение показывает бесконечность числа нормированных неприводимых многочленов над любым полем К. Если поле К бесконечно, то этот результат не представляет интереса, так как в этом случае имеется бесконечно много нормированных многочленов первой степени.

Однако если поле К конечно, то этот результат означает, что имеются неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени. На самом деле в этом случае имеются неприводимые многочлены любой степени. 4 а. многочленьс с рАционАльными коэээициянтАми 119 ЗАДАЧА 4. Перечислить неприводимые многочлены степеней < 4 над полем Ж, и доказать, что существует ровно б неприводимых многочленов степени 5. 9 6. Многочлены с рациональными коэффициентами Из однозначности разложения целого числа на простые множители вытекает Теорема 1. Если многочлен ,Г =аьх" +ах" '+... + а,,х+ а„бК(х) имеет рациональньсй корень — ", где и, о е Е, (и, о) = 1, то и ( а„, о (ао.

Доказательство. Имеем О = сс",7 ( — „) = аьи" + а, и" 'сс +... + а„, ио" ' + а„о". Все слагаемые в правой части, кроме последнего, делятся на и. Следовательно, и последнее слагаемое должно делиться на и. Но так как и и о взаимно просты, то а„делится на и (см, задачу 5.1 6)). Аналогично доказывается, что а, делится на е. П Следствие. Если нормированный многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень цельсй.

Очевидно, что всякий многочлен с рациональными коэффициентами пропорционален многочлену с целыми коэффициентами. Поэтому теорема 1 позволяет путем конечного числа испытаний найти все рациональные корни любого многочлена с рациональными коэффициентами. Конечно, таких корней, как правило, нет, Приводимый ниже специально подобранный пример относится к разряду тех исключений, которые подтверждают правило.

Пример 1. Рациональными корнями многочлена У = 2хс — 7хз + 4хт — 2х — 3 согласно теореме 1 могут быть только ~% Испытания дают 2 корня: с х, =3, хз —— — й. Следующая теорема может рассматриваться как обобщение теоремы 1. 120 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ Теорема 2 (лемма Гаусса). Если многочлен с целыми коэффициентами разлагается в произведение двух многочленов с рациональными коэффициентами, то он разлагается в произведение двух пропорциональных им многочлгнов с целыми коэффициентами. Иначе говоря, если (' Е Е[х] н У = дЬ, где д, Ь Е О[х), то существует такое Л е Я*, что Лд, Л 'Ь е Е[х).

Перед тем, как доказывать эту теорему, введем некоторые вспомогательные понятия. Многочлен Г е Е[х] называется примитивным, если его коэффициенты взаимно просты в совокупности, т.е. не имеют общего простого делителя. Если такой делитель есть, то его можно вынести за скобки. Поэтому всякий многочлен с целыми коэффициентами, а значит, и всякий многочлен с рациональными коэффициентами, пропорционален некоторому примитивному многочлену (определенному однозначно с точностью до умножения на ~1).

Пусть р — какое-нибудь простое число. Определим редукцию по модулю р многочлена У = аьх'+ а, х" ' +... + а„,х+ ар Е Е[х) как многочлен Щр = [аз)рх" + [Ц)рх" '+... +[а„,],х+ [а„)р Е Ер[х], коэффициенты которого суть вычеты по модулю р коэффициентов многочлена Г. Из определения операций над вычетами следует, что У + д), = И, + [д)„ Уд), = У),[д)„ для любых многочленов Л д е Е[х). Доказательство теоремы 2. Пусть Г е Е[х] и У = дЬ, где д, Ь е ()[х]. Согласно предыдущему, многочлены д и Ь пропорциональны каким-то примитивным многочленам д, и Ь,. Имеем ,Г =рд,Ь„,иЕЯ.

Характеристики

Список файлов книги