1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 20
Текст из файла (страница 20)
3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОБ Доказательство теоремы !. Пусть УеС(г) — многочлен положительной степени. Положим М = !и! ~У(гН. Из определения нижней грани следует, что существует такая последовательность комплексных чисел г», что !У(.»)1- М. (8) Если последовательность !г»~ неограниченна, то из нее можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к бесконечности; но тогда в силу леммы 4 мы придем в противоречие с (8).
Таким образом, существует такое С > О, что )г») < С т'й. Представим г» в алгебраической форме: г» х» + у»1 Тогда )х»! < )г») < С, (у»! < (г») < С По теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности х„ можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Перейдя к этой подпоследовательности и изменив обозначения, можно считать, что х» — х .
Аналогичным образом, перейдя еще раз к подпоследовательности, можно считать, что у» ' уо. Но тогда по лемме ! г» гг = хз + %' и, следовательно, Л .Н !У( .И =М. Если М > О, то лемма Даламбера приводит нас в противоречие с определением М. Следовательно, М =О, т.е.г"(г,) = О.
П Следствие 1. В алгебре С(х] всякий ненулевой многочлен разлагается на линейные множители. В самом деле, в силу доказанной теоремы многочлен д в разложении (4) должен иметь нулевую степень, т.е. быть просто числом. В силу теоремы 3 получаем отсюда Следствие2. Всякий многочлен степени г» над С имеет и корней (с учетом кратностей). 107 Е 4. КОРНИ ВЕШЕСТВЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ В 4. Корни многочлеиов с вещественными коэффициентами Многочлен степени и с вещественными коэффициентами может иметь < и (в частности, вообще не иметь) вещественных корней, но, как и всякий многочлеи с комплексными коэффициентами, он всегда имеет ровно и комплексных корней (с учетом кратностей). Мнимые корни многочлеиа с вещественными коэффициентами обладают специальным свойством.
Теорема 1. Вслс с — мнимый корень многочлена 7' Е К[х], то с также является корнем этого многочлена, причем той же кратности, что и с. Доказательство. Пусть у = осх" + а, х" ' +... + а„, х + а„(а, а„..., а„е К). Если 7(с) = О, то, поскольку комплексное сопряжение является автоморфизмом поля С (см. В 1.5), 7(с) = оос" + а,с" +... + а„,с + а„= =бес'+а,с" +...+а„,с+а„=7(с)= 0=0, т. е. с — также корень многочлена 7'. Аналогично доказывается, что 7ч">(с) = О 4=-' ~оп(с) = О. Следовательно, кратности корней с и с одинаковы.
П Следствие. В алгебре К[х] всякий ненулевой многочлен разлагается на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом. Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что если с — мнимое число, то квадратный трехчлен (х — с)(х — с) = хз — (с+ с)х+ сс имеет вещественные коэффициенты; его дискриминант, очевидно, отрицателен. Пусть теперь с17.. ° с !сэ~!, сз~Ф сз~о., с,~$ — это все (различные) комплексные корни многочлена У е К[х], причем с„..., с, е К, с,„,..., с,„, ф К.
1ОВ Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ Если кратность корня сг равна гс„ то у = ао(х — с,)А .,, (х — с,)» [(х — с, +,)(х — с, г)]К г... ... [(х — с,,)(х — с„,)[ "', (где а — старший коэффициент многочлена У). Перемножая линейные множители в квадратных скобках, получаем искомое разложение.
(3 ПРимеР 1. х — 1 = (х — 1)(х — (соз — + Г 51п — ))(х — (соз — — Г 51п — )) х 5 2гг .. 2 "г 2гг .. 2л 5 5 5 5 х (х — (соз — + 4 51п — ))(х — (соз — — 4 з!и — )) = 4гг 4л 4гг . 4гг 5 5 5 5 = (х — 1)(х' — 2х соз — 5 + 1)(х' — 2х соз — + 1) = — (х — 1)(х — х+1)(х'+ + +1) (см. пример 2.1). ПРимеР 2. Для многочлена Г" из примера 2.3 разложение, о котором идет речь, имеет вид Г' = (х — 2)л(хг+ х+ 1). Из теоремы 1 также следует, что любой многочлен Г' Е К[х) нечетной степени имеет хотя бы один вещественный корень. Впрочем, это легко доказать и по-другому.
А именно, если старший коэффициент многочлена 1' положителен, то 1пп Г(х)=+со, 1пп Г(х)=-оо и, значит, многочлен ~ принимает как положительные, так и отрицательные значения. По теореме о промежуточном значении непрерывной функции отсюда следует, что в некоторой точке он обращается в нуль. Понятно, что представляет интерес определение точного числа вещественных корней. Вычисляя значение многочлена в отдельных точках, мы можем обнаружить, что в каких-то точках а и Ь он принимает значения разных знаков. Отсюда следует, что в интервале (а, Ь) находится по меньшей мере один корень, а точнее — нечетное число корней (с учетом их кратностей).
Таким образом мы можем оценить снизу число вещественных корней. ПРИМЕР 3. Для многочлена У' = х'+ хз — 4х+ 1 находим у'(О) = 1 > О, Г(1) = -1 < О, Г'(2) = 13 ) О. $4. КОРНИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 109 Следовательно, Г имеет корни в каждом из интервалов (О, 1) и (1, 2). Нетрудно показать, что Г(х) > 0 при х < О, а также при х > > 2. Следовательно, все вещественные корни многочлена У лежат в интервале (О, 2).
Однако точное их число остается неизвестным, так как в одном из интервалов (О, 1) и (1, 2) может быть три корня. Существуют методы, которые в принципе позволяют определить как общее число вещественных корней любого многочлена с вещественными коэффициентами, так н число его корней в любом промежутке числовой прямой. Однако их практическое применение связано с довольно большими вычислениями.
Мы приведем здесь одну теорему, которая хотя и не всегда дает точный ответ, но зато не требует никаких вычислений. Она говорит не просто о числе всех вещественных корней, но о числе положительных (или отрицательных) корней и является обобщением следующего тривиального утверждения: если все коэффициенты многочлена неотрицательны, то он не имеет положительных корней. Для формулировки этой теоремы нам понадобится одно вспомогательное понятие. Пусть имеется конечная последовательность вещественных чисел а~, а„о~, ..., а„.
Говорят, что на й-м месте в этой последовательности имеется перемена знака, если а, ФО н знак числа а, противоположен знаку последнего из предшествующих ему ненулевых членов последовательности. (Если а„ вЂ” первый из ненулевых членов последовательности, то на й-м месте перемены знака нет.) Теорема 2 (теорема Декарта).
Число положительных корней (с учетом их кратностей) многочлена Г Е К[х] не превосходит числа перемен знака в последовательности его коэффициентов и сравнимо с ним по модулю 2; если же все (комплексные) корни многочлена,1 веи(ественны, то эти числа равны. Обозначим через Ж(Г) число положительных корней многочлена У и через о(Г") число перемен знака в последовательности его коэффициентов. Очевидно, что эти числа не изменяются при умножении У на — 1; поэтому всегда можно считать, что старший коэффициент многочлена Г положителен. Кроме того, если 0 является к-кратным корнем многочлена У, то при делении Г на х~ эти числа также не изменяются; поэтому можно считать, что свободный член многочлена Г отличен от нуля.
Лемма 1. )1ГЩ=Х (У)(щод2). Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ Доказательство. Пусть у = авх" + а, х" ' +... + а„,л + а„(ав > О, а„ф О). Тогда г"(0) = а„и ~(л) > 0 при достаточно больших л. Когда мы двигаемся вправо по числовой прямой, то при прохождении каждого простого корня Г'(х) меняет знак, а при прохождении й-кратного корня знак Г(х) умножается на ( — 1)", т.е. как бы меняется й раз. Поэтому Аг(Г') четно, если а„> О, и нечетно, если а„< О. То же самое можно сказать и об Ь(Г").
П Лемма 2. М(У) < М(Г')+1. Доказательство. По теореме Ролля между любыми двумя корнями многочлена у лежит корень его производной. Кроме того, каждый Й-кратный корень многочлена Г является (й — 1)-кратным корнем его производной (следствие теоремы 2.4). Отсюда получаем, что Аг(Г"') > Аг(У) — 1. П Лемма 3. Ь (У') < Т (У) Доказательство очевидно. П Число отрицательных корней многочленаГ' равно числу положительных корней многочлена Г(а) = (-1)" У(-х).
Лемма 4. Ь(Г")+ Ь(7) < и =бед~. До к аз а тел ь с т в о. Коэффициенты многочлена г" получаются из коэффициентов многочлена Г попеременным умножением на Ы. Предположим вначале, что все коэффициенты а, а„..., а„многочлена Г' отличны от нуля. Тогда если на й-м месте в последовательности а, а„ ..., а„ имеется перемена знака, то на том же месте в последовательности коэффициентов многочлена 1 перемены знака нет, и наоборот.
Поэтому в этом случае Ь ()')+ Ь (У) = и. В общем случае, когда среди коэффициентов а, а„..., а„могут быть нули, при их замене произвольными числами, отличными от нуля, числа Ь(г') и Ь(7) могут только увеличиться. Так как после этого их сумма по доказанному станет равной и, то Ь(г")+ Ь(7) < п, О Доказательство теоремы 2.
Докажем неравенство Ж(Г)<Ь(Г) индукцией побед~. Если бей~=О, то АгЦ)=Х ())=О. Пусть г(еп~ = и >О. Тогда беп Г"'= и — 1. Пользуясь леммами 2 и 3 и предположением индукции, получаем А1(У) < Аг(У')+1< б(Г)+1 < х (У)+1 Однако равенство Аг(г') = Ь(Г)+ 1 невозможно ввиду леммы 1.
Следовательно, АГ(Г) < Ь(Г). $4. КОРНИ ВЕШЕСТВЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 111 Пусть теперь известно, что все корни многочлена Г вещественны. Мы можем считать, что 0 не является корнем. Имеем тогда в силу уже доказанного неравенства и леммы 4 и =рГЮ+рГ(1) < ЬЮ+ЕШ < и, откуда 1У(Г) = 5(Г), 1У(Г) = ~(У) П Рим ЕР 4. Для многочлена Г из примера 3 имеем 5(У) =2, так что 1У(У) < 2. Но мы уже установили, что )У(Г) > 2. Следовательно, Ф(Г) = 2. ПРимеР 5.
Многочлен Г = х' — х+1 не имеет положительных (и вообще вещественных) корней, но Ь (Г) = 2, так что в этом случае йг(у) < ~(у). Применяя теорему Декарта к многочлену Ф ьо с д(х) = Г(с+ х) = Г(с)+ ~+)х+ -+)х'+... + ~ — ~'-)х", мы получаем информацию о числе корней многочлена Г в промежутке (с, +ао). В частности, если все коэффициенты многочлена д неотрицательны, то он не имеет положительных корней (тривиальный случай теоремы Декарта), а это означает, что все вещественные корни многочлена Г не превосходят с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
