1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 16
Текст из файла (страница 16)
НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 82 знаков не меняется. Таким образом, если полученное в результате произведение будет иметь вид а,,а„ ...а,„, то здп(й„й„..., к„) = здп(1,, (т,..., 1„), а это и означает, что рассматриваемое произведение входит в де1 А и де1 Ат с одним и тем же знаком. П Из этой теоремы следует, что всякое свойство определителей остается справедливым, если заменить в нем строки столбцами, а столбцы — строками. В частности, мы таким образом получаем Следствие.
Определитель есть кососимметрическая полилинейная функция столбцов матрицьь Теорема 4 (об определителе матрицы с углом нулей). Оусть матрица А имеет вид О С где В и С вЂ” квадратные матрицы Тогда де1А =бе1В де1С До к а за т ел ьст во. При фиксированных В и Р определитель матрицы А является кососимметрической полилинейной функцией ее последних строк и, тем самым, кососимметрической полилинейной функцией строк матрицы С. Согласно следствию теоремы 1, получаем отсюда бе1А =с1е1 ~ ) бе1 С.
~В Р~~ Первый множитель, в свою очередь, при фиксированной матрице Р является кососимметрической полилинейной функцией столбцов матрицы В, откуда де1 ВО Ер =де1 Ео Ер бе1в=бе1В (поскольку матрица ~ О ) треугольная с единицами на диаго- ГЕ Р1 пали). П Ввиду теоремы 3 аналогичная формула верна и для матриц с правым верхним углом нулей. 83 $4, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ПРимеР 5. Вычислим так называемый определитель Вандер- монда 1 х„х~ ... х„" Вычитая из каждого столбца, начиная с последнего, предыдущий столбец, умноженный на х,, и применяя теорему 4, получаем 1 О О ... О 1 , — х, ,( ~ — *,) ... Г '( , — х1) Ъ'(х„ х2, ..., х„) = 1 х, — х, х„(х„ — х,) ...
х„" '(х„ — х,) = (хз — х,)... (х„— х,)Т'(хт,..., х ). Продолжая так дальше, в конце концов получаем Ъ'(х, х ., х.) = П (х; — хг). (21) Ае — (-1)*'гМТ называется алгебраическим дополнением элемента ае. Смысл алгебраического дополнения ясен из следующей леммы. Лемма 1. ап ... а,,.... а,„ О ... а, ... О ги =а, Ае. Пусть А — произвольная (не обязательно квадратная) матрица. Всякая матрица, составленная из элементов матрицы А, находящихся на пересечении каких-то выбранных строк и какихто выбранных столбцов, называется подматрицей матрицы А.
Подчеркнем, что выбираемые строки и столбцы не обязаны идти подряд. Определитель квадратной подматрицы порядка й называется минором порядка к матрицы А. Иногда, допуская вольность речи, саму квадратную подматрицу также называют минором. В частности, если А — квадратная матрица порядка и, то минор порядка и — 1, получаемый вычеркиванием е-й строки н т-го столбца, называется дополнигпельным минором элемента ае и обозначается через Ме. Число Гл.
2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 84 (В левой части стоит определитель матрицы, полученной из матрицы А =(ав) заменой нулями всех элементов ~-й строки, кроме ав ) До к а з а т е л ь с т в о. Поменяем местами Е-ю строку со всеми предыдущими строками и 2'-й столбец со всеми предыдущими столбцами. При этом мы будем т' — 1 раз менять местами строки и 2' — 1 раз столбцы, так что определитель умножится на (-1)* '" '=(-1)*" В результате получится определитель вида а, 0 ... 0 а,, а„...
а,„ где в правом нижнем углу стоит дополнительныи минор элемента а„. По теореме об определителе матрицы с углом нулей этот определитель равен а„мв. С учетом предыдущего знака отсюда и получается доказываемое равенство. С! Теорема 5. Для любой квадратной матрицы А де!А = 2 авАь =~ а„Аь Первая из этих формул называется формулой разложения определителя по Е-й строке, вторая — формулой разложения определителя по 2'-му столбцу.
Дока зате л ьс т во. Так как каждый член выражения(19) для де! А содержит ровно один элемент из 1-й строки, то предыдущая лемма означает, что сумма тех членов, которые содержат ав, равна а,А„. Отсюда вытекает формула разложения по строке. Аналогично доказывается формула разложения по столбцу. П ЗАмечлние 4. Знаки ( — 1)'+' чередуются в матрице в шахматном порядке, причем на главной диагонали стоят плюсы. П РимеР 6. Вычисление определителя Ь из примера 2 разложением по 2-й строке дает с = — 4 +5~ — 6~ = — 4 ( — 6)+5 ( — 12) — 6 ( — 6)=0. 2 3 ~1 3 ~! 2 8 9 ~7 9 ~7 8 ПРИМЕР 7.
Вычислим определитель порядка и вида 2 1 0 ... 0 0 1 2 1 ... 0 0 0 1 2 ... 0 0 0 0 0 ... 2 1 0 0 0 ... 1 2 $4. ОПРЕЛЕЛИТкЛИ Разлагая его по 1-й строке и затем второй из полученных опреде- лителей — по 1-му столбцу, получаем 1 1 ... 0 0 О 2 ... 0 0 = 2Ь„! — Ь„„ Ь„= 2Ь„ 0 0 ... 2 1 0 0 ... 1 2 откуда -! а †! л-2' Это означает, что последовательность (Л„Ь, Ь„...) есть арифметическая прогрессия.
Так как сх! = 2, Л, = 3, то ее разность равна 1 и Ь„= и+ 1. Теорема 6. Для любых квадратных матриц А, В с(е1 АВ = с1е1 А с(е1 В. Доказательство. Легко видеть, что строки с„...,с„матрицы АВ получаются из строк а„..., а„матрицы А умножением на В: с,, = а!В (1 = 1,..., и). Отсюда следует, что при фиксированной матрице В определитель де1АВ есть кососимметрическая полилинейная функция строк матрицы А.
В самом деле, пусть, например,а, = а', +а",, где о„ а",— какие-то строки; тогда де1(а, В, а В,..., а„В) = с)е1((а! + сс!)В, а В,..., а„В ) = = бе1(а! В + а",В, а В,..., а„В) = = с1е1(о! В, о2В,..., а„В) + с)е1(а",В, атВ,..., а„В). Остальные свойства проверяются аналогично. После этого, приме- няя следствие теоремы 1, получаем: с)е1АВ=бе1ЕВ.с)е1А =бе1А с)е1В. П ПримЕр 8. Выразим неориентированный объем Ъ' параллелепипеда, натянутого на векторы а„а, а Е Е', через длины !ос~, ~а,(, )а ) его ребер и плоские углы (см. рис. 6) ссз ссз о! с!а=а аз. Гл. 2.
НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 86 Пусть А = (аи) — матрица, составленная из координат векторов а, в ортонормированном базисе. Мы знаем (см. начало параграфа), что T = х с(е1 А. Поэтому гг = (де1 А )г = де1 А . де1 А т = с1е1 АА т Из правила умножения матриц следует, что (г; г')-й элемент матрицы ААт есть скалярное произведение (а,, а,) = (а,.йа,! сов ага, Рис, б Таким образом, ~а, ~' )а,))аг! сов а, )а, Йаг( сов а (агйа,! сов а )а (г )а Йа ! сов а, ~аз((а,( сов а )а Йа ! сова, (а ~г 1 сов аг сова, 1 сов аг сов а! г сов а, 1 =1а,(г)а ~г(а )г и, значит, 1 = ~а~Иаг)~аг) 1+2 сов а, сов а, сов аз — совг а,— совг а — совг а .
ф 5. Некоторые приложения определителей ац х, + аих, +... + а,„х„= Ь„ а,х,+а х,+...+а,„х„=д, (22) а„, х, + а„гх, +... + а„„х„= Ь„. Как мы видели в предыдущем параграфе (теорема 2), определители дают ответ на вопрос о невырожденности (и, тем самым, об обратимости) квадратной матрицы, который служил нам поводом для их введения. Вариации на эту тему приводят к многочисленным приложениям определителей в теории линейных уравнений и теории матриц.
Первые из таких приложений будут рассмотрены в этом параграфе. Рассмотрим квадратную систему линейных уравнений $5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Е7 Обозначим через А ее матрицу коэффициентов и через А,. (г = = 1,2,, и) матрицу, полученную из А заменой ее (-го столбца столбцом свободных членов. Теорема 1. Если де!А ~0, то система (22) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам м ~ (1=1,2,...,п) ам А. ЕМ А Эти формулы называются формулами Крамера. Доказательство.
При любом элементарном преобразовании системы (22) в матрицах А и А,. (г = 1, 2,..., и) одновременно происходит соответствующее элементарное преобразование строк и, следовательно, отношения, стоящие в правых частях формул Крамера, не изменяются. С помощью элементарных преобразований строк матрицу А можно привести к единичной матрице. Поэтому достаточно доказать теорему в том случае, когда А = Е. Если А = Е, то система имеет вид =ь, =Ь =Ь Она, очевидно, имеет единственное решение л, = Ь, (1=1, 2,..., и). С другой стороны, 1 О ... Ь, ... 0 О О 1 ...
Ь ... О О = Ь,, 0 0 ... Ь,.... 0 0 де1А, = бетА =бе1Е =1, 0 0 ... Ь„, ... 1 О 0 0 ... Ь„... 0 1 так что формулы Крамера в этом случае действительно верны. С) Если де1 А = О, то ступенчатый вид матрицы А не будет строго треугольным и, следовательно, система (22) либо несовместна, либо неопределенна. Опасно в этом случае пытаться как-то трактовать формулы Крамера. Они просто не применимы (ведь они доказывались в предположении, что де1А ф. 0), и надо действовать как-то иначе. ЗАДАчд 1. Доказать, что если бе1А =О, но бе1А,. э60 для какого-либо 1, то система (22) несовместна. Гл. 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАЛАЧА 2. Показать, что если де! А = бе! А, =...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
