1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Определение 3. Квадратная матрица А порядка а называется нгвырожденной, если гк А = м. Иными словами, матрица А невырожденна, если ее строки (или столбцы) линейно независимы. Теорема 4. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она нгвырожденна. Доказательство. Пусть р: К"- К" — линейное отображение, задаваемое матрицей А.

Согласно предыдущему, матрица А 73 ф 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ обратима тогда и только тогда, когда отображение «» биективно. Последнее в силу теоремы 1 имеет место тогда и только тогда, когда !ш Р=К", Кег р=О. Ввиду теоремы 2 и следствия 1 теоремы 3 каждое из этих условий эквивалентно тому, что гй А = и.

П Нахождение матрицы, обратной к А, можно рассматривать как решение матричного уравнения (где Х вЂ” неизвестная квадратная матрица). Такое уравнение можно решать, как и уравнение (4), с помощью умножения слева на элементарные матрицы, что равносильно элементарным преобразованиям строк «расширенной» матрицы (А~Е). Приведя левую половину этой матрицы к единичной матрице (что возможно в силу невырожденности матрицы А), в правой половине мы получим обратную матрицу. П РиыЕР 12. Найдем матрицу, обратную к матрице А= Для этого проделаем следующие элементарные преобразования: 3 5 О 1 Π— 1 — 3 1 О 1 3 — 1 Таким образом, — 5 2 Злдлчл 2.

Используя линейные отображения, доказать, что ранг произведения двух матриц (не обязательно квадратных) не превосходит ранга каждой из них, а если одна из этих матриц невырожденна, то ранг произведения равен рангу другой матрицы. ф 4. Определители Вопрос о невырожденности квадратной матрицы или, что равносильно, о линейной независимости т«векторов п-мерного пространства в каждом конкретном случае можно решить приведением матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями 74 Гл, 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ строк. Однако представляет интерес нахождение общего условия, которому должны удовлетворять элементы матрицы для того, чтобы она была невырожденной.

Поясним идею получения такого условия на примере геометрических векторов. Пара неколлинеарных векторов а„а е Е' называется ориентированной положительно, если поворот от а, к а (на угол, меньший я) происходит в положительном направлении. Для любых векторов а„а, обозначим через агеа(а„а ) ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти векторы, т. е. площадь, взятую со знаком плюс, если пара (а„а ) ориентирована положительно, и со знаком минус в противном случае; если векторы а, и а коллинеарны, то положим агеа(а„а ) =О. Величина ( агеа(а„а )( может служить мерой линейной независимости векторов а, и а,, Функция агеа(а„а ) векторных аргументов а, и а обладает следующими свойствами: 1) она линейка по а, и по а (см.

пример 3.9); 2) агеа (а, а,) = — агеа (а„а,); 3) если (е„е ) — положительно ориентированный ортонормированный базис, то агеа (е„е,) = 1. Последние два свойства очевидны. Для доказательства первого представим площадь параллелограмма как произведение основания на высоту.

Мы получим тогда агеа (а„а ) = (а, ) Ьз, где ~а,~ — длина вектора ан а 6 — проекция вектора а, на прямую, ортогональную а, (рис. 4). Так как проектирование есть линейное отображение, то отсюда следует линейность агеа (ан а,) по а. Аналогично, взяв за основание а,, можно доказать линейность по а,. Свойств 1)-3) достаточно для вычисления агеа(а„ а ).

Выразим векторы а„а через положительно ориентированный ортонормированный базис (е„е ): а, = оп е, + аме, а =аз,е,+а е. Тогда агеа (а„а ) = агеа (ап е, + а, е„ат, е, + аз,е ) = = ап а,агеа (е„е) + апа агеа (е„е ) + еч а„агеа (е, е) + + очза,загеа (ет, е ) = апаз — а1заз,. 75 $4. ОИРеделители Выражение апаз — яма, называется определителем матрицы А = (ав) порядка 2.

Из предыдущего следует, что векторы а, и а линейно независимы тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из их координат, отличен от нуля. Аналогичным образом можно доказать, что ориентированный объем чо1(а„ аг, а ) параллелепипеда, натянутого на векторы а„аг, аз, обладает следующими свойствами: 1) он линеен по каждому из трех аргументов а,, а, аз; 2) он меняет знак при перестановке любых двух аргументов; 3) если (е„е, ез) — положительно ориентированный ортонормированный базис, то чо1(е„е„е ) = 1. (Тройка (а„аг, пз) считается ориентированной положительно, если поворот от п1 к аг со стороны оз происходит в положительном направлении.) Пользуясь этими свойствами, можно получить следующее выражение для чо1(а„аг, а ) через координаты векторов а„аг, аз в положительно ориентированном ортонормированном базисе (проделайте это!): чо1 (ап аг аз) = ап аггпзз + а,гпгзаз, + а1зог1 азг вп "гзпзг п~зпггоз1 "поз пзз Выражение, стоящее в правой части этого равенства, называется определителем матрицы А = (ов) порядка 3.

Таким образом, векторы а„ог, а линейно независимы тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из их координат, отличен от нуля. Определитель матрицы А = (ав) порядка 3 представляет собой алгебраическую сумму всевозможных произведений трех элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки + и из каждого столбца. На рис. 5 схематически изображено, какие из этих произведений берутся со знаком плюс и какие — со знаком минус. Определитель матрицы А Рис. 5 обозначается либо через Пе1А, либо путем замены круглых скобок, заключающих в себе матрицу, вертикальными чертами.

Гл. 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ПРИМЕР 1. соз сг — ейп а г + з з!п сг соз сг ПРИМЕР 2. 1 2 3 4 5 6 =1 5 9+2.6.7+3 4.8 — 3 5 7 — 2 4 9 — 1 6 8= = 45+ 84+ 96 — 105 — 72 — 48 = О. В случае произвольной размерности и произвольного поля, когда мы не располагаем такими понятиями, как площадь или объем, естественно попытаться ввести определитель как функцию, обладающую свойствами, аналогичными свойствам 1) — 3).

Дадим необходимые для этого определения. Пусть (г — векторное пространство над полем К и У(а„ а„ ... ...,а ) — функция от т векторов пространства Ъ', принимающая значения в К. Определение 1. Функция У(аы ат,...,а ) называется полилинейной (или, точнее гп-линейной), если она линейна по каждому аргументу.

Например, линейность по первому аргументу означает, что 7'(а', + вы ат,..., а ) =7'(пы ат,..., а )+7'(а",, а,..., а ), 7(Ла„ат,..., а ) = Л7(а„ат,..., а ). Определение 2. Полилинейная функция 7'(а„а„..., а„) называется кососимметрической, если при перестановке любых двух аргументов она умножается на -1. Важное свойство кососимметрической полилинейной функции состоит в том, что, если только с)тагК Ф 2, она обращается в нуль всякий раз, когда какие-либо два аргумента принимают одинаковые значения.

В самом деле, при перестановке этих двух аргументов значение функции не изменится, но, с другой стороны, оно должно умножиться на — 1; следовательно, оно равно нулю. Злмачлннв 1. Если спагЛ = 2, то последнее свойство следует принять за определение кососимметричности. Докажем, что из него, наоборот, вытекает косо- симметричность в определенном выше смысле. Поскольку при проверке кососимметричности по каким-либо двум аргументам значения остальных аргументов следует считать фиксированными (хотя и любыми), достаточно рассмотреть случай билинейной (т.

е. 2-линейной) функции. Пусть У вЂ” билинейная функция, обрашаюшаяся в нуль при одинаковых значениях аргументов. Тогда для любых а, Ь е И имеем 0= 7(а+ Ь, а+ Ь) =7(а, а)+ Х(о, Ь)+1(Ь, а)+1(Ь, Ь) =у(а, Ь)+ 7(Ь, а), откуда 7(Ь, а) = -У(а, Ь). $4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Теперь введем понятия, необходимые для описания явного аналитического выражения определителя матрицы порядка и, подобного тем, которые были получены при п = 2 и 3. Последовательность (!«„к«,..., к„) чисел 1, 2,..., п, расположенных в каком-либо порядке, называется перестановкой из и элементов.

Так как Е, может принимать п различных значений, й, при заданном й, может принимать и — 1 значений, к» при заданных к, и й, может принимать и — 2 значений и т. д., то имеется всего п(п — 1)(п — 2)... 2 1 = и! перестановок из п элементов. Перестановка (1, 2,..., и) называется тривиальной. ЗАМЕЧАНИЕ 2.

Слово «перестановка» в математической литературе (в частности, в этой книге) иногда употребляется в общечеловеческом смысле как изменение порядка каких-либо объектов (например, перестановка слов в предложении). Говорят, что пара чисел образует инверсию в заданной перестановке, если большее из них стоит левее меньшего. Перестановка называется четной (соответственно нечетной), если число инверсий в ней четно (соответственного нечетно). Наряду с этим определяется знак перестановки, равный 1, если перестановка четна, и -1, если она нечетна.

Характеристики

Список файлов книги