1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Система однородных линейных уравнений всегда совместна, так как она имеет нулевое решение. Если она определенна, то она имеет только нулевое решение, если неопределенна, то имеет хотя бы одно ненулевое решение (и даже бесконечно много таких решений, если поле К бесконечно). В предыдущих обозначениях, последний случай имеет место, если т < п. Пользуясь тем, что всегда г < гп, мы приходим к следующей теореме, которая является важным теоретическим следствием метода Гаусса. Гл. 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 50 Теорема 2. Всякая система однородных линейных уравнений, число уравнений которой меньше числа неизвестных, имеет ненулевое решение.

Неопределенные системы линейных уравнений могут иметь разную «степень неопределенности», каковой естественно считать число свободных неизвестных в общем решении системы. Так, прямая в пространстве задается системой (двух) линейных уравнений с одним свободным неизвестным, а плоскость — системой (из одного уравнения) с двумя свободными неизвестными. Ясно, что это принципиально разные случаи. Однако одна и та же система линейных уравнений может допускать различные общие решения, в которых разные неизвестные играют роль свободных, и закономерен вопрос, будет ли число свободных неизвестных всегда одним и тем же.

Положительный ответ на этот вопрос дается с помощью понятия размерности векторного пространства, которое будет введено в следующем параграфе. В оставшейся части этого параграфа мы интерпретируем метод Гаусса на языке умножения матриц. Прежде всего, если обозначить через Х столбец неизвестных, а через  — столбец свободных членов, то систему (1) можно переписать в следующей матричной форме: (4) Действительно, матрица АХ, согласно правилу умножения матриц, есть столбец высоты т, »-й элемент которого равен а,, х, + а«т +... + а,„х„.

Приравнивая этот элемент»чму элементу столбца В, мы получаем как раз (-е уравнение системы (1). Пусть Гà — какая-либо квадратная матрица порядка т. Умножая обе части уравнения (4) слева на ГГ,мы получаем уравнение (5) Очевидно, что всякое решение уравнения (4) удовлетворяет и уравнению (5). Если же матрица (Г обратима, то умножение слева на ГГ ' осуществляет обратный переход от уравнения (5) к уравнению (4) и, следовательно, эти уравнения эквивалентны.

Уравнению (5) соответствует система линейных уравнений с матрицей коэффициентов ГГА и столбцом свободных членов УВ. Легко видеть, что расширенная матрица этой системы равна ГУА. $1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Далее, непосредственно проверяется, что элементарные преобразования строк какой-либо матрицы А равносильны ее умножению слева на так называемые элементарные лгатрицвг следующих трех типов: l 1.

1 "" " '1"""с"" '1 1, " """:О."""1 """ = Рс ч ! """" 'с""""" = Щ(с), где а Фу', с ~0, а все элементы этих матриц, не выписанные явно, такие же, как у единичной матрицы. Так, например, умножение матрицы А слева на Е + сЕи (а' ф у') приводит к тому, что к е-й строке прибавляется у'-я строка, умноженная на с (а прочие строки не изменяются). Все элементарные матрицы обратимы, причем обратные к ним матрицы суть элементарные матрицы, соответствующие обратным элементарным преобразованиям: (Е+сЕи) ' =Š— сЕе.

Метод Гаусса в матричной интерпретации состоит в последовательном умножении уравнения (4) слева на элементарные матрицы, имеющем целью приведение матрицы А (а также расширенной матрицы А) к ступенчатому виду. Используя вместо элементарных матриц какие-либо другие матрицы, можно получить другие методы решения систем линейных уравнений, которые, быть может, не столь просты в теоретическом отношении, но, скажем, более надежны при приближенных вычислениях (в случае К = В). Таков, например, метод вращений, при котором в качестве 1Г берутся матрицы вида 1. а -" сова "" — Мпа Рп '=Рн, Яг(с) ' = Яг(с ') / """ 51п а "" ° соэ а "". 52 Гл.

2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 2 2. Базис и размерность векторного пространства Представление о размерности пространства есть одна из фундаментальных идей математики. В разных разделах математики оно (как и представление о самом пространстве) принимает разные формы.

В этом параграфе мы дадим определение размерности векторного пространства и исследуем связанные с этим понятием вопросы. В $1.7 мы ввели понятие базиса векторного пространства и доказали, что векторное пространство над полем К, имеющее базис из п векторов, изоморфно пространству строк К". Размерность векторного пространства определяется как число векторов в его базисе. Однако перед тем как дать такое определение, необходимо ответить на два вопроса: какие векторные пространства обладают базисом и ие может ли в векторном пространстве быть двух базисов, состоящих из разного числа векторов. Чтобы ответить на эти вопросы, нам понадобится ввести некоторые понятия и доказать ряд утверждений, которые важны и сами по себе. Пусть У вЂ” векторное пространство над полем К. Линейная комбинация Л,а,+Л а +...+Л„а„(ЛНЛН...,Л„ЕК) векторов а„а„..., а„е У называется тривиальной, если Л, = = Л, =...

= Л„= О, и нетривиальной в противном случае. Определение 1. Векторы а„а,..., а„называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю, и линейно независимыми в противном случае. Подчеркнем, что понятие линейной зависимости (или независимости) относится ие к отдельным векторам, а к их совокупностям или, как говорят, системам векторов. ЗАмечАние 1.

Понятие системы векторов отличается от понятия множества векторов тем, что, во-первых, векторы системы предполагаются занумерованными и, во-вторых, среди них могут быть равные. Таким образом, система из и векторов — это, в сущности, отображение множества (1, 2,..., и) в пространство Ъ'. Заметим, однако, что свойство системы векторов быть линейно зависимой нли независимой не зависит от нумерации векторов в ней. ЗАмечАние 2.

Термин «линейная комбинация» на самом деле употребляется в двух смыслах: как указание действий, которые $2. БАзис и РАзмеРнОсть ВектОРнОГО пРОстРАнстВА 53 производятся над данными векторами, что равносильно заданию коэффициентов Л„Л„..., Л„, и как результат этих действий. В выражении «нетривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулю» нетривиальность понимается в первом смысле, а равенство нулю — во втором. Линейная независимость векторов а„а,..., а„означает, иными словами, что равенство Л,а, + Лго +...

+ Л„а„= О выполняется только при Л, = Л, =... = Л„= О. ПРимеР 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. ПРИМЕР 2. Система, состоящая нз двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы пропорциональны. ПРИМЕР 3. Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны 1параллельны одной плоскости).

Очевидно, что если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она сама линейно зависима. Так, например, всякая система векторов, содержащая пропорциональные векторы, линейно зависима. Лемма 1. Векторьь а„а,..., а„(г» > 1) линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через остальные. Доказательство. 1) Пусть, например, а,=р а +...+р„а„. тогда а, — рт໠—... — и„а„= О, что показывает линейную зависимость векторов а,„а,..., а„. 2) Обратно, пусть Л~а, + Л»аз+... + Л„а„=О, где не все коэффициенты Л,„Л„..., Л„равны нулю. Допустим для определенности, что Л, фО.

Тогда Л, Л л, « ''' л, т.е. а, линейно выражается через о,..., а„. 0 Гл. 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАМЕЧАНИЕ 3. Неверно, что любой вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные. Пусть, например, а — какой-нибудь ненулевой вектор. Система (а, О) линейно зависима, так как Оа+1 0=0, но вектор а, очевидно, не выражается через нулевой вектор. Лемма 2. Пусть векторы а„а,..., а„линейно независимы. Вектор Ь линейно выражается через а„а,, а„тогда и толысо тогда, когда векторы а„а„..., а„, 6 линейно зависимы.

Доказательство. Если вектор 6 линейно выражается через а„а,, ..., а„, то а„а,..., а„, Ь линейно зависимы согласно предыдущей лемме. Обратно, пусть Л,а, + Лза,+...+Л„а„+рЬ=О, причем не все коэффициенты Л„ЛН..., Л„, р равны нулю. Можно утверждать, что р ~ 0: в противном случае мы получили бы линейную зависимость векторов а„а,..., а„, что противоречит условию.

Но тогда Л1 Лз Л„ Ь= — — а — — аз —...— — "а . С) и ' Раз Лемма 3. Пусть вектор Ь линейно выражается через векторы а„о, ..., а„. Это выражение единственно тогда и только тогда, когда векторы а,, а, ..., а„линейно независимы. До к аз а тел ьст во. 1) Пусть вектор Ь допускает два различных выражения через а„а,..., а„: 6=Л,а,+Л а +...+Л„а„=Л',а,+Л~аг+...+Л'„а„. тогда (Л', — Л,)а, + (Л~ — Л2)ат+... + (Л'„— Л„)а„= О есть линейная зависимость между а„а„..., а„. 2) Обратно, пусть р, а, + р а +... + р„а„= 0 есть линейная зависимость между а„а„..., а„. Тогда если Ь = Л,а, + Лзат+...

+ Л„а„, то также Ь =(Л, + р,)а, +(Л, + рт)о, +... +(Л„+ р„)а„, что дает другое выражение Ь через а„а„..., а„. П Ь 2. БАзис и РАзмеРнОсть ВектОРнОГО НРОстРАнстВА 55 Пусть Я с У вЂ” какое-то подмножество. Совокупность всевозможных (конечных) линейных комбинаций векторов из Я называется линейной оболочкой множества Я и обозначается через (Я). Это наименьшее подпространство пространства Ъ', содержащее Я (проверьте это!).

Говорят, что пространство 1' порождается множеством Я, если (Я) = У. Определение 2. Векторное пространство называется конечномерным, если оно порождается конечным числом векторов, и бесконечномерным в противном случае. Предложение 1 (основная лемма о линейной зависимости). Если векторное пространство )г порождается и векторами, то всякие т > п векторов пространства У линейно зависимы. Доказательство. Пусть Тг = (а,„а,...,а„) и Ь„Ь„..., Ь (т > п) — какие-то векторы пространства У. Выразим их через а„ат,..., а„: Ь,=р,„а, + р, а +...+р,„а„, Ь2 = рд, а, + р2за2 +... + рт„а„, 6 = р„, а, + р,от +...

Характеристики

Список файлов книги