1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Теорема 1. Линейное отображение у: У вЂ” У инъективно тогда и только тогда, когда Кег у = О. Более точно, для любого Ь Е1ш р множество решений уравнения (12) р(х) = 6 имеет вид а+ Кег 1ь, где а — какое-то одно решение этого уравнения. (Здесь а+ Кег х понимается как совокупность сумм вида а+ у, где уЕ Кегу.) Заметим, что Кег р, согласно определению, есть множество решений уравнения (18) р(х) =О. До к а з а тел ь с т в о. Инъективность отображения ~р означает, что для любого Ь Е1ш р уравнение (!2) имеет единственное решение. Поэтому нам достаточно доказать второе утверждение теоремы.
Пусть р(а) = 6. Если у Е Кег чь, то 1ь(а+ у) = 1ь(а) + ср(у) = Ь+О = 6. Обратно, если ~о(х) = Ь, то р(х — а) = р(х) — р(а) = Ь вЂ” Ь = О, т.е. у = х — аЕ Кег 1ь; следовательно, х = а+ у Е а+ Кег ~р. П Если 1ь: Л" — Л вЂ” линейное отображение с матрицей А и Ь = (Ь„Ь,..., Ь ), то уравнение (12) в координатной форме— 4 3.
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ это не что иное, как система линейных уравнений (1), а уравнение (13) — это система однородных линейных уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных: анх, + амх, +... +а,„х„=О, ах х, + азз ха +... + а „х„= О, (14) а, х, + а зх, +... + а „х„= О. Таким образом, множество решений системы уравнений (14) есть подпространство пространства К", а множество решений системы (1), если оно непусто, есть сумма какого-нибудь одного ее решения и этого подпространства.
Какова размерность пространства решений системы (14)? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема 2. Пусть р: К" — К™ — линейной отображение с митричей А. Тогда д1ш Кег ~р = п — гк А. Доказательство. С помощью элементарных преобразований приведем систему (14) к ступенчатому виду. В силу предложения 2 число ненулевых уравнений в этом ступенчатом виде будет равно г = гк А. Поэтому общее решение будет содержать т главных неизвестных и с точностью до перенумерации неизвестных будет иметь вид (ср.
(3)) Х~ = СП Х„ь 1 + СМ Х~ ~ т +... + С1,1 Х ха=агах,„,+ст~х, з+...+С2„„х„, (15) х =снх, +сгх,.~э+ +с,.„„х Придавая по очереди одному из свободных неизвестных х„„х„,,..., Х„значение 1, а остальным — значения О, мы получим следующие решения системы (14): и, =(сп, ст„..., ссо 1,0,...,0), ит —— (скь сзю ..., оно 0,1,...,0), и„„=(с, „„с „„,..., с,„„О, О, ..., 1). Докажем, что они составляют базис пространства Кег 1ь, откуда и будет следовать утверждение теоремы. 68 Гл. 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Для любых Л„Л„..., Л„„е К линейная комбинация и=Л,и, +Лти,+...+Л„,и„ является решением системы (14), в котором свободные неизвестные имеют значения Л„Л,..., Л„„.
Так как значения главных неизвестных однозначно определяются значениями свободных неизвестных (по формулам (15)), то любое решение системы (14) является линейной комбинацией решений и„и„..., и„,. С другой стороны, если и = О, то Л, = Л, = ... = Л„ „ = О; следовательно, и„ нт,...,и„ , линейно независимы. П Всякий базис пространства решений системы однородных линейных уравнений называется фундаментальной системой решений.
Предыдущее доказательство дает практический способ построения такой системы решений. Пусть р: К- У вЂ” линейное отображение конечномерных векторных пространств и (е„е,..., е„) — базис пространства Ъ'. Для любого а = а, е, + ате, +... + а„е„Е У имеем 1ь(а) = а, у(е, ) + а у(е ) +... + а„р(е„). Следовательно, 1п1 1ь = (~р(е,), р(е ),..., у(е„)). (16) Теорема 3. 61 гп 1гп р + 61ш Кег р = 6 1ш Ъ'. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Выберем базис пространства У специальным образом: сначала выберем базис (е„..., е,) подпространства Кег р, а затем дополним его какими-то векторами е„„,..., е„до базиса пространства Ъ'. Так как по построению ~р(е,) = ... = р(е„) = О, то из (16) следует, что 1ш ~р = (р(е„,),..., р(е„)). Докажем, что векторы р(е„,),..., р(е„) линейно независимы, откуда и будет следовать утверждение теоремы. Пусть Л,р(еь,) +... + Л„~ р(е„) =О. Рассмотрим вектор а=Л,е,+...+Л„„е„. Предыдущее равенство означает, что у(а) =О, т.е. а е Кег р = (е„..., е„). Так как е„..., е„е„„..., е„линейно независимы, то это возможно только при Л, = ...
= Л„ , = О, что и требовалось доказать. 0 $ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Следствие 1. Если р: К" — К вЂ” линейное отображение с матрицей А, то йщ 1щ р = гк А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство получается сравнением теорем 2 и 3. П Следствие 2. Ранг системы столбцов любой матрицы равен рангу системы ее строк. Доказательство. Пусть ~о: К" — К" — линейное отображение с матрицей А и е„е,..., е„— единичные строки пространства К".
Из (16) следует, что размерность пространства 1гп ~р равна рангу системы столбцов матрицы А. Сравнение этого с предыдущим следствием и дает желаемый результат. П ПРимБР 9. Поле К можно рассматривать как (одномерное) векторное пространство над самим собой. Линейное отображение ~р: T — К называется линейной функцией на У.
Если р— ненулевая линейная функция, то 1щ р = К и при йщ У = и теорема 3 дает равенство йгп Кег р = и — 1. ПРИМБР 10. Пусть Х вЂ” множество ребер тетраэдра и У— множество его граней. Каждой функции 7' на Х со значениями в поле К поставим в соответствие функцию д на У, определяемую следующим образом: д(д)= Е 7'( ) се т. е.
значение функции д на какой-либо грани равно сумме значений функции 7' на сторонах этой грани. Этим определяется линейное отображение р: Р(Х, К) - Р(У, К) (см. пример 1.7.2). Докажем, что если сйаг К Ф2, то оно сюръективно. Для этого достаточно показать, что 1гп р содержит б-функции всех граней (см. пример 2.7). Функция 7', для которой у(7) есть б-функция нижней грани, изображена на рис. 3, а) (ее значения на непомеченных ребрах равны нулю). Так как й1щ Г(Х, К) =6, йщ Г(У,К) =4, то по теореме 3 д(щ Кег у = 6 — 4 = 2.
Функции, составляющие базис подпространства Кег 1о, изображены на рис. 3, б). 70 Гл. 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Рис. 3, б) Рис. 3, а) ЗАЛАЧА 1. Для отображения р из предыдущего примера найти йт Кегр в случае, когда сйагк = 2. Так как столбцы матрицы А — это строки транспонированной матрицы Ат (см. 5 1.9), то следствие 2 теоремы 3 означает, что г1с А т = г1с А.
Аналогично элементарным преобразованием строк матрицы определяются элементарные преобразования столбцов. Им соответствуют элементарные преобразования строк транспонированной матрицы. Поэтому ранг матрицы не изменяется не только при элементарных преобразованиях строк, но и при элементарных преобразованиях столбцов.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Элементарные преобразования столбцов матрицы равносильны ее умножению на элементарные матрицы справа. Обратимся теперь к операциям над линейными отображениями. Линейные отображения Ъ'- Ег можно складывать и умножать на числа, как обычные функции: (сс + ф )(а) = ~р(а) + ф (а), (Лу)(а) = Лср(а). Относительно этих операций они образуют векторное пространство. Далее, если Ю:'и' У, ~р: Иг — линейные отображения, то их произведение (композиция) ~оф: И'- Ег есть также линейное отображение.
В самом деле, ()с1Ь)(а+ Ь) = у(ф(а+ Ь)) = рЯ(а) + 4>(Ь)) = = ~р(ф(а)) + )с(~Р(Ь)) = (рф)(а) + (~рф)(Ь), (~р~э)(Ла) = ~р(ф(Ла)) = )с(Лф(а)) = Лср(ф(а)) = Л(рф)(а). $3. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Умножение линейных отображений связано с линейными операциями свойствами 'р(Ф + ш) = т«М + рш, (у«+ «Ь)ш = рш + ~Ьш, (Л р) р = р(ЛФ) =А(рР) УЛ е К Докажем, например, первое из свойств дистрибутивности. Пусть у«:И- Ц ф:И'- 7; ш:И«- И вЂ” линейные отображения.
Для любого а е И' имеем («р(«р' + ш))(а) = ~р((ф + ш)(а)) = у«(ф(а) + ш(а)) = = «рф(а)) + р(ш(а)) = (~р«Ь)(а) + («рш)(а) = (уф + рш)(а). Умножение линейных отображений ассоциативно, как и вообще умножение любых отображений. В самом деле, пусть М, Х, Р, Я— какие-то множества и р.Ф вЂ” «М, ф.Р- Л ш. Я- Р— какие-то отображения. Тогда для любого аЕ Я имеем ((у«4«)ш)(а) = («р«Ь)(ш(а)) = ~р(ф(ш(а))), («р(фш))(а) = «рЦфш)(а)) = ~р(ф(ш(а))), откуда (рр) = р(р ).
Операции над линейными отображениями пространств строк соответствуют таким же операциям над их матрицами. Для линейных операций это очевидно. Докажем это для умножения. Пусть р: К" — «К, ф: К"- К" — линейные отображения с матрицами А = (а„) и В = (Ьт ) соответственно. Пусть е„е,..., е„— единичные строки пространства К". Тогда юф (е„) = ( Ьоа Ь „,..., Ь„„), («рф)(е„) = «р(ф(е„)) = ( ~ амЬь, ~ , 'ат,.Ь,.ю..., ~ а, Ь,,ь).
т з 3 Следовательно, матрица отображения у«Р есть С = (с„), где са =~, анЬ, Это означает, что С = АВ, что и требовалось доказать. Гл. 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ПРимеР 11. Матричное равенство, доказанное в примере 1.9.2, на языке линейных отображений означает, что произведение поворотов плоскости на углы о и,д есть поворот на угол о + р (см. пример 5). Поскольку последнее утверждение геометрически очевидно, это дает доказательство формул для косинуса и синуса суммы двух углов.
Свойства операций над матрицами, полученные нами в $1.9 прямыми вычислениями, могут быть теперь выведены из соответствующих свойств операций над линейными отображениями. Очевидно, что тождественное отображение линейно. Матрица тождественного отображения Ы: К" — К" есть единичная матрица Е порядка и. Поэтому свойства единичной матрицы (см. формулу (10) гл. 1)) есть просто перевод на матричный язык очевидных равенств р .!д = у, где р: К"- К вЂ” линейное отображение, задаваемое матрицей А, а Ы в первом случае обозначает тождественное отображение пространства К", а во втором — тождественное отображение пространства К", Напомним, что отображение множеств обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.
Если у; У- У вЂ” биективное линейное отображение, то обратное отображение и '. У- Ъ" также линейно. В самом деле, для любых а, Ь Е ЕГ пусть с, д е Ъ' — такие векторы, что р(с)= а, р(д) = Ь; тогда р(с+ д) = а+ Ь и, следовательно, у '(а+ Ь) = с+ д = у '(а)+ ~р '(Ь). Аналогично проверяется и второе свойство линейности. Применим эти соображения к проблеме обратимости матриц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
