1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Знак перестановки (к„ Й„ ..., Й„) обозначается через здп(!«о й„ ..., Й„). ПРИМЕР 3. При и = 3 четные перестановки — это (1,2,3) (нет инверсий), (2,3,1) (две инверсии) и (3,1,2) (две инверсии), нечетные — (1,3,2) (! инверсия), (3,2,!) (3 инверсии) и (2,1,3) (1 инверсия). ПРимеР 4. Тривиальная перестановка не имеет инверсий и поэтому четна. Напротив, в перестановке (я„п — 1,..., 2, 1) любая пара чисел образует инверсию. Поэтому число инверсий в этой перестановке равно С„'= ! Г 1 — (г~ (шов 2).

Следовательно, зйп(л, и — 1,..., 2, 1) = (-1)"'" пп = (-1)'»и!. Перемена местами двух элементов в перестановке называется транспозицией этих элементов. Предложение 1. При любой транспозиции четность перестановки меняется. Гл. 2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Д о к а з а т е л ь с т в о. При транспозиции соседних элементов меняется взаимное расположение только этих элементов, так что число инверсий изменяется (увеличивается или уменьшается) на 1; следовательно, четность меняется. Транспозиция элементов з и з', разделенных г другими элементами, может быть осуществлена путем 2г + 1 последовательных транспозиций соседних элементов: сначала переставляем 1 со всеми промежуточными элементами и с З', затем переставляем З' со всеми промежуточными элементами.

Каждый раз знак перестановки будет меняться по доказанному выше. Так как это произойдет нечетное число раз, то в результате знак перестановки изменится на противоположный. П Следствие. При п > 1 число четных перестановок из и элементов равно числу нечетных. До к а з а т е л ь с т в о. Выпишем все четные перестановки и в каждой из них произведем транспозицию первых двух элементов. Тогда мы получим, причем по одному разу, все нечетные перестановки. П Теперь мы в состоянии сформулировать и доказать основную теорему.

Теорема 1. Для любого с е К в пространстве К" существует единственная кососимметрическая и-линейная функция 7, удовлетворяющая условию 7(е„ег,..., е„) = с (17) (где е„е,..., е„— единичные строки). Она имеет вид 7'(а„ ач,...,а„) = с 2; здп(й„ й~,..., й„)а„ аз„ ...а„х, (18) (ь, ц,..., й„) где а обозначает 1г-ю компоненту строки а,, а суммирование происходит по всем перестановкам из и элементов. До ка з а телье т в о.

1) Предположим, что 7" — кососимметрическая и-линейная функция, удовлетворяющая условию (17). Тогда ~(а,,аз,...,а„)=7(;1,'а, ек,~ а~ ец,...,~ а„ье„)= А й, й, а, а ... а„„~(ец, е„,..., е, ). ь,ь,...,ь„ В силу кососимметричности функции 7, если какие-то два из чисел й„кт,..., к„равны, то ~(е„, е,,..., е„) =О. Если все они различны, то ~(е,, е,..., е„) = саян(й„й„..., й„).

79 5 4. Определители В самом деле, если зто равенство верно для какой-то перестановки (гс„нт, ..., й„), то оно верно и для любой перестановки, получаемой из нее транспозицией, так как при транспозиции обе части равенства умножаются на — 1. По условию (!7) оно верно для тривиальной перестановки.

Но очевидно, что любую перестановку можно получить из тривиальной последовательными транспозициями. Следовательно, доказываемое равенство верно для любой перестановки, и мы получаем для 7(а„ат,...,а„) выражение (18). Таким образом, если функция 7, удовлетворяющая указанным условиям, существует, то она имеет вид (18) и тем самым единственна. 2) Докажем теперь, что функция 7', определяемая равенством (18) является полилинейной кососимметрической и удовлетворяет условию (17). Линейность по каждому из аргументов очевидна, поскольку для любого з равенство (18) можно представить в виде 7(а„аз,..., а„) се~ аои, где и„..., и„не зависят от аг Условие (17) также выполнено, поскольку в выражении для 7(е„ез,..., е„) слагаемое, отвечающее тривиальной перестановке, равно 1, а все остальные слагаемые равны нулю.

Остается проверить кососимметричность. Посмотрим, что происходит при перестановке аргументов аг и а,. Мы можем разбить множество всех перестановок на пары перестановок, получаемых друг из друга транспозицией гсз и й, Согласно предложению 1, произведения а, а ...а„,, соответствующие перестановкам из одной такой пары, входят в выражение (18) с противоположными знаками. При перестановке а,, и а! они меняются ролями и, следовательно, все выражение умножается на — 1. С) Злмачлннв 3.

Если с)гагК=2, то кососнмметрнчность следует понимать в смысле эамечання! . Ее доказательство в этом случае состоит в том, что прн ог = а. члены выражения ( ! В), соответствующие перестановкам каждой нз опнсанных выше пар, взаимно уничтожаются. Функцию, удовлетворяющую условиям теоремы 1 при с = 1, обозначим через де1. Определение 3. Определителем квадратной матрицы А =(ан) порядка и называется число г)е! А = г(е1(а„а,..., а„), где а„а„..., а„— строки матрицы А. 80 Гл.

2. НАЧАЛА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Таким образом, де1 А = 2,' здп(й„йт,..., й)а,„а ... а„„. (19) (ц, ц,..., ц) При и =2 и 3 мы получаем выражения, приведенные в начале этого параграфа. Аналогичным образом, отождествляя каждую матрицу с набором ее строк, можно рассматривать любую функцию от п элементов пространства К" как функцию от квадратной матрицы порядка п, и наоборот. Утверждение о единственности, содержащееся в теореме 1, можно теперь сформулировать таким образом: Следствие.

Если 1' — какая-то кососимметрическая полилинейная функция строк матрицы, то ,Г (А) = Г(Е) с1е1 А. (20) При и > 4 вычисление определителя непосредственно по формуле (19) в общем случае весьма затруднительно. Существуют значительно более простые способы вычисления определителей. Они основаны на свойствах определителей, доказываемых ниже. Предложение 2. Определитель матрицы не изменяется при элементарном преобразовании строк 1-го типа. До к азат ел ь от в о. Пусть, скажем, к 1-й строке матрицы А прибавляется 2-я строка, умноженная на с.

Полученную матрицу обозначим через А'. Имеем: бе1 А ' = де1(а, + са, о,..., а„) = =де1(а„аз,..., а„)+ с бе1(от, а„..., а„) =бе1А. П При перестановке двух строк определитель, как мы знаем, умножается на — 1, а при умножении какой-либо строки на число он умножается на это число.

Таким образом мы можем проследить за изменением определителя при любых элементарных преобразованиях строк матрицы. Так как любую матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду, а всякая ступенчатая квадратная матрица является треугольной (но, может быть, не строго треугольной), то нам остается научиться вычислять определитель треугольной матрицы. Предложение 3. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

81 $4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Доказательство. Произведение диагональных элементов входит в выражение (19) определителя любой матрицы со знаком плюс, так как соответствует тривиальной перестановке. В случае треугольной матрицы все остальные члены этого выражения равны нулю. В самом деле, если а, о ... а„, фО, то к1>1, йз>2, ..., к„>а; но так как Й, + Йр +... + к„= 1 + 2 +... + п, то это возможно только при к, =1, й,=2, ..., к„=а. П Помимо того, что они дают практический способ вычисления определителей, предложения 2 и 3 позволяют нам ответить на вопрос, ради которого мы и ввели понятие определителя.

Теорема 2. Квадратная матрица А невырожденна тогда и только тогда, когда бе1А ФО. Доказательство. С помощью элементарных преобразований строк приведем матрицу А к ступенчатому виду. Если при этом использовались элементарные преобразования 2-го нли 3-го типов, то определитель может измениться, но, во всяком случае, его равенство нулю или отличие от нуля сохранится. Матрица А невырожденна тогда и только тогда, когда полученная ступенчатая матрица является строго треугольной; но это равносильно тому; что ее определитель отличен от нуля, П Продолжим изучение свойств определителей. Теорема 3. бе1 Ат =де1А. Доказательство. Определитель матрицы Ат, как и определитель матрицы А, есть алгебраическая сумма всевозможных произведений и элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца.

Единственное, за чем надо проследить, — это то, что одинаковые произведения входят в бе1 А и бе1 Ат с одинаковыми знаками. Для того чтобы выяснить, с каким знаком входит в бе1Ат произведение а„оз ... а,„, нужно расположить его сомножители по порядку номеров столбцов. Этого можно достичь, последовательно меняя местами два сомножителя. При каждой такой перемене в перестановках, образуемых номерами строк и столбцов, одновременно происходят транспозиции, так что произведение их Гл. 2.

Характеристики

Список файлов книги