1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

+ а„х" (3) определяет функцию на Л со значениями в Л, значение которой в точке с Е Л по определению равно дс) = а + а,с + азсз +... + а„с". Так как сумма и произведение многочленов, а также произведение многочлена на число приводятся к каноническому виду (3) преобразованиями, использующими только свойства операций в К[х[, справедливые и в поле .К, то мы придем к одному э Е ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОБ 93 и тому же результату, сделав подстановку х = с до илн после этих преобразований. Это означает, что (У + д)(с) = У(с) + д(с), (Уд)(с) =1(с)д(с), (Лг)(с) = ЛУ(с), т.е.

операции над многочленами приводят к таким же операциям над соответствующими функциями. Как мы показали на примере в начале параграфа, разные многочлены могут определять одну и ту же функцию. Оказывается, однако, что такое возможно, только если поле К конечно. Теорема 1. Если поле К бесконечно, то разные многочлены над К определяют разные функции. Доказательство.

Пусть многочлены Ь деК[х] определяют одну и ту же функцию. Тогда их разность Ь = Г" — д определяет нулевую функцию, т. е. Ь(с) = О для всех с Е Л . Предположим, что Ь~О, и пусть Ь=о +а,х+а,х'+... +а„,х" ' (а„, фО) Возьмем различные х„х„,, х„Е К (здесь используется бесконечность поля Л ). Совокупность верных равенств ос+а,х, + а,х,'+... +а„,х," ' =О, а +а х+ о х~+... +а„,х" ' =О, а +а,х +а х2+ +а„,х" 1=О, рассмотрим как (квадратную) систему однородных линейных уравнений относительно о, а„а„..., а„,.

Определитель матрицы коэффициентов этой системы есть определитель Вандермонда 1'(х„х„..., х„) (см. пример 2.4.5) и потому отличен от нуля. Следовательно, система имеет только нулевое решение, что противоречит нашему предположению. П ЗАмечАние 5. Даже если поле Л конечно, то множество всех многочленов над К бесконечно (но счетно). Однако множество всех функций на К со значениями в К в этом случае конечно, и поэтому обязательно должны существовать разные многочлены, определяющие одну и ту же функцию.

Тем не менее теорема 1 и ее доказательство остаются в силе для многочленов, степень которых меньше числа элементов поля К. ЗАДАЧА 1. Так называемая задача интерполяции состоит в нахождении многочлена степени ( и, принимающего в заданных (различных) точках х„хч,..., х„Е К заданные значения 94 Гк 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЪ| МНОГОЧЛЕНОБ у„у,..., у„е К. (В частности, при и = 2 зто называется линейной интерполяцией.) Доказать, что задача интерполяции имеет единственное решение при любых х„х„..., х„и у„у„..., у„. Деление одного многочлена иа другой в обычном смысле слова в алгебре К[х), как правило, невозможно.

Однако возможно так называемое деление с остатком, похожее на деление с остатком в кольце целых чисел. Теорема 2. Пусть л де К(х), причем 9~0. Тогда существуют такие многочлены д и г, что У = дд+ г и либо г = О, либо дев г < дев 9, Многочлены д и г определены этими условиями однозначно. Нахождение таких многочленов д и г и называется делением с остатком многочлена Г" на д. При этом д называется неполным частным, а г — остатком от деления У на д. Многочлен у делится па д в алгебре К(х] тогда н только тогда, когда г =О. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Докажем возможность деления с остатком.

Если ден~ < бенд, то можно взять д = О„г = Г. Если бей'~ > ден д, то д и г находятся обычной процедурой «деления уголком». А именно, пусть ,г =сЪх" + а,х" '+...+а„,х+а„, д=Ьох + Ь,х '+...+ Ь,х+ Ь где ао, Ь ~О. Рассмотрим многочлен Г' =у — -«х" д. ! Его степень меньше, чем степень многочлена Г". Если г(еи Г, < деа д, то мы можем взять д= — ох", т= Г,.

В противном случае поступаем с многочленом Г", так же, как с У. В конце концов мы получим такой многочлен д = сох" + с, х" ' +... + с„ что бей(~ — дд) < деа д. Это и будет неполное частное от деления г" на д, а многочлен г = ~ — дд будет остатком. 2) Докажем, что многочлены д и т определены условиями теоремы однозначно. Пусть г = д~ д + г = д~д + гм где дед ~; < г(ед д и дев г, < дед'д.

Тогда г| г» = (дз %)9 95 $ ! . ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ и, если д, ф д, то бей(т, — то) =г)еЯд, — д,)+бенд > сед д, что, очевидно, неверно. Следовательно, д, = д, и т, = т;. С) Особое значение имеет деление с остатком на линейный двучлен х — с. В этом случае остаток имеет степень с 1, т.е. является элементом поля К. Таким образом, результат деления с остатком многочлена Г" на х — с имеет внд у (х) = (х — с)д(х) + т (т е К).

Отсюда следует, что аох" + а, х" ' +... + а„, х + а„= =(х — с)(Ь,х" '+ Ь,х" о+... + Ь„рх+ Ь„,)+ т. Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, получаем цепочку равенств Ьо = Ь1 сЬо =Ь,— сЬ„ а, а„ = Ь„, — сЬ„ю = т — сЬ„ а„ откуда находим следующие рекуррентные формулы для Ьо, Ь„... ,Ь„,нт: ь, ао> =а, +сь, = со + сЬ„ = а„, + сЬ = а„+ сЬ„ у(с) = т, т.

е. остаток равен значению многочлена Г' в точке с. Это утверждение называется теоремой Безу. Деление с остатком на х — с осуществляется по замечательно простой схеме, называемой схемой Горнера. А именно, пусть Гк 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ Исходные данные и результаты вычислений удобно расположить в виде таблицы: Каждое число во второй строке этой таблицы, начиная с о,, находится как сумма числа, стоящего над ним, и числа, стоящего слева, умноженного на с. В частности, это дает очень эффективный способ вычисления значений многочлена. ПРИМЕР 1. Найдем значение многочлена ~ = 2хь — 11хз — 19хз — Ухт+ 8х+ 5 в точке х =3. По схеме Горнера получаем: Таким образом, Г(3) = 20.

9 2. Общие свойства корней многочленов Элемент с поля К называется корнем многочлена У Е К[х[ (или соответствующего алгебраического уравнения Г(х)=0), если Г"(с) =О. Из теоремы Безу (см. предыдущий параграф) следует Теорема 1, Элемент с поля К является корнем многочлена ,Г' Е К[х[ тогда и только тогда, когда Г" делится на х — с. Этим можно воспользоваться для доказательства следующей теоремы. Теорема 2.

Числа корней ненулевого многочлена не превосходит его степени. Доказательство. Пусть с, — корень многочлена У. Тогда Г = (х с~Я (Г1 Е К[х[). Пусть с — корень многочлена Л. Тогда У, = (х — ст)Уг (Х1 Е К[х[) и, значит, ,Г = (х — с,)(х — с )Л. Продолжая так дальше, мы в конце концов представим многочлен Г в виде Г'=(х — с,)(х — ст)... (х — с )д, (4) $2. ОБШне сВОЙстВА кОРней мнОГОчленОВ 97 где многочлен д е К[х[ не имеет корней. Числа с„с,..., с — это все корни многочлена У. В самом деле, для любого с е К имеем 2(с) = (с — с,)(с — сз)...

(с — с )д(с) и, так как д(с) фО, то у(с) =О, только если с = с, для некоторого Е. Таким образом, число корней многочлена 1 не превосходит гп (оно может быть меньше гп, поскольку не исключено, что среди чисел с„сз,..., с„есть одинаковые); но т=йейУ вЂ” йеид(дедУ П ЗАМЕчАННЕ 1. Эта теорема фактически уже была нами доказана другим способом в процессе доказательства теоремы 1.1. С другой стороны, из нее можно получить доказательство теоремы 1.1, не использующее теории линейных уравнений.

А именно, если различные многочлены Г' и д над бесконечным полем К определяют одну и ту же функцию, то все элементы поля К являются корнями ненулевого многочлена 6 = У вЂ” д, что противоречит только что доказанной теореме. Доказательство предыдущей теоремы наводит на мысль, что некоторые корни правильнее было бы считать несколько раз. Этому можно придать точный смысл. Корень с многочлена Г называется простым, если Г' не делится на (х — с)', и кратным в противном случае. Кратностью корня с называется наибольшее из таких к, что У делится на (х — с)".

Таким образом, простой корень — это корень кратности 1. Иногда удобно считать, что число, не являющееся корнем, — это корень кратности О. Очевидно, что с является корнем кратности й многочленаг тогда и только тогда, когда (5) Г =(х — с)" д, где д(с) ~ О. Теперь мы докажем уточнение теоремы 2.

Теорема 3. Число корней ненулевого многочлена с учетом их кратностей (т. е. если каждый корень считается столько раз, какова его кратность) не превосходит степени многочлена, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда этот многочлен разлагается на линейные множители. 9В Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОБ Доказательство. Перепишем равенство (4), объединив одинаковые множители: у =(х — с,)~(х — с2)Ч... (х — с,) д (6) (с„с,..., с, различны). Ясно, что с„с,..., с, — это все корни многочлена Г.

Далее, выделяя в (б) множитель (х — с,.)', мы можем написать Г'=(х — с,)" Ь„где Ь,(с,) эЕО. Следовательно, с, — корень кратности й, Таким образом, число корней многочлена Г" с учетом их кратностей равно й, + й, +... + й, =деЕ,Г' — бенд, откуда и вытекают все утверждения теоремы. П ЗАМЕЧАННЕ 2. Условно считается, что многочлен нулевой степени разлагается в произведение пустого множества линейных множителей. Если многочлен Г' = а х" + а, х" ' +... + а„, х + а„разлагается на линейные множители, то это разложение может быть записано в виде у = а (х — с,)(х — с )...

Характеристики

Список файлов книги