1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

= бе! А„= О, Отметим, что формулы Крамера — это далеко не лучший способ для практического решения систем линейных уравнений, за исключением, быть может, случая и = 2. Они имеют в основном теоретическое значение. В частности, они позволяют получить следующие явные формулы для элементов обратной матрицы. Теорема 2. Пусть А = (ац) — невырогкденная квадратная матрица. Тогда А„А„... А„, А- ! А!2 А22 .. А".2 зе! А А,„А,„... А„„ (Через Аи обозначается алгебраическое дополнение и элементу а„.; см. $4.) Доказательство. Матрица А ' является решением матричного уравнения Это уравнение рассыпается на и уравнений относительно столбцов Хо Хм ..., Х„матрицы Х: АХ, =Е,, (23) где Е! — !'-й столбец матрицы Е.

В координатной записи уравнение (23) представляет собой систему и линейных уравнений относительно элементов х... х,,,..., х„, столбца Х, Матрицей коэффициентов этой системы служит матрица А, а столбцом свободных членов — столбец Е, По формулам Крамера ан ... О ... а,„ а,, ... ! ... а. а„, ... О ... а А, ее!А' ! и Зе!А что и требовалось доказать. П то система (22) может быть как несовместной, так и неопреде- ленной. (Привести примеры, показывающие, что обе возможности реализуются.) $5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ПРИМЕР 1. Для невырожденной матрицы порядка 2 А=( получаем Эту простую формулу имеет смысл запомнить.

ЗАДАчл 3. Пусть А — невырожденная целочисленная (т.е. состоящая из целых чисел) квадратная матрица. Доказать, что матрица А ' является целочисленной тогда и только тогда, когда йе1А =х1. Наконец, нахождение ранга любой матрицы также может быть сведено к вычислению определителей. Теорема 3 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен наибольшему порядку ее миноров, отличных от нуля.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ранг матрицы А равен г, и пусть в ) г. Тогда любые в строк матрицы А линейно зависимы и, тем более, линейно зависимы строки любой квадратной подматрицы порядка в, представляющие собой части соответствующих строк матрицы А. Следовательно, любой минор порядка в равен нулю. Далее, рассмотрим подматрицу, образованную какими-либо г линейно независимыми строками матрицы А.

Ее ранг, очевидно, также равен г и, значит, среди ее столбцов найдется г линейно независимых. Минор порядка г, образованный этими столбцами, не равен нулю. П ЗАДАЧА 4. Доказать теорему о ранге матрицы в следующей более сильной форме: если в матрице А имеется минор порядка г, отличный от нуля, а все миноры порядка г + 1, получаемые приписыванием к нему одной строки и одного столбца (так называемые окаймляющие миноры), равны нулю, то гк А = г. ЗАДяЧА 5. Доказать, что в матрице ранга г любой минор порядка г, образуемый пересечением т линейно независимых строк с г линейно независимыми столбцами, отличен от нуля.

Зядйчя 6. Угловым минором порядка к квадратной матрицы А называется определитель подматрицы порядка к, расположенной в левом верхнем углу матрицы А. Доказать, что если все угловые миноры матрицы А отличны от нуля, то ее можно привести к треугольному виду, добавив к каждой строке линейную комбинацию предыдущих строк. Вывести отсюда, что матрица А единственным образом представляется в виде А = УВ, где У— нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали, а В— верхняя треугольная матрица. Глава 3 НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ ф 1.

Построение и основные свойства алгебры миогочленов Функция вещественной переменной х называется многочленом, если она может быть представлена в виде Г(х) = ао + а~ х + атх +... + а„х", где ао, а„а,..., а„— какие-то вещественные числа (некоторые из них или даже все могут равняться нулю).

Можно доказать, и мы это сделаем ниже в более общей ситуации, что такое представление единственно с точностью до приписывания членов с нулевыми коэффициентами, т. е. если по+ а,х+ азхз+... + а„х" = Ьо+ Ь,х+ Ь,х'+... + Ь„х" тх е К, то а = Ь„при Ь = О, 1, 2,..., п. Очевидно, что сумма и произведение многочленов, а также произведение многочлена на любое число, также являются многочленами. Это означает, что многочлены образуют подалгебру в алгебре всех функций вещественной переменной (см, пример 1.8.3).

Эта подалгебра называется алгеброй многочленов над К и обозначается ПЦх). Из предыдущего следует, что многочлены 1, х, х',... образуют базис алгебры К(х). Таблица умножения для этого базиса выглядит весьма просто: х~ х' = х~+'. Если попытаться аналогичным образом трактовать многочлены над любым полем А, то возникает трудность, состоящая в том, что формально различные многочлены могут быть тождественно равны при всех значениях переменной. Например, многочлены х и х' над полем г оба принимают значение О при х=О и 1 при х=1. В то же время хотелось бы рассматривать их как разные многочлены.

Выход состоит в формальном определении, при котором многочлен $ Е ПОСТРОЕНИЕ АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ 91 фактически отождествляется с последовательностью его коэффициентов. Рассмотрим векторное пространство К" финитных последовательностей элементов поля К (см. пример 2.2.9).

Условимся нумеровать члены последовательностей, начиная с нуля, и пусть е„ (й = О, 1, 2,...) обозначает последовательность, й-й член которой равен 1, а все остальные члены равны О. Последовательности е, е„ е,... образуют базис пространства К Превратим пространство К в алгебру, определив умножение базисных векторов по правилу еде, =е Из коммутативности и ассоциативности сложения целых чисел следует, что умножение базисных векторов, а значит, и любых элементов полученной алгебры, коммутативно и ассоциативно. Элемент ее является ее единицей. Эта алгебра называетсн илгеброй многочленов над К и обозначается К[х] (вместо х может использоваться любая другая буква).

Для того чтобы перейти к привычному представлению многочленов, условимся, во-первых, отождествлять элементы вида ае (аЕ К) алгебры К[х] с соответствующими элементами поля К и, во-вторых, элемент е, обозначим через х (здесь проявляется роль выбранной буквы х). Тогда в соответствии с определением операций в К[х] мы получаем, что е„= х' и (а, а„а,..., а„, О,...) = о е + а, е, + а е +... + а„е„= = ае+ а,х+ а,х'+... + а„х". Числа а, а„а,... называются коэффициентами многочлена.

Последний из ненулевых коэффициентов называется стариим коэффициентом, а его номер — степенью многочлена. Степень многочлена г" обозначается через дедУ'. Степень нулевого многочлена не определена, однако иногда удобно считать, что она равна -оо. Легко видеть, что дед(У+ д) < шах(ден й Йен дТ, (1) дед)д = ден,т'+ дед д. (2) Докажем, например, последнее равенство. Пусть ,Г = ае + а, х +... + а„х" (а„ф 0), д= Ьо+ Ь!х+...

+ Ь х (Ь ~0). Тогда при перемножении г" и д получается только один член степени и+ т, а именно, а„Ь„х" ", а членов большей степени не 92 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ получается вообще. Так как в поле нет делителей нуля, то а„Ь„ФО и, стало быть, дейУд = и+ т =г[ееУ+г[еед. Предыдущее рассуждение показывает, что в алгебре Х[х[ нет делителей нуля. Из него же следует, что обратимыми элементами в этой алгебре являются только многочлены нулевой степени, т. е.

ненулевые элементы поля К. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Многочлен можно обозначать |(х) или просто ]', если из контекста ясно, какой буквой обозначается «переменнаяэ. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Часто бывает удобнее располагать многочлен не по возрастающим, а по убывающим степеням х: у'=аох" +а,х" '+...+а„,х+а„. ЗАМЕЧАНИЕ 3. В качестве К можно взять любое коммутативное ассоциативное кольцо с единицей (ср. замечание 1.9.1). В этом случае все предыдущее остается без изменений, за исключением последней части, связанной с формулой (2), где нужно дополнительно потребовать, чтобы в кольце К не было делителей нуля.

Замечание 4. Произведение финитных последовательностей (ао, аы ат,...) и ((Ь, Ьы Ьэ,...) а кольце К[х] есть последовательность (с„, с„г,...), члейы которой находятся по формулам ь сь — — г а~ Ьь ~=о Эти формулы имеют смысл и для любых (не обязательно финитных) последователь. настей. Таким образом получается коммутативная ассоциативная алгебра с единицей, называемая алгеброй формальных степенных рядов над К и обозначаемая К[[хЦ. Ее элементы обычно записывают как формальные бесконечные суммы вида оп+а|хе.аэх -~-.., Алгебра К[[к]], как н К[х], не имеет делителей нуля, но доказывается это подругому (попробуйте это сделать!). Каждый многочлен у = по+ а, х + азха + .

Характеристики

Список файлов книги