1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ПРимеР б. Найдем границы вещественных корней многочлена ,Г = хз — 5хз — 10хз+ 2. Пользуясь схемой Горнера, вычислим Г(3): Мы видим, что Г(3) =20> О. Более того, все коэффициенты неполного частного оказались положительными. Поэтому все производные многочлена ~ при х = 3 также положительны (см. пример 2.3) и, значит, все его вещественные корни меньше 3. Рассмотрим теперь многочлен У(х) = — Д вЂ” х) = хз — 5х'+ 10хт — 2.
Вычислим значения многочлена 7 и его производных при х = 1: 112 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ Мы видим, что У(1)=4>0, У(1)=10>0, ~ (1)=2 5>0. Значения следующих производных также положительны, поскольку последняя строка таблицы состоит только из положительных чисел. Следовательно, все вещественные корни многочлена г" меньше 1, а это означает, что все вещественные корни многочлена Г" больше — 1. Таким образом, все вещественные корни многочлена Г лежат в интервале ( — 1, 3). ЗАДАЧА 1. Исследовав производную многочлена г", доказать, что многочлен 7 из предыдущего примера имеет только один отрицательный корень.
Обратимся теперь к вопросу о приближенном вычислении корней. Если известно, что многочлен У е К[л] имеет ровно один корень в каком-то интервале, то этот корень может быть в принципе найден с любой степенью точности с помощью вычисления значений многочлена в подходящим образом подобранных точках. Поясним это на следующем примере. ПРИМВР 7. Как мы показали (см. пример 4), многочлен Г" из примера 3 имеет ровно один корень в интервале (1,2). Найдем значение этого корня с точностью до 0,01. Мы видели, что У(1) < О. Вычисляя Г'(л) при х = 1,1; 1,2; 1,3, мы обнаруживаем, что У(1,2) < О, ~(1,3) > О. Следовательно, корень лежит в интервале (1,2;1,3).
Вычисляя 7(х) при л = 1,21; 1,22; 1,23; 1,24; 1,25, находим, что У(1,24) < О, Г(1,25) > О. Следовательно, искомый корень лежит в интервале (1,24; 1,25). Конечно, существуют гораздо более совершенные методы приближенного вычисления корней. Они применимы к алгебраическим уравнениям любой степени, а некоторые из них — и к трансцендентным уравнениям. Однако изложение этих методов выходит за рамки нашего курса: они относятся скорее к вычислительной математике, чем к алгебре. ЗАмечАние 1. Если многочлен имеет кратный корень, но его коэффициенты даны нам лишь приближенно, хотя бы и с любой $5. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ЕВКЛИДОВЫХ КОЛЪГ1АХ 113 Рис. 7, б) Рис.
7, а) степенью точности, то мы в принципе не можем доказать наличие этого кратного корня, так как при сколь угодно малом изменении коэффициентов многочлена он может либо рассыпаться на простые корни, либо вообще перестать существовать. Так, в случае двукратного корня мы никогда не сможем сделать выбор между ситуациями, изображенными на рис. 7, а), а в случае трехкратного — между ситуациями, изображенными на рис.
7, б). В б. Теория делимости в евклидовых кольцах Разложение многочленов над С на линейные множители и многочленов над )к на линейные и квадратичные множители аналогично разложению целых чисел на простые множители. Для многочленов над произвольным полем также имеется подобное разложение, но его множители могут иметь любую степень. Задачу отыскания такого разложения можно рассматривать как обобщение задачи отыскания корней многочлена (которой она равносильна в случае многочленов над С). Она не имеет общего решения, пригодного для любого поля. В этом параграфе мы докажем единственность указанного разложения.
Одновременно мы докажем единственность разложения целого числа на простые множители— факт широко известный, но не доказываемый в средней школе. Для того чтобы охватить единым рассуждением оба случая, введем некоторые общие понятия. Определепие 1. Коммутативное ассоциативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется целостным кольцом (или областью целостности). Так, кольцо о целых чисел и кольцо К[х[ многочленов над любым полем К являются целостными кольцами. Более того, кольцо многочленов над любым целостным кольцом также является целостным кольцом (см.
замечание 1.3). Пусть А — целостное кольцо. Говорят, что элемент а Е А делится на элемент Ь е А (обозначение: а:. Ь) или, иначе, что 114 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ Ь делит а (обозначение: Ь [ а), если существует такой элемент д Е А, что а= дЬ. Элементы а и Ь называются ассоциированными (обозначение: а Ь), если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: 1) Ь(аиа(6; 2) а = с6, где с — обратимый элемент. В следующем определении аксиоматизируется то общее, что есть у кольца многочленов над полем и кольца целых чисел,— возможность деления с остатком.
Определение 2. Целостное кольцо А, не являющееся полем, называется евклидовым, если существует функция Л: А ', (0) - Е (называемая нормой), удовлетворяющая следующим условиям: 1) Ф(а6) > АГ(а)„причем равенство имеет место только тогда, когда элемент 6 обратим; 2) для любых а, Ь Е А, где Ь ~ О, существуют такие д, т Е А, что а=д6+ т и либо т=0, либо АГ(т) < АГ(6). ЗАмечАние 1. Условие 2) означает возможность «деления с остатком«. Его единственности (т.е. однозначной определенности пары (д, т)) не требуется. ЗАМечАние 2. Вторая часть условия 1) на самом деле может быть выведена из остальных условий.
В самом деле, пусть элемент 6 необратим. Тогда а не делится на аЬ. Разделим а на аЬ с остатком: а = д(аЬ) + т. Так как т = а(1 — уЬ), то ЛГ(а) < Х(т) < Г«(аЬ). Основными для нас примерами евклицовых колец являются кольцо Е целых чисел и кольцо К[х) многочленов над полем К. В качестве нормы в первом случае можно взять модуль целого числа, а во втором — степень многочлена. Существуют и другие евклидовы кольца. П РимеР 1. Комплексные числа вида с = а+ 6«', где а, 6 е Е, называются целыми гауссовыми числами. Они образуют подкольцо в С, обозначаемое через Е[(1. Кольцо Е[«] является евклидовым относительно нормы йГ(с) = [с [э = «т«+ Ьз.
$5. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В ЕВКЛИДОВЫХ КОЛЬЦАХ 115 В самом деле, очевидно, что 1т'(сд) = Лг(с)Ф(д) и, поскольку Ф(1) = 1, обратимые элементы кольца Е1т'] — это элементы с нормой 1, т.е. ~1 и ~ь. Отсюда следует, что выполнено условие 1) в определении евклидова кольца. Докажем возможность деления с остатком. Пусть с, д е Уи, Ы ~0. Рассмо- — 1 ! трим целое гауссово число д, ближайшее к ~~. Легко видеть, что ~ — ' — д~ < 1/т/2 (см.
рис, 8). Положим т = с — дд. Тогда с =од+ т и Р . З !У Д! ~ ~ ~2 Определение 3. Наибольшим общим делителем элементов а и 6 целостного кольца называется их общий делитель, делящийся на все их общие делители. Он обозначается через (а, 6) или НОД (а, 6). Наибольший общий делитель, если он существует, определен однозначно с точностью до ассоциированности. Однако его может не существовать. Например, элементы аь и хь в кольце многочлеиов без линейного члена не имеют наибольшего общего делителя, Теорема 1. В евклидовом кольце для любых элементов а, Ь существует наибольший общий делитель д, и он может быть представлен в виде д = аи+ Ьо, где и, о — какие-то элементь! кольца.
Доказательство. Если Ь =О, то д =а=а 1+6.0. Если а делится на 6, то д = Ь= а О+ 6 1. В противном случае разделим с остатком а на 6, затем 6 на полученный остаток, затем первый остаток на второй остаток и т. д. Так как нормы остатков убывают, то в конце концов деление произойдет без остатка. Получим цепочку равенств: а=у,Ь+ по 6 =дзг1+ гт г, = дзг~+ г„ т„т=д„г„, +г„, г„, =д„„г„. Докажем, что последний ненулевой остаток г„и есть наибольший общий делитель элементов а и 6. 116 Гл. 3.
НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ Двигаясь по выписанной цепочке равенств снизу вверх, получаем последовательно т„ ! т„ т„ ] т„ т„] т„т„] Ь, т„] а. Таким образом, т„— общий делитель элементов а и 6. Двигаясь по той же цепочке равенств сверху вниз, получаем последовательно т, = аи, + Ьио тз = аит + Ьию ,+Ь„ т„= аи„+ Ьи„, где и,, и,. (1 =1,..., и) — какие-то элементы кольца (например, и, = = 1, и, = — д,). Таким образом, т„можно представить в виде аи+ Ьи. Отсюда, в свою очередь, следует, что т„делится на любой общий делитель элементов а и Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
