1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Пусть м= —, где и, ее Е, (и, е) =1. Докажем, что ь=х1, откуда будет следовать утверждение теоремы. Если это не так, то пусть р — какой-нибудь простой делитель числа т В равенстве ЧГ' = ид, Ь, сделаем редукцию по модулю р. Мы получим 0[и]р[у|)р[Ь1)р Однако [и], фО, так как и и о по предположению взаимно просты. $6.

МНОГОЧЛЕНЫ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 121 В то же время [д,], ~0 и [Ь,], ~0, так как д, и Ь, — примитивные многочлены и, следовательно, все их коэффициенты не могут делиться на р. Это противоречит отсутствию делителей нуля в кольце Е,[х]. П Следствие. Если многочлгн у' Е Е[х] допускает разложение в произведение двух многочленов положительной степени в кольце Я[х], то он допускает такое разложение и в кольце Е[х].

Это существенно облегчает доказательство неприводимости многочленов над Я. Пример 2. Пусть р — простое число. Докажем неприводимость над Я «многочлена деления круга на р частей» У=* -'+* -'+...+х+1= е» вЂ” ! е — ! (Комплексными корнями этого многочлена являются все нетривиальные корни р-й степени из 1, которые вместе с 1 делят окружность [г] = 1 на р равных частей.) Как следует из формулы бинома Ньютона (см.

5 1.6), в кольце Е,[х] имеет место равенство х — 1 = (х — 1)», так что У] =(х — ')' ' Если Г'= дЬ, где д, Ь е Е[х] — многочлены положительной степени, то Щ, = [д] [Ь] и, значит, [д], = (х — 1)", [Ь],=(х — 1)' (Ь,1)0, й+1=р — 1). Следовательно, [д(1)], = [д],(1) = О, [Ь(1)], = [Ь],(1) = О, г" = уй. Тогда степень одного из ннх, скажем, р, не превосходит го = [2~. т.е. д(1) и Ь(1) делятся на р. Но тогда У(1) = д(1)Ь(1) делится на р', что не соответствует действительности, ибо Х(1) = р.

Имеется способ, принадлежащий Кронекеру, который з принципе позволяет для любого многочлена с целыми козффициентами определить, приводим он или неприаодим над О, Он основывается на следующих соображениях. Пусть г' е л(е] — многочлен степени и, не имеющий целых корней. Предположим, что он разлагается з Х]х] з произаедение двух многочленоа положительной степени: 122 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ Будем придавать переменной в различные целые значения то, во..., к . Из равенств у(к,) = д(в«)Ь(х;) следует, что д(х«) ! У(х«) при а = О, 1,..., пт. Многочлен д однозначно определяется своими значениями в точках то, я«,..., к .

Выбирая всевозможные наборы делителей го, «(«,..., «( целых чисел у(то), у(ег),..., т(в ) н находя для каждого из ник интерполяционный многочлен степени < гл, принимаюший а точках ко, в«,..., х значения го, «(и..., д~, можно найти всех кандидатов на роль д (их будет конечное число). Те из ник, которые имеют дробные коэффициенты, следует сразу отбросить. Испытав оставшиеся многочлены, можно определить, имеются лн среди ник делители многочлена т", в зависимости от чего и будет решен вопрос о приводимости последнего. р 7.

Многочлены от нескольких переменных Функция вещественных переменных х„х,..., х„называется жногочлгном, если она может быть представлена в виде у(хю ха«..., х„)= ~; а, ь х«~х~~... хь, (10) где суммирование происходит по конечному числу наборов (й„)гт,..., к„) неотрицательных целых чисел. (Формально можно считать, что суммирование происходит по всем таким наборам, но лишь конечное число коэффициентов а „ отлично от нуля.) Многочлены образуют подалгебру в алгебре всех функций от х„х„..., х„. Она называется алгеброй многочленов от х„х,..., х„ над К и обозначается К(хю хз,...,х„].

Можно показать (см. теорему 1 ниже), что представление многочлена над К в виде (10) однозначно, т.е. коэффициенты многочлена определяются его значениями. Прн определении алгебры многочленов от ть переменных над любым полем 7Г возникает такая же трудность, как и в случае одной переменной. Это приводит к необходимости формального определения, которое может быть дано, например, следующим образом. Рассмотрим бесконечномерную алгебру над 7Г с базисом (еАЧ ь .

')с„кз,..., (с„~ Е+) и таблицей умножения за ...ь„(г ...А д «!,,ь««-«, ...ь„+А' Очевидно, что эта алгебра коммутативна и ассоциативна и что элемент г ю является ее единицей. Она называется алгеброй многочленов над Х и обозначается через К(х„хз,..., х„]. $7. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЪ|Х 123 УсловимсЯ отожДествлать элементы виДа ае а (аЕ К) с соответствующими элементами поля й и введем обозначения ею з =хо ео! о=х2, Тогда е, „=х, хз ...х„" к ь, й и любой элемент а ~ „е„~ Е71(х„хт,...,х„) ь,ь,...,с„ записывается в обычном виде (10).

Многочлен (1О) называется однородным степени Й, если а„„= 0 при й, + йт +... + й„-„6 Й. Однородные многочлены заданной степени Й образуют конечно- мерное подпространство, так как имеется лишь конечное число наборов (й„н2, ..., й„) целых неотрицательных чисел, удовлетворяющих условию й, + й, +... + й„= Й. Злддчл 1. Доказать, что размерность пространства однородных многочленов степени Й от и переменных равна сс.' = и~ — "1 — "-~-"-'- — 'х в| (число сочетаний с повторениями из и по Й). Любой многочлен однозначно представляется в виде суммы однородных многочленов степеней О, 1, 2,..., называемых его однородными компонентами. (Лишь конечное число из них отлично от нуля.) Степенью (по совокупности переменных) ненулевого многочлена называется максимальная из степеней его ненулевых членов или, что то же самое, максимальная из степеней его ненулевых однородных компонент. Степень многочлена 7 обозначается через Йеа 7".

Справедливы следующие соотношения: Йеи((+ д) <» Йей~+Йеид, (11) ЙеиЦд) = Йеи7" +Йея'д. (12) Первое из них очевидно, второе мы докажем чуть позже. 124 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ С другой стороны, каждый многочлен У е К!х„хз,..., х„] однозначно представляется в виде Г" (х„ха,..., х„) = 2; Уа(хт,..., х„) хь, ь=о (!3) где Д, Д„Д„... — какие-то многочлены от х„..., х„, лишь конечное число которых отлично от нуля. Наибольший из номеров многочленов уь, отличных от нуля, называется степенью многочлена у по х, н обозначается через с[ен. У. Пользуясь представлением (!3), можно рассматривать кольцо К]х„ х, ...,х„] как кольцо многочленов от х, с коэффициентами из К]х,..., х„]: К[хо хз,..., х„] = К]х„..., х„Цх,]. (14) ,Г = Д+ у, +... + У, (г[енУ, = [с, У„~ О), д=д +д, +...+д, (бенд,=й, д,~О).

Ясно, что при их перемножении не появится членов степени > д+е, а сумма всех членов степени г!+е будет равна У„д,. По доказанному ,Укд, ф О. Следовательно, ден уд = г( + е = с]ей ~ + бей д. Как и в случае п =1, всякий многочлен от и переменных над полем Х определяет функцию на К" со значениями в К. Теорема 1. Если поле К бесконечно, то разньге многочлены от и переменных над К определяют разные функции. Злмзчлниз !. Мы говорим о кольцах, а ие об алгебрах, так как К[х„х,... ..., х„] по определению есть алгебре иад К, в то время как К[ха,..., х„][х~] есть алгебра иад К[ха,..., х„]. Однако если рассматривать К[ха,..., хь][х, ] как алгебру иад Ь (пользуясь тем, что К[ха,..., х,] и К), то можно говорить о рааеистве алгебр. Предложение 1.

Алгебра К[х„хз,..., х„] не имеет делителей нуля. Доказательство. В $1 было фактически доказано (см. замечание 1.3), что кольцо многочленов от одной переменной над целостным кольцом также является целостным кольцом (в частности, не имеет делителей нуля). Поэтому равенство (14) позволяет доказать наше утверждение индуктивным путем, начиная с поля К'. П Теперь мы в состоянии доказать соотношение (12). Разложим многочлены У и д на однородные компоненты: $7.

МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЪКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 125 Доказательство. Как и в случае многочленов от одной переменной (см. доказательство теоремы 1.1), достаточно доказать, что ненулевой многочлен определяет ненулевую функцию. Докажем это индукцией по и. При п = 1 это составляет содержание теоремы 1.1. Предположим теперь, что многочлен 7' Е К[х„х,..., х„] (и > 1) определяет нулевую функцию. Представим его в виде (13) и придадим какие-то значения переменным х,..., х„. Мы получим многочлен от одной переменной х, с коэффициентами из К, обращающийся в нуль при любом значении х,.

По теореме 1.1 все его коэффициенты равны нулю. Таким образом, каждый из многочленов 7» е К[х„..., х„] обращается в нуль при любых значениях х„..., х„, т.е. определяет нулевую функцию. По предположению индукции отсюда следует, что 7", = О при любом 1«; но тогда и 7' = О. С) ЗАМЕЧАННЕ 2. Если поле К конечно, то теорема н ее доказательство тем не менее остаются в силе для многочленов, степень которых по каждому из переменных меньше числа элементов поля К (см.

замечание 1.5). ЗАДАЧА 2. Доказать, что если поле К содержит д элементов, то функции, определяемые одночленами х, ... х„с к„..., 7«„< д, К составляют базис в пространстве всех функций на К" со значениями в К. При п > 1 члены многочлена от п переменных нельзя, вообще говоря, однозначно упорядочить по их степеням, поскольку может быть несколько членов одинаковой степени. Между тем какоето упорядочение иногда бывает полезно. В этих случаях обычно используют лексикографическое (т.е.

подобное упорядочению слов в словаре) упорядочение, при котором вначале сравниваются показатели при х,, затем, если они равны, показатели при х и т. д. Если одночлен и лексикографически старше одночлена о, то мы будем писать и ~- о. Согласно определению, это означает, что первая из переменных, которая входит в и и о с разными показателями, входит в и с ббльшим показателем, чем в о. Предложение 2.

Характеристики

Список файлов книги