1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Предложение 2. Всякая рациональная дробь единственным образом разлагается в сумму многочлена и правильной дроби. Доказательство. Пусть | дЕК[х], дФО. Разделим Г на д с остатком в кольце Л [х]: 144 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЪ| МНОГОЧЛЕНОБ — какое-нибудь другое разложение дроби — в сумму многочлена У д и правильной дроби. Тогда г д д = ! д д~ и мы приходим к противоречию, так как ненулевой многочлен не может равняться правильной дроби. П Многочлен д из равенства (35) называется целой частью дроби †. д Предложение 3. Всякая правильная рациональная дробь вида д| дд дз где д„д„..., д, попарно взаимно просты, разлагается в сумму правильных дробей со знаменателями д,, д, ., д,.
До ка з а т ель ст во. Докажем это утверждение индукцией по в. При в = 2, согласно теореме 5.1, су|цествуют такие многочлеиы и, и и,, что д,и, + д,и = Г'. Разделив это равенство на д, получим — ь + д д| дз Так как дробь — правильная, то сумма целых частей дробей — и ьз и| д д| — ' должна быть равна нулю. Выделив их, мы получим разложение д2 у дроби — в сумму правильных дробей со знаменателями д, и д,. При в >2 заметим, что многочлены д, и д,...д, взаимно просты, и по доказанному дробь — разлагается в сумму правильных дробей со ' у д знаменателями д, и д,... д,. В свою очередь, вторая из этих дробей по предположению индукции разлагается в сумму правильных дробей со знаменателями д,..., д, П ЗАДАЧА 2.
Доказать, что разложение, о котором идет речь в предложении 3, единственно. Изложим теперь теорию, используемую в математическом анализе при интегрировании рациональных функций. Ояределеяяе 1. Рациональная дробь — над полем К назы- У д вается простейшей, если д = р", где р е К(х) — неприводимый многочлен, и дед У (дерр. В частности, всякая дробь вида (а, с Е К) (е — с) $10. ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 145 является простейшей. В случае К = С дробями такого вида исчерпываются все простейшие дроби. В случае К = К имеются еще простейшие дроби вида (а, Ь,р,дЕК), (х -Ьрх ЕЯ) где рг — 4д < О.
Теорема 1. Всякая правильная рациональная дробь с разлагается в сумму простейших дробей. Более точно, если д = р<"<Р<ь'... р," — разложение многочлена д на неприводимые множители, то дробь с разлагается в сумму простейших в дробей со знаменателями ц а ь Р<< Р« ' ' '< Р< < Ра< Р« ' ' '< Р2 < ' ' '< ЫЫ ' '< Р< Доказательство. Ввиду предложения 3 дробь с разлагается в сумму правильных дробей со знаменателями р,', р,,..., р, . Поэтому нам достаточно доказать теорему в случае, когда д = р", где р — неприводимый многочлен.
В этом случае, разделив г' на р с остатком, мы получим — = -хз — + —, бей г ( бедр. у ь= -< ь! Второе из слагаемых является простейшей дробью, а первое является правильной дробью как разность правильных дробей. Продолжая эту процедуру, мы в конце концов разложим дробь †„ в сумму У простейших дробей со знаменателями р, р',..., р'. ь) Р ЗАмечАниЕ 1. В силу задачи 2 разложение, о котором идет речь в теореме, единственно. П Ример 1. Предположим, что д = (х — с,)(х — с )...
(х — с„), где с„с~,..., с„различны. Тогда — = — + а< аэ а„ +...+ —" 9 х с< х сз х с„' где а„а,..., а„Е К. Для нахождения а< умножим обе части предыдущего равенства на д и положим х = с< Мы получим тогда у(с<) = а,(с< — с,)... (с, — с,,)(с< — с,)... (с< — с„) = а<д'(с<), откуда У(с<) у (с<) 146 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ Итак у ~( (Эб) У, З (с,)(х — с,) (при условии, что беи ~ < !(еу д). Интересно отметить, что, умножив обе части этого равенства на д, мы получим интерполяционную формулу Лагранжа (х — с!)... (х — с, !)(х — с,. !)...
(х — с„) '(с,. — с!)... (с, — с, !)(с,, — с,, !) ..(с — с„)' задающую многочлен у степени < и, принимающий в точках с„с,..., с„значения Ь„Ь,..., Ь„. ЗАДАЧА 3. Доказать равенство -! х" — 1 й~ х — е;' 1=0 где г, г„ ..., г„ , — комплексные корни и-й степени из единицы. ЗАДАЧА 4.
Разложить в сумму простейших дробей над полем Е (р простое) дробь— 1 ПРИМЕР 2. Метод неопределенных козффициентов, использованный в предыдущем примере, разумно применять и в более общей ситуации. Разложим, например, в сумму простейших дробей над К рациональную дробь Таким образом, (х+ 1)(хз + 1) 1 х — 1 х+1 4(х+ !) 4( '+ И Е(*'+ !)' 2+ !)2' Имеем, согласно теореме 1, х а Ьх+с сх-~-е (. ! !)( 2 ! !)2 х+1 2 ! ! (х2 ! !)2' где а, Ь, с, а', е — какие-то вещественные числа. Для их нахождения умножим предыдушее равенство на (х+ 1)(х'+ 1)з: х = а(х'+ 1)з + (Ьх + с)(х + 1)(х~+ 1) + (е(х + е)(х + 1). Положив в атом равенстве последовательно х = — 1 и х = 4, получим — 1 =4а, 4 = (а(+ е)(4+ 1) = (е — е()+ (с( + е)(, откуда 1 1 4' 2' Далее, сравнив свободные члены и коэффициенты при х', получим О = а+ с+ е, О = а+ Ь, откуда 1 Ь = 41 Глава 4 НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП ф 1. Определение и примеры В первой главе читатель познакомился с понятием абелевой группы.
Абелевыми группами являются, в частности, аддитивная группа любого кольца, мультипликативная группа любого поля и аддитивная группа любого векторного пространства. Важнейшие примеры неабелевых групп появляются как группы преобразований. Назовем преобразованием множества Х всякое его отображение в себя. Определение 1. Группой преобразований множества Х называется всякая совокупность С его биективных преобразований, удовлетворяющая следующим условиям; 1)если р,рбС,то рФеС; 2)еслиуЕС,то р 'ЕС; 3) !о е С. (Здесь ~р~ обозначает произведение (композицию) преобразований р и Ф, а !о — тождественное преобразование.) П рнл1Ен 1. Совокупность Я(Х) всех биективных преобразований множества Х является группой преобразований. Если множество Х бесконечно, эта группа слишком велика, чтобы быть интересной.
Если Х конечно, то можно считать, что Х = (1, 2,..., п); в этом случае группа Я(Х) называется группой подстановок или симметрической группой степени и и обозначается через Я„. Подстановка и е Я„может быть записана в виде таблицы в первой строке которой выписаны в каком-то порядке числа 1, 2,..., и, а во второй строке — их образы, т.е. д'„= а(1,). Фиксируя расположение чисел в первой строке (например, располагая 148 Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП их в порядке возрастания), мы видим, что число подстановок равно числу перестановок (см. $2.4), т.е. тз!. При этом каждая подстановка может быть записана тз)способами.
Приведем пример на умножение подстановок: 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3 4 3 2 1 2 1 4 3 (Здесь мы сначала для удобства переписали первую подстановку таким образом, чтобы первая строка в ее записи совпала со второй строкой в записи второй подстановки.) ПримЕР 2. Движения евклидовой плоскости Ет (соответственно евклидова пространства Е') образуют группу преобразований, обозначаемую через !зогп Е' (соответственно !зогп Е'). Это свойство является аксиомой в той версии аксиоматики евклидовой геометрии, в которой понятие движения является одним из неопределяемых понятий. В другой версии, берущей за основу понятие расстояния между точками, движение определяется как преобразование, сохраняющее расстояния, а сформулированное выше свойство является очевидной теоремой. ЗАМЕЧАНИЕ 1.
В предыдущих главах мы обозначали через Е' (соответственно Е') множество векторов евклидовой плоскости (соответственно пространства). Здесь же символ Е' (соответственно Ез) использован для обозначения самой евклидовой плоскости (соответственно пространства). Впрочем, если в плоскости (соответственно в пространстве) фиксирована некоторая точка о (которую мы будем в дальнейшем называть началом олтсчеша), то можно договориться отождествлять точки с их радиусами-векторами относительно точки о.
Это соглашение часто будет подразумеваться в дальнейшем. ЗАмечАние 2. В той версии аксиоматики евклидовой геометрии, которая берет за основу понятие движения, утверждение о том, что всякое биективное преобразование, сохраняющее расстояния, является движением, является (несложной) теоремой. П РИмер 3. Ввиду свойств линейных отображений, доказанных в $2.3, биективные линейные преобразования векторного пространства Ъ' образуют группу преобразований. Она называется полной линейной группой пространства Ъ' и обозначается через 01.(Тг).
ПРИМЕР 4. Назовем параллельным переносом векторного пространства $г на вектор а Е 1г преобразование с,: х~-+ х+ а. 149 $ Е ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ Легко видеть, что ~а -а1 Ге' (1) ~а~Ь ~ааЬ~ Эти формулы показывают, что совокупность Тгап Ъ' всех параллельных переносов пространства У является группой преобразований.
ЗАЛАЧА 1. Доказать, что совокупность всех возрастающих непрерывных функций на отрезке [О, Ц, удовлетворяющих условиям 1'(О) = О, г'(!) = 1, является группой преобразований отрезка [О, 1]. Анализируя свойства операции умножения в группах преобразований, мы приходим к следующему понятию группы, которое отличается от понятия абелевой группы отсутствием требования коммутативностн. Олределенне 2. Группой называется множество С с операцией умножения, обладающей следующими свойствами: 1) (аЬ)с = а(Ьс) для любых а, Ь, с е С (ассоциативность); 2) существует такой элемент е ~ С (единица), что ае = еа = = а для любого ае С; 3) для всякого элемента ае С существует такой элемент а ' Е С (обратный элемент), что аа ' = а 'а = е.
Группа называется абелевой или коммутативной, если аЬ=Ьа т'а, ЬЕ С. Данное определение группы использует мультипликативную терминологию. Аддитивная терминология обычно используется только для абелевых групп (хотя в принципе операция в группе может называться и обозначаться как угодно). Аналогично тому, как это было сделано для абелевых групп, доказывается единственность единицы и обратного элемента в любой группе. Что касается деления, то в неабелевой группе следует различать левое и правое деления. А именно, для любых а, Ь е С уравнение ал = Ь имеет единственное решение, равное а 'Ь, а уравнение ха= Ь имеет единственное решение, равное Ьа '.
В любой группе (аЬ) '=Ь 'а '. В самом деле, (аЬ)(Ь 'а ') = а(ЬЬ ')а ' = аа ' = е. Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП Всякая группа преобразований является группой относительно операции умножения преобразований. Действительно, ассоциативность этой операции известна, единицей служит тождественное преобразование, а обратным элементом — обратное преобразование. П Рим еР 5. Невырожденные квадратные матрицы порядка и над полем К образуют группу по умножению, обозначаемую б1„(К), Поскольку имеется взаимно однозначное соответствие между квадратными матрицами порядка и и линейными преобразованиями пространства К", причем невырожденным матрицам отвечают обратимые линейные преобразования, а умножению матриц соответствует умножение линейных преобразований, группа б1„(К) изоморфна группе 6(.(К") (и, тем самым, — группе ~ль(Т'), где T — любое и-мерное векторное пространство над полем К).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
