1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(11) Классы этой эквивалентности называются правыми смежными классами группы С по подгруппе Н. Они имеют вид Нд = (Ьд: А Е Н). Заметим, что инверсия д ~ д ' устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами левых и правых смежных классов. А именно, (дН)-' = Нд-'. 1бб Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП ПРИА4ЕР 1. Смежные классы аддитивной группы С по подгруппе И изображаются на комплексной плоскости прямыми, параллельными вещественной оси (рис. 4, а).
ПРИАтеР 2. Смежные классы мультипликативной группы С* по подгруппе К" положительных чисел — зто лучи, исходящие из начала координат (рис. 4, б). Рис. 4, в) Рис. 4, б) Рис. 4, а) ПРимеР 3. Смежные классы группы С' по подгруппе 7 = (з Е С: (з! = 1) — это окружности с центром в начале координат (рис. 4, в). ПРИМЕР 4. В случае С = Ж„(К), Н = Я.„(К) (см. пример 1.12) условие (10), равно каки (11), означает, что Йе1 д, =бе1о .
Поэтому левые смежные классы в данном случае совпадают с правыми (хотя группа 61.„(К) не абелева); каждый из них представляет собой совокупность всех матриц с определителем, равным какому-либо фиксированному числу. П РимЕР 5. В группе св = Я„рассмотрим подгруппу Н, состоящую из подстановок, оставляющих на месте число и. Подстановки сг„<т, е Я„принадлежат одному левому смежному классу по Н, если сг, 'о (и) = и, т.е. если о,(п) = о (и).
Следовательно, имеется и левых смежных классов ЄЄ..., Р„, где Р„= ~гт Е 8„: о'(тс) = Ц. В то же время подстановки сг„о Е Я„принадлежат одному правому смежному классу, если сг,а, '(и) = и, т.е. если сг, '(и) = ~тз '(а). $5. РАЗБИЕНИЕ НА СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ 169 Следовательно, имеется и правых смежных классов ф, ф,..., »е„, где Я» = (о е Я„: о(к) = и). Мы видим, что правые смежные классы отличны от левых (за исключением Я„= Р„= Н).
Множество левых смежных классов группы С по подгруппе Н обозначается через С/Н, Число смежных классов группы С по Н (левых или правых, безразлично), если оно конечно, называется индексом подгруппы Н н обозначается через ~С: Н~. Теорема 1 (теорема Лагранжа). Если С вЂ” конечная группа и Н вЂ” любая ее подгруппа, то )С! = )С: ННН) Доказательство. Все смежные классы дН содержат одно н то же число элементов, равное ~Н!. Поскольку онн образуют разбиение группы С (как классы эквивалентности), порядок группы С равен произведению нх числа на ~Н~.
П Следствие 1. Лорядок любой подгруппы конечной группы делит порядок группы. Мы уже видели это в случае циклических групп (теорема 3.2). Следствие2. Порядок любого элемента конечной группы делит порядок группы. Доказательство. Это вытекает из следствия 1 и того, что порядок элемента равен порядку порождаемой им циклической подгруппы. П Следствие 3. Всякая конечная группа простого порядка является циклической. Доказательство. В силу следствия 1 такая группа должна совпадать с циклической подгруппой, порожденной любым элементом, отличным от единицы. П Следствие 4. Если ~С~ = и, то д" = е для любого д е С.
Доказательство. Пусть огбд = тп. В силу следствия 2 имеем гп ~ и. Значит, д" = е. П ПРИМЕР 6. Если р — простое число, то мультипликативная группа Е'„поля Е„есть (абелева) группа порядка р — 1. Следовательно, д» ' = 1 для любого элемента д е 2'. Это означает, что аг ' =1(»падр) 170 Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП для любого целого числа а, не делящегося на р. Последнее утверждение есть так называемая малая теорема Ферма.
(Другой способ ее доказательства см. в задаче 1.6.2.) Для любого и порядок группы Ж*. обратимых элементов кольца л.„, равный количеству чисел в ряде 1,2,..., и, взаимно простых с п (см. задачу 1.6.1), обозначается через х(п). Функция р, определенная таким образом на множестве натуральных чисел, называется функцией Эйлера. Применение следствия 4 к группе Е"„ дает ажю = 1 (гпоб и) для любого целого числа а, взаимно простого с и, Это обобщение малой теоремы Ферма называется теоремой Эйлера. Например, легко видеть, что ~р(125) = 125 — 25 = 100. Отсюда следует, что 2'в: — 1 (щи 125) — результат, полученный нами в примере 1.6.7 прямым вычислением. Разбиение на смежные классы естественно возникает при изучении групп преобразований.
Пусть С вЂ” группа преобразований множества Х. Будем говорить, что точки х, у е Х эквивалентны относительяо С, и писать х - у, если существует такой элемент д е С, что у = дх. Это частный случай эквивалентности фигур, определенной в у 2, и, следовательно, — отношение эквивалентности. Класс эквивалентности точки х е Х называется ее орбитой. Иначе говоря, орбита точки х есть множество Сх=(дх: дЕ С). В частности, транзитивные группы преобразований (см.
определение 2.1) — это группы преобразований, имеющие единственную орбиту. Подгруппа С =(де С: дх=х) называется стабилизатором точки х. ПРимнР 7. Группа движений евклидовой плоскости транзитивна. Стабилизатором начала отсчета является ортогональная группа О (см. пример 1.10). ПРИмнР 8. Орбиты группы Оз суть окружности с центром в начале отсчета о и сама точка о. Стабилизатор точки р э4 о состоит из тождественного преобразования и отражения относительно прямой ор, а стабилизатор точки о — это вся группа Ох ПРимнР 9.
Группа Я„ транзитивна на множестве (1, 2,...,п). Стабилизатор числа п есть подгруппа Н Я„ и рассмотренная в примере 5. 171 $5, РАЗБИЕНИЕ НА СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ Следующая теорема является обобщением (первой части) примера 5. Теорема 2. Имеется взаимно однозначное соответствие между орбитой Сх и множеством смежных классов С/С„при котором точке у=дхЕ Сх соответствует смежный класс дС,. До к а за тел ьст в о. При д„д е С имеем д, =д,(шод С„) 4=Ф д, 'д, е С, 4=ь д, 'д,х = х ч=ь д,х = д,х. Таким образом, элементы одного смежного класса группы С по С.
характеризуются тем, что они переводят точку х в одну и ту же точку. Более точно, все элементы смежного класса дС., и только они, переводят точку х в точку у = дх. Тем самым и установлено искомое соответствие. П Число элементов орбиты Сх, если оно конечно, называется ее длиной н обозначается через |Сх1 Следствие.
Если С вЂ” конечная группа, то (12) !С~ = |Сх||С,!. Из этой формулы следует, что порядки стабилизаторов всех точек орбиты одинаковы. На самом деле имеется точная связь между стабилизаторами точек одной орбиты, не зависящая от конечности группы С. Мы сформулируем ее в виде задачи. ЗАДАЧА 1.
Доказать, что ПРимеР 10. Пусть К с Е' — куб. Рассмотрим группу его симметрии С =БушК =(р е1зошЕз: <р(К) =К). Очевидно, что это конечная группа. Более того, симметрия куба полностью определяется тем, как она переставляет его вершины. Поэтому мы можем рассматривать группу С как группу преобразований множества У вершин куба К. Ввиду того что куб является правильным многогранником, любую вершину куба можно перевести в любую другую с помощью преобразования нз группы С.
Иначе говоря, группа С транзитивна на множестве У. Следовательно, |С! =8|С„~, где и — какая-либо вершина. Аналогичным образом, рассматривая 172 Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП группу С„как группу преобразований множества ребер, выходящих из и, можно показать, что 1С„~ =31Сч,~, где С„, — стабилизатор в группе С„ какого-либо ребра е, выходящего из и. Группа С„, состоит из тождественного преобразования и отражения относительно плоскости, проходящей через центр куба и ребро е (см. рис.
5). Таким образом, (3угп К! =8 3 2=48. ЗАДАЧА 2. Получить тот же ре- зультат еще двумя способами, рассмотрев группу ВугпК как группу преобразований множества граней и множества ребер куба соответственно. Аналогичным образом можно найти порядки групп симметрии других правильных многогранников (см. рис. 8). (По поводу определения правильных многогранников см.
$?.3.) 1У3 4 5. РАЗБИЕНИЕ НА СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ ПРимеР 11. Пусть С вЂ” группа преобразований алгебры многочленов К(х„х„х„х,], состоящая из всевозможных перестановок переменных х„х„х, х,. Группа С изоморфна о„и, следовательно, !С] = 4! = 24. Рассмотрим многочлеи У = х, х, + х хз. Перестановками переменных из него можно получить 3 многочлена х х + х х, х х + х х„, х х + хтха. Это означает, что ]СГ] = 3. По формуле (12) находим ]С ) = — = — =8. ~Я~ 24 т щ 3 Заметим, что, если отождествить группу С с группой Я„то С будет не чем иным, как подгруппой, обозначенной в примере 1.8 через Зуш У.
Отношение сравнимостн по модулю и в аддитивной группе целых чисел согласовано с операцией сложения, что позволяет определить операцию сложения в фактормножестве. Аналогичным образом можно определить операцию в множестве смежных классов группы по подгруппе и в других случаях, но не всегда. Определение 1. Подгруппа Н группы С называется нормальной, если (13) дН=Нд ЧдЕС или, что эквивалентно, (14) дНд-' =Н ЧдЕ С. В этом случае пишут Н з С (или С !> Н). Для того чтобы подгруппа Н была нормальной, достаточно (но не необходимо), чтобы каждый элемент группы С был перестановочен с каждым элементом из Н. В частности, в абелевой группе любая подгруппа нормальна.
Теорема 3. Отношение сравнимости по модулю подгруппы Н согласовано с операцией умножения в группе С тогда и только тогда, когда подгруппа Н нормальна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласованность отношения сравнимости по модулю Н с операцией умножения означает следующее: д1 =д,'(шодН), уз =д2(шодН) =ь д,д =д,'дэ(шобН) или, что эквивалентно, для любых д„д е С и Ь„йз Е Н (д, Ь,)(д Ь ) вз д,д (шоб Н). 1?4 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
