1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Показать, что линейные функции ко, к„..., з„, определяемые равенствами г(у) = у и)( ) где х Е Х, составляют базис пространства У", и найти сопряженный базис пространства У. Показать, что формула (3) в этом случае превращается в формулу Тейлора. Замечание !. Теорема ! неверна для бесконечномерных пространств. Если пространство 1г бесконечномерно, то пространство гг* и, тем более, гг"* имеют большую размерность. Например, пусть )г = К"' — пространство финитных последовательностей (см, пример 2.2.9). Это пространство счетномерно. Линейные функции на нем имеют вид о (х, хх,...) = аг х~ г- азха +... (ввиду финитности последовательности (хг, хз,...) сумма фактически конечна).
Здесь ог, ах,... могут быть произвольными злементамн поля К. Поэтому пространство )г' изоморфно пространству в с е х последовательностей, которое, как можно показать (попробуйте зто сделать!), несчетномерно. Имеется естественное взаимно однозначное соответствие между подпространствами пространств У и У*, при котором каждому )с-мерному подпространству пространства У соответствует (и — )с)-мерное подпространство пространства У' (где и = йгп У).
Определение 3. Аннуляторои подпространства сг" с У называется подпространство его=(сх Е У': ст(х)=0 !Ухб су). Теорема 2. йпт сг о = йгп У вЂ” йт (г . Доказательство. Пусть (е„...,е„) — такой базис пространства У, что (г = (е„..., е,), и (з„..., е„) — сопряженный базис пространства У'. Тогда с)с = (е,+ „..., е„). С) 4 3. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 191 В соответствии с нашим отождествлением пространств У" и У мы можем говорить об аннуляторе подпространства РУ С У' как о подпространстве пространства У. По определению И~~ = (х Е У: а(х) =О Ча Е )У).
Теорема 3. ((Г~)'= Ег для любого подпространства сгС У. Доказательство. В обозначениях доказательства теоремы 2, ясно, что (сГО)~ = (е„..., е„) = (Г. С) Следствие. Любое подпространство в У является аннулятором некоторого подпространства в У". Пусть имеется система однородных линейных уравнений 2, вахт=О (Е =1,..., т).
(4) в=1 Будем интерпретировать х„ ...,х„ как координаты вектора х п-мерного векторного пространства У в некотором базисе (е„ ..., е„). Тогда система (4) может быть записана в виде а,.(х) = О (Е = 1,..., гп), где о„..., а Е У' — линейные функции, стоящие в левых частях уравнений (4). Множество решений этой системы представляет собой аннулятор подпространства (а„..., а ) с У*. Заметим, что размерность этого подпространства равна рангу матрицы коэффициентов системы (4). Поэтому теорема 2.3.2 о размерности пространства решений системы однородных линейных уравнений является непосредственным следствием теоремы 2. Следствие теоремы 3 в этом контексте может быть сформулировано так: Теорема 4. Всякое подпространство является множеством решений некоторой системы однородных линейных уравнений.
9 3, Билинейные и квадратичные функции Аксиоматика векторного пространства не охватывает еще всей элементарной геометрии векторов евклидова пространства, поскольку в этой аксиоматике отсутствуют такие понятия, как двина вектора и угол между векторами. Длина и угол могут быть выражены через скалярное произведение векторов. Одним из основных свойств скалярного умножения геометрических векторов 192 Гл.
Ь. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА является его линейность по каждому множителю. В этом параграфе мы рассмотрим функции двух векторных аргументов, являющиеся обобщением скалярного умножения. Определение 1. Билинейной функцией (или билинейной формой) на векторном пространстве У называется функция ьх: У х У вЂ” К, линейная по каждому аргументу. ПРимеР 1. Как доказывается в курсе элементарной геометрии, скалярное умножение геометрических векторов является билинейной функцией на пространстве Е'. ПРИМЕР 2.
Функция ь а(~, д) = ) у(х)д(х) их а является билинейной функцией на пространстве С[а, Ь1 П Р ИМ Е Р 3. Функция а(Х, У) = 1г ХУ является билинейной функцией на пространстве 1.„(К). ПРИМЕР 4. Определитель матрицы второго порядка как функция ее строк есть билинейная функция на пространстве К'. Пусть (е„ ..., е„) — базис пространства У. Тогда для векторов х = 2 хье„У = 2 Узет полУчаем ь о(х, у) = 2; анхьу,, где а„= а(е,, ез). (5) Матрица А =(ан) называется матрицей билинейной функции сь в базисе (е„..., е„). Как видно из предыдущей формулы, билинейная функция однозначно определяется своей матрицей.
Формула (5) может быть переписана в матричных обозначениях: сьев Х у) = Хт4 У (6) где Х и У вЂ” столбцы координат векторов х и у соответственно. При переходе к другому базису (е,',..., е„') = (е„..., е„)С координаты векторов х и у преобразуются по формулам Х = СХ', У = СУ'. Подставляя эти выражения в (6), получаем а(х, у) = (Х')~С~4СЪ".. $3. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 193 откуда следует, что в базисе (е,',..., е„'Т матрица функции о равна .4'= СТАС Основная задача теории билинейных функций — это приведение матрицы билинейной функции к возможно более простому виду за счет выбора подходящего базиса.
В связи с этим важно знать свойства матрицы билинейной функции, которые не зависят от выбора базиса. Определение 2. Ядром билинейной функции о называется подпространство Кето =(уЕ У: о(х, у)=0 тхЕ У). Функция о называется нееырожденной, если Кег а =О. Все билинейные функции, рассмотренные в примерах 1 — 4, невырожденны. Так, невырожденность скалярного умножения следует из того, что (у, у) > 0 при у ~ О.
Аналогично доказывается невырожденность билинейной функции в примере 2. ЗАДАЧА 1. Доказать невырожденность билинейных функций в примерах 3 и 4. Очевидно, что если (е„ ..., е„ ) — базис пространства У, то Кег а = (у Е У; о(е,, у) = О, Е = 1,..., н). Записывая этн условия в координатах, получаем систему однородных линейных уравнений, матрицей коэффициентов которой служит матрица А функции о. Следовательно, (8) бппКег о = н — гк А.
В частности, Кего =0 тогда и только тогда, когда гкА = и, т.е. когда матрица А невырожденна. Из формулы (8) следует, что ранг матрицы билинейной функции о не зависит от базиса. Он называется рангом билинейной функции о и обозначается через гк о. Определение 3. Билинейная функция о называется симметрической (соответственно кососимметрической), если о(х, у) = о(у, х) (соответственно а(х, у) = — о(у, х)) для любых х, у е У. Так, билинейные функции в примерах 1 и 2 симметричны.
Билинейная функция в примере 3 также симметрична. В самом деле, если Х = (*е), У = (уе), то 1г ХУ = 2 ' хе ул = 2" у» хе = 2 уе х,, = 1г УХ. 194 Гл.з.ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Билинейная функция в примере 4 кососимметрична. Но, конечно, существуют билинейные функции, которые не являются ни симметрическими, ни кососимметрическими.
Билинейная функция является симметрической (соответственно кососимметрической) тогда и только тогда, когда ее матрица А симметрична (соответственно кососимметрична), т.е. Ат = А (соответственно А" = -А). Определение 4. Пусть а — симметрическая билинейная функция над полем К характеристики ~ 2. Функция о: Ъ' -+ К, определяемая по формуле д(х) = а(х, х), называется квадратичной функцией (или квадратичной формой), ассоциированной с функцией а. В координатах квадратичная функция записывается в виде д(х) = 2,' аух, х,, ) (9) т.е.
является однородным многочленом второй степени. Симметрическая билинейная функция а может быть восстановлена по соответствующей квадратичной функции о по формуле (*у)=2И(*+у)- (х)- (ун (10) Билинейная функция а называется поляризацией квадратичной функции о. Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между симметрическими билинейными и квадратичными функциями. Имея в виду это соответствие, все понятия, относящиеся к симметрическим билинейным функциям (матрица, ранг, невырожденность и т.
д.), переносят на квадратичные функции. В дальнейшем изложении мы будем из соображений удобства иногда говорить о симметрических билинейных, иногда — о квадратичных функциях. Геометрические ассоциации, связанные со скалярным умножением векторов, могут быть полезны при изучении произвольных билинейных функций. Этим объясняется вводимая ниже терминология. Пусть а — симметрическая или кососимметрическая билинейная функция над полем К характеристики ф 2.
Векторы х, у е У называются ортогональными (относительно а), если а(х, у) =О; в атом случае пишут х 1. у. Ясно, что зто отношение симметрично: если х.1 у, то и у 1 х. Отметим, что в случае кососимметрической функции а каждый вектор ортогонален самому себе. $3. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 195 Определение 5. Ортогональным дополнением к подпространству сГ (относительно сг) называется подпространство Г" = (у Е )г, сг(л, у) = 0 ти Е Г). В частности, )г'- = Кег а. Предложение 1. Если функция а нгвырожденна, то Йт Гс = бпп У' — Йгп Г и (У')"- = Г. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
