1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 32
Текст из файла (страница 32)
4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП Последнее условие, согласно определению, переписывается в виде 9 ЬдтЕН. Так как д, может быть любым элементом группы С, а А,— любым элементом подгруппы Н, то это равносильно условию нормальности (14). П ЗАДАЧА 3. Доказать, что всякое отношение эквивалентности в группе, согласованное с операцией, есть отношение сравнимости по модулю некоторой (нормальной) подгруппы. Таким образом, если Н з С, то операция умножения в группе С определяет операцию умножения в множестве С/Н по правилу (д,Н)(дзН) = д~длН.
Эта операция наследует ассоциативность операции в группе С. Для нее имеется единица — смежный класс еН. Каждый смежный класс дН имеет обратный, а именно д 'Н, Следовательно, С/Н— группа. Эта группа называется факторгрулпой группы С по Н. Очевидно, что если группа абелева, то любая ее факторгруппа также абелева. П РимнР 12.
Факторгруппа У/пХ есть группа вычетов У.„. ПРИМЕР 13. Смежные классы группы С по И (см. пример 1) суть прямые Ь. = (л: 1ш л = а) (а ей). Операция сложения в С/К задается формулой Ь„+ Ь, = ? „„, так что факторгруппа С/м изоморфна группе К. ПРИмкР 14. Смежные классы группы С' по Т (см. пример 3) суть окружности С,=(л еС'. ~а~ =г) (г >0). Операция умножения в С"/7 задается формулой С„С, = С, так что факторгруппа С'/Т изоморфна группе К'. ПРимеР 15. Как мы видели выше (см. пример 4), левые смежные классы группы О1.„(К) по 31.
(К) совпадают с правыми и имеют вид М =(А ЕО1„(К); бе1А = а) (аЕ К'). Следовательно, Я.„(К) — нормальная подгруппа. Операция умножения в факторгруппе задается формулой М,М, = М„,, так что факторгруппа 01.„(К)/51.„(Х) изоморфна К". ПРимнР 16. Подгруппа Н (изоморфная Я„,) группы Я„, рассмотренная в примере 5, не является нормальной при и > 3. 175 Ь 6. ГОМОМОРФИЗМЫ ЗАДАЧА 4.
Доказать, что всякая факторгруппа циклической группы является циклической. ЗАдлчА 5. Доказать, что группа диагональных матриц не является нормальной подгруппой группы 61.„(К) при п > 2 и 1К~ > 3. д 6. Гомоморфизмы Связи между различными алгебраическими структурами одного типа устанавливаются при помощи гомоморфизмов.
Понятие гомоморфизма отличается от понятия изоморфизма тем, что оно не требует биективности. В одном случае мы уже встречались с этим понятием. А именно, гомоморфизмы векторных пространств — это не что иное, как их линейные отображения. Дадим точное определение гомоморфизма групп. Ояределеяяе 1.
Гомоморфизмом группы С в группу Н называется отображение 7": С вЂ” Н, удовлетворяющее условию 7(аЬ) =7(а)7(Ь) Уа, Ь Е С. Установим некоторые общие свойства гомоморфизмов групп. 1) 7"(е) = е. В самом деле, пусть 7"(е) = Ь Е Н; тогда Ьг Г(е)г = 7(ег) = 7(е) = Ь откуда Й =е. 2) 7'(а ') = 7'(а) ', ибо 7'(а)7'(а ') = 7'(аа ') = 7'(е) = е. 3) 1гп7 = (7(а): ае С) есть подгруппа группы Н (называемая образом гомоморфизма 7'). Это следует из определения гомоморфизма и предыдущих свойств. 4) Кег7' = (ае С: Г(а) = е) есть нормальная подгруппа группы С (называемая ядром гомоморфизма 7").
Действительно, а, Ь е Кег 7' =ь ~(аЬ) = 7 (а)Г (Ь) = е = е =~ аЬ е Кег А' а е Кег г =ь 7(а ') = Цо) ' = е ' = е ~ а ' Е Кег 1, е еКег г", аб КегА де С =~ у(дад ') = ~(дЩа)У(д) ' = — г(д)ег(д)-' = у(д)у'(д) ' = е =, 'дад ' е Кег Х 1УЕ Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП 5) У(д,) =У(д,) 4=> д, аз д,(шоб Кег )'); в частности, гомоморфизм Г инъективен тогда и только тогда, когда Кег Г = (е). Действительно, ,Г(д,) =1(д,) 4~ ~(д д,) = е 4з д, 'д, Е КегГ сз д, нед,(той Кегг").
Таким образом, гомоморфизм г': С вЂ” Н является изоморфизмом (т.е. биективен) тогда и только тогда, когда 1т Г = Н и Кег Г = = Те). В этом случае иногда пишут г': С:-Н. Если группы С и Н изоморфны (т. е. существует изоморфизм г: С вЂ” Н), то пишут С = Н. Гомоморфизм группы в себя называется ее эндоморфизмом. Изоморфизм группы на себя называется ее аапгоморфизмом. ПРимеР 1.
Пусть К вЂ” произвольное кольцо. Свойство дистрибутивности а(Ь + с) = аЬ + ас означает, что отображение х ах (умножение слева на а) является эндоморфизмом аддитивной группы кольца К. (Аналогичное утверждение справедливо и для умножения справа.) ПРИМЕР 2. Пусть С вЂ” произвольная аддитивная (соответственно мультипликативная) абелева группа. Тогда для любого п ей отображение х пх (соответственно х х") является эндоморфизмом группы С. (Для неабелевой группы это, вообще говоря, неверно.) В случае С = С' ядром этого гомоморфизма является группа С„ корней и-й степени из 1.
ПРимеР 3. Согласно основному свойству экспоненты, отображение х е* является гомоморфизмом аддитивной группы К в мультипликативную группу И*. Его образ — это подгруппа И+ положительных чисел, а ядро тривиально. ПРИМЕР 4. Отображение х ~~ соз х+ г з1п х является гомоморфизмом группы К в группу С*. Его образ есть Т, а ядро — 2яЕ. ПРимеР 5. Формула умножения определителей означает, что отображение Йе1: И.„(К)- К', А ~ Йе1А, является гомоморфизмом. Его ядро — это унимодулярная группа Я.„(К).
ПРИМЕР 6. Назовем знаком подстановки а Е Я„и обозначим через зяп а произведение знаков верхней и нижней перестановки в ее записи (см. пример 1.1): зап~ 4! 'т ''' Ъ1 =зяп(г„~,...,ю„) зяп(т'„г',...,~'„). ~ Л .г2 ° ° ° 2ю / 177 б б. ГОМОМОРФИЗМЫ Это произведение не зависит от способа записи подстановки ст, так как от любого способа записи можно перейти к любому другому последовательными транспозициями столбиков, а при каждой такой транспозиции одновременно меняются знаки верхней и нижней перестановок, так что их произведение сохраняется. Основное свойство знака состоит в том, что отображение здп: о„- С,=(Ы), чг~ зупсг, является гомоморфизмом.
В самом деле, перемножая подстановки и и т, мы можем считать, что верхняя перестановка в записи а совпадает с нижней перестановкой в записи т: Тогда й кт к так что здп ат = зап(ь,и,...,т'„).здп(й„ йз,..., й„) = = )зв ( ', Ъ,, '„) зап(йн А,,.т'„Пх х )зяп(т'„у',..., т'„) зип(й„й„..., й )) = зяп о = зяп о . зуп т.
Ядро гомоморфизма зяп называется знакопеременной группой и обозначается через А„. Употребляется также следующая терминология: подстановки п, для которых зяп и = 1 (соответственно зепи = — 1), называются четными (соответственно нечетными). Таким образом, А„— это подгруппа четных подстановок.
ЗАДАЧА 1. Вывести следующую формулу для знака циклической подстановки: здп(ь ь, т' ) = ( — 1)" Пользуясь этим, доказать, что знак любой подстановки равен ( — 1) ', где гп — число фактически переставляемых ею (т.е. не оставляемых на месте) символов, а г — число независимых циклов, в произведение которых она разлагается. Теорема 1 (о гомоморфизме групп).
Луста |: С вЂ” Н вЂ” гомоморфизм групп. Тогда 1щу = С/Кета. 178 Гк 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП Более точно, имеется изоморфизм »р: 1ш 7" — С/ Кег 7", ставящий в соответствие каждому элементу Ь = Х(д) Е1ш7' смежный класс д Кег 7". До к а з а т е л ь с т в о. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 5.2. Из доказанного выше свойства 5) следует, что все элементы смежного класса д Кег7", и только они, переходят при гомоморфизме 7" в элемент 1» = 7(д) Е 1гп 7.
Тем самым показано, что отображение ч», о котором идет речь в теореме, корректно определено и биективно. Остается проверить, что »с — гомоморфизм. Пусть д„дэ Е С, У(д») = 7»„У(д,) = 1»,. Тогда Г'(д» д,) = Ь» 7», и ч»(Ь»Ь ) =д,д Кегу =(д, КегУ)(д, КегУ) = ч»(Ь»)ч»(Л ), что и требовалось доказать. П Следствие 1. Если группа С конечна, то ~ С( = ~ 1гп 7" и' Кег 7" 1. (Интересно сравнить эту формулу с формулой (12). ПРимеР 7. Рассмотрим гомоморфизм 7': С-»К, г~ 1шм Имеем 1ш7" =К, Кег7" =К, так что — результат, уже полученный нами в примере 5.13. ПРИМЕР 8.
Рассмотрим гомоморфизм 7': С*- К", г» ф. Имеем 1ш7" =К+, Кег7 =1Г=(г ЕС*: Я =1), так что С*/Т=Ж; — результат, уже полученный нами в примере 5.14. ПРИМЕР 9. Отображение 179 Е Б. ГОМОМОРФИЗМЫ также является гомоморфизмом, причем 1щ/ = 7, Кег/ = К~. Следовательно, С'/й'„Х. (Соответствующее разбиение на смежные классы было описано в примере 5.2,) ПримеР 10. Рассмотрим гомоморфизм /: К- Т, хь сов 2ях+ ь з1п2ьгх (ср. пример 4). Так как Кег/ = Е, то мы получаем, что К/Š— 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
