1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Группа 01„(К) есть группа обратимых элементов кольца (.„(К) всех матриц. Если А — любое ассоциативное кольцо с единицей, то множество его обратимых элементов также является группой по умножению. Мы будем обозначать эту группу через А'. Частным случаем является мультипликативная группа К' поля К (состоящая из всех ненулевых элементов этого поля). Заметим, что К' = Ж,(К). ПРИМЕР б. Как показывают формулы (1), группа Тгап Ъ' изоморфна аддитивной группе пространства Ъ'. ПРИМЕР 7.
Конечная группа может быть задана своей таблицей умножения. Так, множество 0 = (е, а, Ь, с) с таблицей умножения является абелевой группой. В самом деле, элемент е служит ее единицей и каждый элемент обратен сам себе. Далее, легко видеть, что любая перестановка элементов а, Ь, с является автоморфизмом множества С с указанной операцией. Поэтому, если исключить тривиальные случаи с участием единицы и принять во внимание коммутативность, доказательство ассоциативности сводится к проверке следующих соотношений: азЬ = а(аЬ) = Ь, (аЬ)с = а(Ьс) = е. $1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЗАДАЧА 2. Доказать, что множество С = (А,Б,В,Г,Д,Б) с операцией, заданной таблицей является группой, изоморфной Я . ЗАЛАчА 3. Доказать, что если в множестве С с ассоциативной операцией существует такой элемент е (правая единица), что ае = = а для любого ае С, и для любого а е С существует такой элемент а ' (правый обратный элемент), что аа ' = е, то С вЂ” группа. Определение 3.
Подгруппой группы С называется всякое подмножество Н с С, удовлетворяющее следующим условиям: 1) если а, 6 Е Н, то аб Е Н; 2) если аЕ Н, то а ' Е Н; 3) е ЕН. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Так как аа ' = е, то условие 3) можно заменить требованием непустоты подмножества Н. Очевидно, что всякая подгруппа сама является группой относительно той же операции. Сравнивая определения 1 и 3, мы видим, что группа преобразований множества Х вЂ” это не что иное, как подгруппа группы ях). П РимеР 8.
Пусть У вЂ” какой-либо многочлен от и переменных. Тогда Яущ =(об Я„: Г(х,п), х (з),..., х,(„) =Г(х„х),..., х„)) есть подгруппа группы Я„. В самом деле, пусть о, т е Зущ У. Положим х,( = у,; тогда У ( хата) > х»(2) » ' ' ' х»>О>) ) > ( У О) > У (2) » ' У>( ) ) > (У( > Уз » ' ' У > ) .) ( (и> х~(з)> > х>(>)) ~(х( > хт>,,> х>>) Остальные две аксиомы подгруппы выполнены очевидным образом. В частности, многочлен Г является симметрическим тогда и 152 Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП только тогда, когда 5уш г'= Я„.
В качестве примера многочлена с менее богатой, но не тривиальной симметрией рассмотрим многочлен Г" = х,х, + х х4 (от 4 переменных). Легко видеть, что группа Буш Г" состоит из 8 подстановок, сохраняющих разбиение множества (1,2,3,4) на два подмножества (1,2) и (3,4). (Допускается перестановка этих подмножеств и перестановка элементов в каждом из них; см. по этому поводу также пример 5.11).
ПРИМЕР 9. Аналогично, линейные преобразования пространства К", сохраняющие какой-либо заданный многочлен от и переменных, образуют подгруппу группы 61.„(К). Линей- ные преобразования пространг ства )к", сохраняющие многочлен х|з+х~г+...+х~, называются ортогональными преобразованиями; они образуют подгруппу группы 61.„(К), которая назыР( ~) вается ортогональной группой и обозначается через О„.
Так как в декартовых координатах пространства Е' (соответственно Е') многочлен х'+ у' (соответственно х'+ у'+ г~) выра- Р(сз) жает квадрат длины вектора, то ортогональные преобразования Рис. 1 пространства Е~ (соответствен- но Е') — это не что иное, как линейные преобразования, сохраняющие длину вектора. Дадим геометрическое описание ортогональных преобразований простран- ства Е'. Условие ~р= „ЕО означает, что (ах + Ьу)' + (сх + с( у)' = х' + у~, т. е.
аз + сз = Ьт+ с(з = 1, аЬ + сс( = О. Из уравнения а'+ с' = 1 следует, что существует такой угол сс, что а= сов сс, с =з)п а. Оставшиеся два уравнения показывают, что Ь = ~ з!и сс, Ы = ~ соз сс. 153 $1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ Таким образом, — в|п а '1 сова/ |йпа 1 — сова( ' |' сова 1, в|па сов а или В первом случае, как мы уже знаем (см. пример 2.3.5) |о есть поворот на угол а.
Во втором случае у — зеркальное отражение относительно прямой 1, образующей угол — с осью л (см. рис. 1). Эти два случая отличаются друг от друга тем, что в первом случае ~о сохраняет ориентацию плоскости, а во втором — меняет. В гл. б будет доказано, что всякое ортогональное преобразование пространства Е', сохраняющее ориентацию, есть поворот вокруг некоторой прямой. ПРИМЕР 10. Движения евклидовой плоскости, оставляющие на месте начало отсчета о, образуют подгруппу группы 1вогп Е~. Обозначим ее через Н. Так как сложение векторов и их умножение на числа определяются в геометрических терминах, то всякое движение, оставляющее на месте точку о, является линейным преобразованием.
Более того, так как оно сохраняет длины векторов, то оно является ортогональным преобразованием. Обратно, поскольку расстояние между точками а и Ь есть длина вектора а — Ь, то всякое ортогональное преобразование сохраняет расстояние между точками и, значит, является движением. Таким образом, Н = О,. Аналогично, группа движений евклидова пространства, оставляющих на месте начало отсчета, совпадает с О . ПРИМЕР 11. Пусть Š— какая-либо фигура на евклидовой плоскости.
Тогда Бут Е = (|о 6 1вогп Е~: у(Е) = Е) есть подгруппа группы 1вотЕ', она называется группой симметрии фигуры Е. Так, группа симметрии окружности с центром в начале отсчета о есть группа О,. Группа симметрии правильного и-угольника с центром в точке о есть подгруппа группы О,, 2я состоящая из поворотов вокруг точки о на углы, кратные и отражений относительно прямых, проходящих через о и одйу из вершин или середину одной из сторон.
Таким образом, эта группа содержит 2п элементов (и поворотов и и отражений); она называется группой диздра и обозначается через Р„. ПРИМЕР 12. В силу формулы умножения определителей матрицы с определителем 1 образуют подгруппу в группе О1.„(Х). Эта подгруппа называется унимодулярпой группой и обозначается через 81„(Х). 154 Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП ПРИМЕР 13. Целочисленные матрицы с определителем 1 образуют подгруппу в группе 51.„(К), обозначаемую через 51.„(У) (см.
задачу 2.5.3). ПРимеР 14. Множество невырожденных диагональных матриц порядка и является абелевой подгруппой группы О1.„(К). ЗАдлчА 4. Доказать, что множество строго треугольных квадратных матриц порядка и является подгруппой группы О1.„(К). 2 2. Группы в геометрии и физике Цель этого параграфа — дать общее представление о роли групп в геометрии и физике. В Х1Х в. математики осознали, что евклидова геометрия не является единственной мыслимой геометрией. Даже если принять, что «пространство, в котором мы живем», подчиняется законам евклидовой геометрии (что на самом деле верно лишь в первом приближении), имеет смысл изучать геометрию и других пространств, которые возникают в результате математических построений.
В связи с этим возникает вопрос, что же в таком случае следует понимать под геометрией. Обобщая различные понятия, рассматриваемые в евклидовой геометрии, можно сформулировать различные ответы на этот вопрос. В частности, обобщая понятие группы движений евклидовой геометрии, немецкий математик Клейн в своей лекции 1872 г., получившей известность под названием «Эрлангенская программа«, дал определение геометрии как науки, изучающей свойства фигур, инвариантных относительно заданной группы преобразований.
Более подробно, пусть задано некоторое множество Х и некоторая группа С его преобразований. Фигуру Р; с Х будем считать эквивалентной (или равной, как говорят в элементарной геометрии) фигуре Р,* ~ Х относительно группы С и писать Я; Р', если 'с существует такое преобразование с е С, что Р' = р(Р;). Проверим, что это действительно отношение эквивалентности: 1) Р г, так как г =1б(Г) и 18 Е С; с 2) если Р' Р,', т.е.
Р; = р(Р;), где р Е С, то Р' Р;, так как ' с зс Р;=~р '(Р')и~о 'бС; 3) еслибы; гз и Рз Рм т.е. Р;= р(Р;) и Ц=4~(Ц), где р, «Ре С, 'с с то г', .г;, так как Рз = фри) и «1«р е С. $2. ГРУППЫ В ГЕОМЕТРИИ И ФИЗИКЕ 155 Мы видим, таким образом, что три аксиомы отношения эквивалентности в точности соответствуют трем аксиомам группы преобразований. Одной из задач геометрии является нахождение необходимых и достаточных условий эквивалентности фигур (вспомните признаки равенства треугольников в евклидовой геометрии). Этой цели служат величины, инвариантные относительно преобразований из группы С (такие, как расстояние между точками или мера угла в евклидовой геометрии).
Соотношения между этими инвариантами суть геометрические теоремы (например, теорема Пифагора или теорема о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке). Конечно, далеко не любая группа преобразований приводит к интересной и важной для приложений геометрии. Все такие геометрии связаны с достаточно богатыми группами преобразований, которых не так много. Минимальным требованием здесь является транзитивность. Определение 1. Группа С преобразований множества Х называется транзитивной, если для любых х, у Е Х существует такое преобразование р е С, что у = р(х). (Это означает, что в соответствующей геометрии все точки эквивалентны в смысле данного выше определения эквивалентности фигур.) ПРимеР 1. Группа Тгап Ъ' параллельных переносов векторного пространства Ъ' (см.
пример 1.4) транзитивна. В самом деле, для любых х, у е г" имеем д = 8„ х. Однако группа Тгап г' все еще слишком мала, чтобы определять интересную геометрию. В качестве примера интересной геометрии, отличной от евклидовой, приведем аффинную геометрию. Пусть 1' — какое-либо векторное пространство, <р ЕЖ(У') и аЕ Е Ъ'. Тогда -) ~Ра~Р = емг В самом деле, для любого х е Ъ' имеем: (2) ( р1.~р ')(х) = <р(~а '(х) + а) = х + у(а) = 1~,) х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
