1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Обозначим через и, (т = 1, 2,..., з) старший член многочлена Н(аоот,...,о )ЕК(а~ жг . а1. В силу леммы 2 среди одночленов ш„ то„ ...,то, нет пропорциональных. Выберем из них старший. Пусть это будет ш,. По построению одночлен ш, старше всех остальных членов многочлена Н,(о„о„..., о.) и всех членов многочленов Нт(оо о,..., о„) (т = 2,..., з). Поэтому после приведения подобных членов в сумме Н, (о.„о„..., о„) + Н,(о.„о„..., о„) +...

+ Н,(о„и„..., о„) = Н(о!1 ттм ' '~ оп) член то, сохранится, так что эта сумма не будет равна нулю, что противоречит нашему предположению. П ЗАМЕЧАНИЕ 2. СОГЛаСНО ЗаМЕЧаНИЮ 1, дЛя ЛЮбОГО тП бед.г' = бед„и ( бед„ц1 = бед ~(= й,). Следовательно дедР =реп Г'. (18) Следуя доказательству этой теоремы, можно в принципе найти выражение любого конкретного симметрического многочлена через ПРИМЕ б. Выразим через о„ом..., о„многочлен — 3 1 3 1 1 3 Представим вычисления в виде таблицы. 132 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОБ Таким образом ст, ст з ст2 з 3111 2220 2211 Итак, мы можем утверждать, что У = Ф,, +,, + Ь,~зпс. Для того чтобы найти коэффициенты а и Ь, будем придавать в этом равенстве переменным х„х„х, х4 какие-нибудь выбранные значения.

Представим вычисления в виде таблицы, в правом столбце которой будем выписывать получаемые уравнения: Таким образом, а = 1 и Ь = -4, так что У = ст, ст, + стз — 4стзст„. 2 3 В случае неоднородного симметрического многочлена этот способ можно применить к каждой его однородной компоненте и полученные выражения сложить.

а з —— стсз — Зст, стз + Зоз (19) На практике для однородных симметрических многочленов удобнее применять другой способ, который мы поясним на следующем примере. ПРИМЕР 7. Выразим через ст„ст„ст„ст4 миогочлен У (х~хз + хзх~)(х~ хз + хзх~)(х х4 + хзхз) из примера 4. В обозначениях доказательства теоремы 1 имеем и, = хзх хзх4. Не производя вычислений, можно найти с точностью до коэффициентов возможных кандидатов на роль одночленов тсз, и„... Во-первых, их показатели должны удовлетворять неравенствам леммы 1.

Во-вторых, поскольку У вЂ” однородный многочлен степени б, сумма их показателей должна равняться б. В-третьих, они должны быть младше и,. Выпишем в таблицу все наборы показателей одночленов, удовлетворяющих этим условиям, в порядке лексикографического убывания, начиная с набора показателей одночлена ип а справа выпишем соответствующие произведения элементарных симметрических многочленов, найденные по форму- 133 4 8.

СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ ЗАмечАние 3. Изложенная теория без всяких изменений переносится на более общий случай, когда К вЂ” произвольное коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Так, в случае К = У, получается следующий результат: всякий симметрический многочлен с целыми коэффициентами представляется в виде многочлена с целыми коэффициентами от элементарных симметрических многочленов. Доказанная теорема в сочетании с формулами Виета позволяет найти любой симметрический многочлен от корней заданного алгебраического уравнения.

А именно, пустьг' е К[х„ х„ ...,х„)— симметрический многочлен и г' Е К[Х„ Х„ ...,Х„] — такой многочлен, что У (гто г1 1 ~~ )' Пусть, далее, с„с„..., с„— корни алгебраического уравнения а х" + а,х" '+... + а„,х+ а„=О (а эьО). Тогда ~(с,,сг,...,с„)=Г( — — ',— г,...,( — 1)" — ). (20) ЗАМЕЧАНИЕ 4. Пусть дед у'= й.

Тогда бедР = й (см. замечание 2) и, домножив равенство (20) на агз, мы получим в правой части однородный многочлен степени тг от аг, а„аг,..., а„. ПРИМЕР 8. Пусть с„сг, сз, с4 — корни уравнения х +рхг+ дх+ т =О. (21) Найдем уравнение 3-й степени, корнями которого являются числа т(, = с, с + с с„, г( =с,сз+ сгс .

д =с,с+со„, Запишем его в виде у'+ а,у~+ а у+ аз =О. Согласно формулам Виета а, = — (Ы, + тзг+ г(з), ог = Ы, т(г + 4 т(з + 44, а, = — 44г(з. Имеем т(т = )зт(с„сг, с, сз), где тз„тзг, тг — многочлены из примера 4. Находим: тз1 + 1тт + 'зз ог )з, Ьг + )з, )зз + Ьг Ьз = Я хг х, х, = гт, гтз — 4ттм г Лзз т' < г тз~ тгг тгз = 'Фтз + оз 4<тг'~4. 134 Гл.

3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ (Последнее равенство есть результат примера 7.) По формулам Виета а,(с„с, с, с„) = О, а (с„с, с, с ) = р, а3(с~ ~ ся~ с3~ с4) ф а4(с~1 ст~ сл~ с4) т Следовательно, а = — 4т, а = 4рт — д', а,= — р, т.е. искомое уравнение имеет вид у' — рут — 4тта + (4Рт — д') = О, (22) ЗАДАЧА 2. В обозначениях предыдущего примера доказать, что (с, + с — с — с,) =4(й, — р), (с, — с + с — с„)2 =4٠— р), (с, — ст — с, + сл)т = 4(йл — Р) и, кроме того, (с| + ст сз с4)(с~ с2+ сз — сл)(с1 ст сз+ с4) — — 8Д (23) (см. задачу 1). Пользуясь результатами этой задачи, можно свести решение уравнения (21) к решению уравнения (22) (при условии что спаг К ~ 2).

А именно, складывая с подходящими знаками равенства с,+с +с +сл=О, с, + ст — с — с =2/~, — Р, с,— с +с — с =2~Я-р, с, — с,— с,+с,=2~Я вЂ” р, получаем 234= 2 (~ъЯ Р~ т/4 Р~ ~/4 Р) где число минусов должно быть четно. Исходные значения квадратных корней здесь следует выбирать таким образом, чтобы их произведение равнялось — д (см. формулу (23)).

Уравнение (22) называется кубической резоньвенвтой уравнения (21). 135 4 9. КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ф 9. Кубические уравнения При решении квадратных уравнений ключевую роль играет дискриминант. По его обращению в нуль можно судить о наличии кратного корня, а по его знаку (в случае поля вещественных чисел) — о числе вещественных корней. Выясним смысл дискриминанта Р(у) квадратного трехчлена у = а хг+ а,х+ а Е С[х[. Пусть с„ с — корни этого трехчлена. Тогда г Р(у) = аг — 4а а = ~ф ~ ~ — ') — — г1 = ф(с, + с )г — 4с с [ = ~Я(с, — с )г.

В случае когда а, а„а е К, полученная формула хорошо объясняет ту связь между дискриминантом и свойствами корней, о которой говорилось выше. А именно, имеются следующие три возможности: 1) с„сгЕК, с, ~с„тогда с,-с, — отличное от нуля вещественное число и Р(у) ) 0; 2) с,=с,ЕК; тогда с,— с =Он Р(у)=О; 3) с, = с, ф К; тогда с, — с, — отличное от нуля чисто мнимое число и Р(~о) <О. Что еще более важно, эта формула подсказывает, как можно определить дискриминант любого многочлена ~о =а х" + а,х" '+...

+а„,х+ а„е Л[х] (цгфО). Предположим вначале, что многочлен у имеет гг корней с„с,... ..., с„Е К. Определим тогда его дискриминант Р(эг) по формуле Р(~р) =~ф" ' П(сг — ст)г. (24) (Показатель при а не так важен; почему мы выбрали его именно таким, будет ясно из дальнейшего.) Иными словами, Р(Р) есть умноженное на ~ф" ' значение симметрического многочлена (см.

пример 8.3) от корней многочлена у. Описанная в $8 процедура позволяет выразить Р(р) через коэффициенты многочлена аг. Так как дед ~ =2п — 2, 136 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ то в силу замечания 8.4 это выражение будет представлять собой некоторый однородный многочлен сь степени 2п-2 от а„а„..., а„: Р((о) = ьь(ао, а„..., а„).

(25) Для нахождения многочлена Ь нет необходимости знать, что многочлен (о имеет ть корней в К. Это позволяет определить дискриминант любого многочлена р по формуле (25). Замечания Б Так как г имеет целые коэффициенты, то и Ь имеет целые коэффициенты (см. замечание 8.3). 3лмяч анна 2. Можно доказать (см. теорему 9.5.6), что для любого многочлена эг е К(л)степени л сушествует расширение Ь поля К, в котором эг имеет и корней, (Например, если К = В, то можно взять б = С.) Так как описанная выше процедура вычисления дискриминанта не зависит от того, над каким полем рассматривается многочлен чг (лишь бы его коэффициенты лежали в этом поле), то для Р(уг) будет справедлива формула (24), если в качестве сн ст,..., с„ взять корни многочлена Зг в поле Ь.

Из определения (24) дискриминанта ясно, что многочлен р Е С[а] имеет кратные корни тогда и только тогда, когда Р(р) =О. Это показывает, что наличие кратных корней является исключительным обстоятельством: если выбирать коэффициенты многочлена наудачу, то вероятность того, что он будет иметь кратные корни, равна нулю. Пусть теперь р — кубический многочлен с вещественными коэффициентами и с„с„сз — его комплексные корни. Тогда Р( р) = а'(с, — с )з(с, — с )'(с — с )з. Имеются следующие три возможности (с точностью до переиумерации корней): 1) с„с, с — различные вещественные числа; тогда Р(уг) > 0; 2) с„с, с Е 1ь, с = с,; тогда Р((о) =О; 3) с,ш Ж, ст = сз р К; тогда р(,) 4((с, — )(с, — ))з( — )в = фс, — ~~~(сз — сз) <О.

Таким образом, мы приходим к тому же выводу, что н в случае квадратного трехчлена: все корни многочлена р вещественны тогда и только тогда, когда Р(«р) ) О. ЗАДАЧА 1. Доказать, что если ш — многочлен любой степени с вещественными коэффициентами, не имеющий кратных комплексных корней, то здп Р(р) =( — 1)', где а — число пар комплексно-сопряженных мнимых корней многочлена р.

э 9. КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Мы найдем теперь явное выражение дискриминанта кубического многочлена через его коэффициенты, но перед этим сделаем некоторые общие замечания, позволяющие упростить вычисления. Любой многочлен можно нормировать, разделив на старший коэффициент, что не изменит его корней. Далее, любой нормированный многочлен р=х" +а1х" '+а а" 2+...+а„,х+а„ над полем нулевой характеристики (или, более общо, над полем, характеристика которого не делит п) с помощью замены а1 а=д —— а приводится к многочлену ~ = д" + Ь,д"-'+...

+ Ь„, д+ Ь„, в котором коэффициент при д" ' равен нулю. Многочлен такого вида называется неполным. При и = 2 именно таким способом получается формула решения квадратного уравнения. При п > 2 эта замена не решает дела, но, во всяком случае, может упростить задачу. Найдем дискриминант неполного кубического многочлена р=хз+рл+д. (28) Следуя способу, изложенному в примере 8.7, будем искать выражение симметрического многочлена у=(а,— т)~(а, — х) (тт — х) через элементарные симметрические многочлены а„а, а,. Многочлен ~ является однородным степени 6, и его старший член равен ж4х,'. Выпишем наборы показателей старших членов симметрических многочленов, которые могут встретиться в процессе, описанном в доказательстве теоремы 8.1, и соответствующие им произведения элементарных симметрических многочленов: 138 Гл.

Характеристики

Список файлов книги