1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 26
Текст из файла (страница 26)
3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ Мы видим, что з = а1 аз + аа~ аз + Ьаз + са! азиз + ((аз ' (27) Для вычисления Р(у) мы должны будем сделать в выражении (27) подстановку аз Р аз = Д Поэтому коэффициенты а и с не будут влиять на окончательный результат, и мы можем их не находить. Для нахождения (з и Ы будем в равенстве (2?) придавать переменным ж„х„х, значения, указанные в следующей таблице, в правом столбце которой выписаны получаемые при этом уравнения: Таким образом, 6 = — 4, д = — 27 и Р(~р) = — 4рз — 2?аз. (28) ПРИМЕР 1.
Найдем число вещественных корней многочлена зз 03~г 43~+39 С помощью замены у = х — О,! приводим его к неполному многочлену (коэффициенты которого могут быть найдены по схеме Горнера, как в примере 2.3) 4, уз 433у+3 468 Теперь Р(~а)=Р(ф) 4,433з 27,3468з 00013)0 Следовательно, многочлеи Р имеет 3 различных вещественных корня. ЗАмечАние 3. Дискриминант кубического многочлена общего вида ,р а, уз+о зз+о а+а равен Р(Р) = азат — 4а',а — 4а ~+ 18а а,азаз — 2?Щ.
Изложим теперь способ решения кубического уравнения. Предположим, что основное поле К содержит нетривиальный (т.е. отличный от 1) кубический корень из единицы, скажем, аз. 139 э 9. КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Тогда 1, ш, ш ' — это все кубические корни из единицы, и по формуле Виета получаем ш+ш '= — 1. (29) ~=2пз — 9о,а,+27о;, у=о,' — 3<т,. Пусть теперь с„с„с, — корни многочлена (26). Положим а', = с, + шс, + ь - 'с,, Ы, = с, + ь -'сз+ ысз. Из предыдущего следует, что аз+ Зз = -279 3,3, = -Зр и, значит ЫЧз = -27р' Таким образом, Из и И' — это корни квадратного уравнения х'+ 279х — 27р' = О. Решая его, находим 4 =27 2+ 27+ 4 "з 2 27+ 4 (30) (31) Заметим, что выражение, стоящее под знаком радикала, лишь множителем — — й отличается от дискриминанта многочлена (2б).
1 Складывая равенства с,+ с + с =О, с,+ шс +ш 'с =3„ с1+ь ! сз+ изсз = А, с учетом соотношения (29) получаем 1 3( Рассмотрим линейные многочлены Ь, = х, + шх + ш 'х, Ь = х, + ш 'х + шх. При перестановке х, и х, они меняются местами, а при перестановке х, и х многочлеи Ь, переходит в ьйз, а Ь вЂ” в ш 'Ь,. Отсюда следует, что многочлены г Ьз+ Ьзз являются симметрическими. Выражая их через элементарные симметрические миогочлены, получаем 140 Гл.
3. НАЧАЛА АЛГЕБРЪ| МНОГОЧЛЕНОВ Поскольку нумерация корней может быть произвольной, зта фор- мула на самом деле дает все три корня, если в качестве с(7 и И, выбирать всевозможные значения кубических корней из выражений (30) и (31), связанные полученным выше соотношением д,д, = -зр.
(32) Таким образом, мы приходим к следующей окончательной формуле — + +4+ — — +4 называемой формулой Кардано. ЗАмечАние 4. Формула Кардано имеет смысл, если извлека- ются входящие в нее квадратные и кубические корни. В частно- сти, если мы решаем по атой формуле кубическое уравнение с вещественными козффициентами, то нам, вообще говоря, придется работать с комплексными числами, даже если нас интересуют только вещественные корни, Именно так обстоит дело в случае положительного дискриминанта, когда все три корня вещественны: в атом случае число, стоящее под знаком квадратного радикала, отрицательно. ПЕНМЕЕ 2.
Найдем корни многочлена ф из примера 1. Имеем ~7+ 4 гозР(277) = — 0,0000120, так что под знаком одного из кубических радикалов в формуле Кардано будет стоять число Г~З 2 — 2 + )11 27 + 4 — 1, 734 + 0,003473 ю = 1,734001соз(я — 0,00200) + 3 з!п(гг — 0,00200)]. Под знаком другого кубического радикала будет стоять комплексно- сопряженное число. Условие (32) означает в данном случае, что при извлечении кубических корней следует комбинировать их ком- плексно-сопряженные значения. При сложении комплексно-сопря- женных чисел получается их удвоенная вещественная часть.
Таким образом, 2ф!,734СО ' 1,20273, 2Г77,73400 ' 1 2С001, -2Г77,73400 ~ 4 -2,40277. $10. ПОЛЕ РАПНОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ ф 10. Поле рациональных дробей Таким же образом, как кольцо целых чисел расширяется до поля рациональных чисел, любое целостное кольцо можно расширить до поля.
Пусть А — целостное кольцо. Рассмотрим множество пар (а, Ь), где а, Ь е А, 6 фО, и определим в нем отношение эквивалентности по правилу (а„Ь) (а, Ь) в=, 'а Ь =а Ь,. Рефлексивность и симметричность этого отношения очевидны; докажем его транзитивность. Если (а„Ь,) (аз, Ь,) н (аз, Ь,) (а„Ь,), то а~ Ь»Ьз — — аз 6! Ьз = азЬз Ьз откуда после сокращения на 6, получаем а1 Ьз — аз 61 т.е.
(а„Ь,) (а,6). Из данного определения следует, что (33) (а, Ь) (ас, Ьс) для любого с ~0. С другой стороны, как показывает следующая ниже цепочка эквивалентностей, любая эквивалентность (а„ 6,) - (а, 6,) является следствием эквивалентностей типа (33): (а,, 6~) (а,Ьз, Ь,Ь,) =(азЬ„Ь,Ь,) (аз, Ьз). (Мы сначала умножили оба члена пары (а„Ь,) на Ь,, а затем сократили оба члена получившейся пары на 6,.) Определим теперь сложение и умножение пар по правилам (а„Ь, ) + (аз, Ьз) = (а, Ьз + аз Ь„Ь, Ьз), (а„Ь,)(а, Ь ) = (а,а', Ь,Ьз). Докажем, что определенное выше отношение эквивалентности согласовано с этими операциями. В силу предыдущего достаточно показать, что при умножении обоих членов одной из пар (а„6,) и (а, Ь,) на элемент с ~0 сумма н произведение этих пар заменятся эквивалентными им парами; но очевидно, что при такой операции оба члена суммы и произведения умножатся на тот же элемент с.
Класс эквивалентности, содержащий пару (а, 6), условимся записывать как вдробь» -' или а/6 (пока это просто символ, не !42 Гл. 3. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МНОГОЧЛЕНОВ подразумевающий фактического деления). Ввиду доказанного выше операции сложения и умножения пар определяют операции сложения и умножения дробей, осуществляемые по обычным правилам: а~ а~ а~ Ьз + азЬ1 аг а~ а1 а1 Ь1 Ьз Ь$ Ь2 Ь1 Ь Ь\ Ь2 Докажем, что относительно этих операций дроби образуют поле.
Любое конечное множество дробей можно привести к общему знаменателю, а сложение дробей с одинаковыми знаменателями сводится к сложению их числителей. Поэтому сложение дробей коммутативно и ассоциативно. Дробь — (= — прн любом Ь фО) О О служит нулем для операции сложения дробей, а дробь — — противо- Ь положна дроби — '.
Таким образом, дроби образуют абелеву группу относительно сложения. Коммутативность и ассоциативность умножения очевидны. Следующая цепочка равенств доказывает дистрибутивность умножения дробей относительно сложения; ( !.— 1 ""1'1 1 (("1 1''з)й "~'з+ г з 'ч 'з 'т з Ь Ь Ьз ЬЬ3 ЬЬ Г Ь Ь з Дробь — служит единицей для операции умножения дробей, а прн 1 а ~ О дробь — обратна дроби — . Ь а Построенное поле называется полем отношений (или полем дробей) кольца А и обозначается через Япо1 А .
Сложение и умножение дробей вида Е сводятся к соответ- 1 а Ь ствующим операциям над нх числителями. Кроме того, только при а = Ь. Следовательно, дроби такого вида образуют подкольцо, изоморфное А. Условившись отождествлять дробь вида — с элементом а кольца А, мы получим вложение кольца А в поле 1 ()ио1 А. Далее, поскольку ЕЬ а Т~ дробь — равна отношению элементов а и 6 кольца А в поле Ь Яио1А. Таким образом, обозначение — можно теперь понимать содержательным образом. В силу (ЗЗ) дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить (если это возможно) на один и тот же элемент кольца А. Если А — евклидово кольцо, то путем сокращения числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель любая дробь приводится к виду -', где (а, Ь) =1. Такой вид дроби называется несократамым.
(Дойуская вольность речи, обычно говорят просто о несократимой дроби.) 4 10. ПОЛЕ РАЕЯОНАЛЪНЫХ ДРОБЕЙ 143 (д, г Е К[х], с(е2 г < декад). (34) Тогда Е 9 9' дробь. (35) причем — — правильная 9 Пусть теперь — д.( 1 9 91 Предложеиие 1. Любой вид дроби над евклидовым кольцом получается иэ любого ее несократимого вида умножением числителя и знаменателя на один и тот же элемент. Доказательство. Пусть — = ф, причем (оь, Ьь) =1. Из равенства аЬ = а Ь следует, что Ь ] а Ь и, значит, Ь [ Ь. Пусть Ь = сЬ; ясно, что тогда а = саь.
П Следствие, Несократимый вид дроби над евклидовым кольцом определен однозначно с точностью до умножения числителя и знаменателя на один и тот же обратимый элемент. Поле отношений кольца Ж целых чисел есть поле Я рациональных чисел. Поле отношений кольца К[х] многочленов над полем К называется полем рациональных дробей (или рациональных функций) над полем К и обозначается через К(х). Каждая рациональная дробь определяет функцию на К со значениями в К, определенную там, где ее знаменатель (в несократимой записи) не обращается в нуль. А именно, значением дроби У ~(с~ 9 (Л дЕ Л [х]) в точке с Е Л называется число — '.
Легко видеть, что 9(с)' операции сложения и умножения дробей соответствуют таким же операциям над определяемыми ими функциями в их общей области определения. ЗАДАЧА 1. Доказать, что если рациональные дроби — и — над Л у2 91 99 бесконечным полем К определяют функции, совпадающие в их общей области определения, то — = —. Л 12 91 92 Рациональная дробь с называется правильной, если дедУ ( 9 ( деяд. Очевидно, что сумма и произведение правильных дробей являются правильными дробями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
