1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Пусть уг Е 1зопг Е', уз" = 16 . Для любой точки р е Ег точки Например, для подстановки гг, изображенной на рис. 2, огг) гг = 12. Задача 1. Доказать, что порядок любого злемента группы Я„не превосходит числа ечм ю1 44" 162 Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП как элемента группы С! (]к). Имеем Аг — 1 — 1з Е откуда 14 А Аз Аг Аз 1з Е так что огд А =6. Конечно, этот пример специально подобран: вероятность того, что порядок наудачу выбранной матрицы А Е Я (1к) будет конечен, равна нулю. Предложение 2, Если огд д = и, пго огдд" =— (о, Й)' Доказательство. Пусть и,Ы, )г =)зги, (и, Й)=г(, и= так что (и„ lг,) = 1. Имеем (д") =е 4=; и] йт л=ь п„~ Й,т ч=ь и, ] ги.
Следовательно, оп1 д" = ип С) Определение 1. Группа С называется циклической, если существует такой элемент д Е С, что С = (д). Всякий такой элемент называется порождающим элеменгпом группы С. ПРИМЕР 6. Аддитивная группа Ж целых чисел является циклической, так как порождается элементом 1. ПРИМЕР 7. Аддитивная группа Ж„вычетов по модулю и является циклической, так как порождается элементом (1]. ПРИМЕР 8.
Мультипликативнаягруппа С„комплексныхкорней и-й степени из 1 является циклической. В самом деле, эти корни суть числа 2гга .. 2гга е =сов — + з з!ив гг гг Ясно, что е = е,'. Следовательно, том е,. (к = О, 1,..., и — 1). группа С„порождается элемен- циклически переставляются движением чг, так что их центр тяжести о неподвижен относительно ~гг. Следовательно, чг — либо пово- 2зЬ рот на угол вида — вокруг точки о, либо отражение относительно некоторой прямой, проходящей через о. ПРимеР 5. Найдем порядок матрицы 4 з, цикличнскии и уппы 163 ЗАДАЧА 3.
Доказать, что группа Е'„обратимых элементов кольца Е„ (см. задачу 1.6.1) является циклической при и < 7 и не является циклической при и = 8, 9. Легко видеть, что в бесконечной циклической группе С = (д) порождающими элементами являются только д и д '. Так, в группе Е порождающими элементами являются только ! и — 1.
Число элементов конечной группы С называется ее порядком и обозначается через ~С!. Порядок конечной циклической группы равен порядку ее порождающего элемента. Поэтому из предложения 2 следует Предложение 3. Элемент д» циклической группы С = (д) порядка п является порождающим тогда и только тогда, когда (и, к) =1.
Приятия 9. Порождающие элементы группы С„(см. пример 8) называются первообразными корнями п-й степени из 1. Это корни вида е„где (и, А) = 1. Например, первообразные корни 12-й степени из 1 — это г! г5' с7 ело Циклические группы — это наиболее простые группы, которые можно себе представить. (В частности, они абелевы.) Следующая теорема дает их полное описание. Теорема 1.
Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе Е. Всякая конечная циклическая группа порядка и изоморфна группе Е„. Доказательство. Если С =(д) — бесконечная циклическая группа, то в силу формулы (4) отображение 7": Е- С, к» д", есть изоморфизм. Пусть С = (д) — конечная циклическая группа порядка п.
Рассмотрим отображение 7: ń— С, [к] д» (к е Е). Так как [Ус[ = [1[ .ы~ к = 1(юпоб и) ч=ь д' = д', то отображение 7' корректно определено и биективно. Свойство Лй+1) =У(ИУ(1) вытекает из той же формулы (4). Таким образом, 7 — изоморфизм. П Для понимания строения какой-либо группы важную роль играет знание ее подгрупп. Все подгруппы циклической группы могут быть легко описаны.
164 Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП Теорема 2. 1) Всякая подгруппа циклической группы является циклической. 2) В циклической группе порядка п порядок любой подгруппы делит п и для любого делителя д числа п существует ровно одна подгруппа порядка д. Доказательство. 1) Пусть С=(д) — циклическая группа и Н вЂ” ее подгруппа, отличная от (е). (Единичная подгруппа, очевидно, является циклической.) Заметим, что если д "е Н для какого-либо гп Е Гч', то и д е Н.
Пусть гп — наименьшее из натуральных чисел, для которых д Е Н. Докажем, что Н = (д"), Пусть д' б Н. Разделим к на и» с остатком: й=дт+т, 0<г(т. Имеем д" = д"(д ) ' Е Н, откуда в силу определения числа т следует, что т = 0 и, значит, » ( п~)» 2) Если ~С~ = п, то предыдущее рассуждение, примененное к к = и (в этом случае д' = е е Н), показывает, что и = дт. При этом Н = (е, д, д»,..., д<' и ), (7) и Н является единственной подгруппой порядка д в группе С. Обратно, если д — любой делитель числа и и п = дп», то подмножество Н, определяемое равенством (7), является подгруппой порядка д. П Следствие. В циклической группе простого порядка любая неединичная подгруппа совпадает со всей группой. ПРИМЕР 10.
В группе 2, всякая подгруппа имеет вид гпг., где т >О. ПРимЕР 11. В группе С„корней п-й степени из 1 любая подгруппа есть группа С, корней д-й степени из 1, где д ~ п. ф 4. Системы порождающих Пусть Я вЂ” какое-либо подмножество группы С. Обозначим через (Я) совокупность всевозможных произведений вида д~'дг'... дьч (д1 д» д» Е Я; г„г„..., г, = т1).
(8) 165 $4. СИСТЕМЪ| ПОРОЖДАЮЩИХ Это наименьшая подгруппа группы С, содержащая Я. В самом деле, если какая-либо подгруппа содержит Я, то она содержит и все указанные произведения. С другой стороны, само множество (Я) является подгруппой, как показывают следующие равенства: (й'й .. й')(дь~'.19а~) дьй) = й'й дь~1 (91ьдт дьн) =дь '. дт й '. Говорят, что (Я) — подгруппа, порожденная подмножеством Я.
В частности, если Я состоит из одного элемента д, то (Я) = = (д) есть циклическая подгруппа, порожденная элементом д в том смысле, как это было определено в предыдущем параграфе. ЗАМкчАИИЕ 1. Удобно считать, что в число произведений (8) входит пустое произведение (й = О), которое по определению равно е. Определение 1. Говорят, что группа С порождается своим подмножеством Я или что Я вЂ” система порождающих (элементов) группы С, если С = (Я). Конечно, любая группа С порождается подмножеством Я = С, однако представляет интерес найти возможно меньшую систему порождающих. ПРимкР 1. Группа диэдра В„(см.
пример 1.11) порождается поворотом р на угол — и (любым) отражением ~Р е О„. В самом 2~ деле, р порождает циклическую подгруппу С„всех поворотов, содержащихся в группе .0„; умножая элементы этой подгруппы на ~р, мы получим все отражения, входящие в группу В„.
Два важных примера систем порождающих содержатся в приводимых ниже теоремах. Подстановка, являющаяся циклом длины 2 (см. пример 3.2), называется транспозицией. Теорема 1. Группа Я„порождается транспозициями. Доказательство. Отметим, что каждая транспозиция обратна сама себе, Поэтому утверждение теоремы означает, что любая подстановка разлагается в произведение транспозиций. Умножение подстановки — й слева на транспозицию (41') вызывает перестановку 4 и т' в нижней строке. Такая операция также называется транспозицией.
Очевидно, что путем последовательных транспозиций любую перестановку 1бб Гл. 4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП (й„йз,..., Й„) можно привести к тривиальной: сначала, если й,;61, меняем местами й, и 1, ставя тем самым 1 на первое место, затем ставим 2 на второе место и т. д. Таким образом, существуют такие транспозиции т„т„..., т„что т,... т2 т~ с' = 1й и, значит, а=тт,...т,. П ЗАДАЧА 1.
Доказать, что группа Я„порождается смежными транспозициями (12), (23),..., (и — 1 и), причем минимальное число смежных транспозиций, в произведение которых может быть разложена подстановка о е Я„, равно числу инверсий в нижней строке ее стандартной записи (9).
Теорема 2. Группа О1.„(К ) порождается элементарными матрицами. (Определение элементарных матриц см. в $2.1) До к а з а т е л ь с т в о. Отметим, что матрица, обратная к элементарной, также элементарна (см. $2.1). Поэтому утверждение теоремы означает, что любая невырожденная матрица разлагается в произведение элементарных матриц.
Умножение матрицы А е О1„(Х) слева на элементарную матрицу вызывает соответствующее элементарное преобразование ее строк. Мы знаем, что с помощью элементарных преобразований строк любую невырожденную матрицу можно привести к единичной матрице. Таким образом, существуют такие элементарные матрицы сГ,, Ц, ..., Ег„ что ГГ,... Ц,ЦА=Я и, значит, А = Ц, ' 0' '... ссГ, '. (3 ЗАДАЧА 2.
Доказать, что группа Я (Ж) (см. пример 1.13) порождается матрицами д О -1 О -1 ЗАЛАЧА 3. Доказать, что группа движений плоскости порождается отражениями относительно прямых. (Указание: доказать вначале, что каждый поворот и каждый параллельный перенос являются произведениями двух отражений.) 16? $5. РАЗБИЕНИЕ НА СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ ф б.
Разбиение на смежные классы Пусть С вЂ” группа и Н вЂ” ее подгруппа. Будем говорить, что элементы д„д, Е С сравнимы по модулю Н, и писать д, = д, (шос1 Н), если д,'д ЕН, (10) т.е. д = д,й, где Ь е Н. Это определение обобщает определение сравнимости целых чисел по модулю п, которое получается в случае С =Ж, Н = ил.. Докажем, что определенное таким образом отношение сравнимости по модулю Н является отношением эквивалентности: 1) д = д (апой Н), так как д 'д = е Е Н; 2) если д, = д, (тос1 Н), т.
е. д, 'д, Е Н, то д, = д, (шоб Н), так как д д,=(д д)-'ЕН; 3) если д, = д (шодН) и д, = д (шобН), т.е. д, 'д,, д, 'д е Н, то д, зад,(шодН), так как д~ дз =(д~ уд)(дз дз) е Н. Классы этой эквивалентности называются (левыми) смежными классами группы С по подгруппе Н. Ясно, что смежный класс, содержащий элемент д, имеет вид Одним из смежных классов является сама подгруппа Н. Поскольку умножение в группе не обязано быть коммутативным, мы получим, вообще говоря, другое отношение эквивалентности, взяв вместо условия (10) аналогичное ему условие дзд, ' еН.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
