1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Базис (е„ ..., е„) пространства Ъ' называется симплекгпическим (относительно а), если а(езь „е„) = — а(ез„, ет„,) = 1 при )с = 1,..., тп, а(е,, еу) =0 во всех остальных случаях. Иначе говоря, матрица функции а в этом базисе имеет вид О 1 — 1 0 0 0 1 -1 0 0 1 — 1 0 0 0 0 где число диагональных клеток равно т. Очевидно, что при этом г(с а = 2т.
где о|, оз ф О. Уравнение д(х) = 1 может быть представлено в виде озхз. з Когда х! пробегает поле Ег, левая часть последнего уравнения принимает х— о+1 различных значений. Аналогично, когда хз пробегает поле Ег, правая часть этого уравнения принимает «х — различных значений. Так как о -!.
1 рь1 +1 2 з то существуют такие х! и хт, при которых левая и правая части принимают одно и то же значение. С! Доказательство теоремы 5. Следуя доказательству теоремы 1, при п )! будем выбирать вектор е! так, чтобы о(е ) = |, что возможно в силу пред щущей леммы. Так как при переходе к другому базису определитель матрицы квадратичной функции умножается на квадрат определителя матрицы перехода, то о(е„) будет квадратичным вычетом или невычетом одновременно с определителем матрицы функции д в любом базисе. П ЗАДАЧА 3. Доказать, что произвольная (не обязательно невырожденная) квад- ратичная функция Е над Е может быть приведена ровно к одному из двух видов 2+ + 3 + 2 хзь...юхе Еехз, 202 Гл.
5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Теорема 6. Для любой кососимметрической билинейной функции существует симилектический базис. Доказательство. Докажем это утверждение индукцией по и. При и = 1 доказывать нечего. Пусть и ) 1. Если а:— О, то доказывать опять-таки нечего. Если о ~0, то существуют такие векторы е, и е, что а(е„е ) Ф О. Домножив один из этих векторов на подходящее число, можно добиться того, чтобы а(е„ез) = — а(ет, е,) = 1.
Матрица ограничения функции и на (е„е ) в базисе (е„е,) имеет вид и, в частности, невырожденна. Согласно 1-1 01 предложению 2, У = (е„ез) Ю (еи ет) По предположению индукции в пространстве (е„е ) существует симплектический базис (е„е„,..., е„). Добавляя к нему векторы е, и е, мы получаем симплектический базис (е„е, е, е„,..., е,) пространства У. С1 Следствие. Ранг кососимметрической билинейной функции всегда является четным числом. 5 4. Евклндово пространство Свойства операций над геометрическими векторами, включая скалярное умножение, находят наиболее полное отражение в понятии евклидова векторного пространства.
Определение 1, Евклидовым (векторным) пространством называется вещественное векторное пространство с фиксированной положительно определенной симметрической билинейной функцией. Обычно эта фиксированная билинейная функция называется скалярным умножением и обозначается (, ). ПРимеР 1. Пространство геометрических векторов с обычным скалярным умножением. ПРНЗЗЕР 2. Пространство К" со скалярным умножением (х, у) = х, у, +... + х„у„, где х=(х„..., х„), у=(у„..., у„). 908 $4. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ПРимеР 3. Пространство С!О, Ц непрерывных функций на отрезке (О, 1] со скалярным умножением (г, д) = ) у(х)д(х)дх. о (18) В евклидовом пространстве определяются длина вектора и угол между векторами таким образом, что в случае геометрических векторов они совпадают с обычной длиной и обычным углом, А именно, длина !х! вектора х определяется по формуле !х! = ~/(х, х).
((х, у)! ( !х!(у(, (19) причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы х и у пропорциональны. Неравенство (19) называется неравенством Коши — Буняковского. Доказательство. Если у=Лх, то ((х, у)! = !Л!((х, х)! = )Л))х!з = !х()у!. Если векторы х и у не пропорциональны, то они составляют базис двумерного подпространства. Матрица скалярного умножения на этом подпространстве в базисе (х, у) имеет вид с (х,х) (х,у) 1 (х,у) (у,у)/ Ввиду положительной определенности скалярного умножения ее определитель должен быть положителен; но это и означает, что !(х у)! с !х!!у!.
Е) Угол ху между ненулевыми векторами х и у евклидова пространства определяется по формуле соз ху = (*-'-г). !х!!и!' В частности, угол ху равен 0 или я тогда и только тогда, когда векторы х и у пропорциональны; ху = ~~ тогда и только тогда, когда векторы х и у ортогональны. Для определения угла необходимо сначала доказать Предложение 1. Для любых векторов х, у евклидова про- странства Гл. 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Неравенство Коши — Буняковского является частным случаем более общего неравенства, относящегося к произвольной конечной системе векторов (а„ ...,а„~ евклидова пространства.
Определение 2. Матрица (а„а, ) С(а„..., а„) = (а„, а,) (а„ а ) ... (а„ а ) (а, а ) ... (а, а ) (а, аг) ... (а, а„) называется матрицей Грима системы векторов (а„..., а„). Теорема 1. Для любых векторов а„..., а„евклидова пространства справедливо неравенство пе1 С(а„..., а„) > О, (х, у) = х, у, +... + х„у„; 2) скалярный квадрат в этом базисе имеет вид (х, х) = хг +... + хг; 3) матрица скалярного умножения в этом базисе (т.е. матрица Грама С(е„..., е„)) является единичной матрицей; причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы а„...,а, линейно зависимы Доказательство. Если 2 Л,.а, =О, то 2 Л,(а,, а )=О при всех ~', а это означает, что линейная комбинация строк матрицы С(а„..., а,) с коэффициентами Л„..., Л, равна нулю. Поэтому если векторы а„..., а, линейно зависимы, то бе1 С(а„..., а„) = О.
Если же онн линейно независимы, то так же, как в случае й = 2, доказывается, что де1 С(а„..., а,) > О. П ЗАДАЧА 1. Получить соотношение между двуграннымн углами тетраэдра, рассмотрев матрицу Грама системы единичных векторов, ортогональных его граням. С помощью этого соотношения найти двугранный угол правильного тетраэдра. Определение 3. Базис евклидова пространства, в котором скалярное умножение имеет нормальный внд (см.
$3), называется ортонормированным. Ортонормированность базиса (е„..., е„) может быть выражена любым из следующих эквивалентных условий: 1) скалярное умножение в этом базисе имеет вид $4.ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 205 4) (е,, ез) = б„.; 5) базисные векторы попарно ортогональны и имеют длину 1. Согласно общей теории, в любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Такой базис, конечно, не единствен. Дадим описание всех ортонормированных базисов, исходя из какого-либо одного ортонормированиого базиса (е„..., е„). Пусть (е,',..., е„') = (е„..., е„)С Тогда матрица скалярного умножения в базисе (е,',..., е,',) имеет вид СтЕС = СТС (см. формулу (7)). Следовательно, базис (е'„..., е„') является ортонормированным тогда и только тогда, когда СтС (20) Очевидно, что следующие свойства матрицы С эквивалентны: 1) СТС=Е; 2) Я с .
с„,. = бн при всех г, ~'; 3) Ст=С '; 4) ССт= Е; 5) ~; с,ст = бе при всех г, ~'. Определение 4. Матрицы, обладающие этими эквивалентными свойствами, называются ортогонильными. Заметим, что из равенства (20) следует соотношение де1 С = х1 (но не наоборот!). Ограничение скалярного умножения на любое подпространство (Г евклидова пространства У также является положительно определенной и потому невырожденной симметрической билинейной функцией, и предложение 3.2 показывает, что У = сГ 6 (У'. Это означает, что для каждого вектора х е У имеется единственное представление в виде х = у + г, у е Ц г е 5г'-. (21) Вектор у называется (ортогональной) проекцией вектора х на подпРостРанство сг н обозначаетсЯ чеРез Ргвх; вектоР г называетсЯ ортогональной составляющей вектора х относительно подпространства 5Г н обозначается через ог1 х.
Гл. 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА е,=1, ез=х, ез — — х', что (е,, е,)=,. Имеем ! з — 1+З -1. 1, (Л,Л) =1, (Л» Ъ зз у 1 Л + б (зз зз) (зз ез) 180 (ему) е (ез У~) е (ез Л) .з 3 з+ З 1 (У~ Ь)зз (У~ Х~)зз (Х~ А)" з З е =хз 4 Заметим ,=е,= У— 1 У4) зз) У4 з) 2зоо' ЗАДАЧА 2. Применяя процесс ортогонализации к столбцам матрицы, доказать, что каждая матрица А Е 01 „(Ж) может быть единственным образом представлена в виде А = ОВ, где Π— ортогональная матрица, а  — треугольная матрица с положительными элементами на диагонали.
Если (е„ ..., е„) — ортонормированный базис подпространства У, то проекция рг х может быть найдена по формуле ргех = 2,(х, ез)е,. (22) =! Более общо, если (е„..., е„) — ортогональный (но не обязательно ортонормированный) базис подпространства У, то (23) (е,, е,) Для построения ортогонального базиса евклидова пространства У может быть применен процесс ортогонализации, описанный в теореме 3.2. В предыдущих обозначениях, если (е„..., е„)— какой-либо базис пространства ~', то базис (1".„..., Я, получаемый в результате ортогоналнзацнн, задается формулами Дз ее ог1 „ез (/с = 1,..., н). (24) Пользуясь тем, что Я,..., (з,) — ортогональный базис пространства 1'„,, проекцию рг г е„и, тем самым, вектор Гз можно найти по формуле (23). ПРнмеР 4.
Пусть 1' — пространство многочленов степени < 3 со скалярным умножением (18). Применим процесс ортогонализацнн к базису 207 $4. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Определим расстояние р между векторами евклидова пространства по формуле р(х, у) = (х — у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
