1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Характеристический многочлен ограничения линейного оператора на инвариантное надпространство делит характеристический многочлен самого оператора. З 2. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 225 Доказательство. Пусть  — ограничение оператора А на инвариантное подпространство У с $'. В базисе пространства У, первые векторы которого составляют базис подпространства У,матрица А оператора А имеет вид (6), где  — матрица оператора В. Следовательно, ЯГ)= Г~(Г) де1(ГŠ— С).
П (16) Следствие. Размерность собственного подпространства линейного оператора нг превосходит кратности соответствующего корня характеристического многочлена. Доказательство. Пусть д1ш 1г„(А) = й. Тогда характеристический многочлен ограничения оператора А на 1'„(А) равен (г — Л)ь. Применяя предложение 2 к подпространству У = 1'„(А), мы и получаем доказываемое утверждение. С3 ПРимеР 6.
Рассмотрим оператор дифференцирования в пространстве многочленов степени не выше п. Из вида его матрицы, найденной в примере 1А, следует, что его характеристический многочлен равен 1"+'. Он имеет корень О кратности и + 1, однако размерность соответствующего собственного подпространства равна 1 (см. пример 1). Этот пример показывает, что размерность собственного подпространства может быть строго меньше кратности соответствуюшего корня характеристического многочлена. Теорема 4. Для существования базиса из собственных векторов линейного оператора А необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 1) характеристический многочлгн у' (й) разлагается на лингйныг множители; 2) размерность каждого собственного подпространства равна кратности соответствующего корня многочлгна ул(г).
Доказательство. Пусть Л„..., Л, — все корни многочлена ,гл(г) и й„ ..., й, — их кратности. Собственное подпространство, отвечающее Л„ обозначим через У, Согласно следствию предложения 1, Йш У,. < к,. и, значит, д1шУ <2;к, < и.
(17) Однако единственный способ получить базис из собственных векторов — это взять объединение базисов собственных подпространств. Для того чтобы при этом действительно получился базис пространства Ъ', необходимо и достаточно, чтобы Я сйп У = и. 226 Гл. б. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ввиду (17) это равносильно тому, что Е к,. = и и 81ш У, = к,. для всех «. Первое из этих условий означает, что Яг) разлагается на линейные множители, а второе — это как раз условие 2) теоремы. П 9 3. Линейные операторы и билинейные функции в евклидовом пространстве Пусть 1" — евклидова пространство и (е„..., е ) — его ортонормированный базис. Каждому вектору а Е У соответствует линейная функция (18) х,(х) = (х, а).
При этом коэффициенты х.(е,.) = (е„а) линейной функции 1а. в базисе (е„..., е„) равны координатам вектора а в этом базисе. Отсюда следует, что отображение а» 1о. есть изоморфизм пространства У на пространство У". Отметим, что определение этого изоморфизма не зависит от выбора базиса. Таким образом, в случае конечномерного евклидова пространства как бы исчезает разница между пространством и его сопряженным. Часто говорят «отождествим при помощи канонического изоморфизма евклидова пространство У с его сопряженным пространством», имея в виду указанный выше изоморфизм. Аналогично, каждому линейному оператору А в пространстве У соответствует билинейная функция (19) ~р„(х, у) = (х, Ау).
При этом матрица билинейной функции х„(х, у) в базисе (е„..., е„) совпадает с матрицей оператора А в этом базисе. В самом деле, 1а (е„е,) =(е,,Ае,.) есть не что иное, как «-я координата вектора Ае,, Отсюда следует, что отображение А» 1о« есть изоморфизм пространства линейных операторов на пространство билинейных функций в пространстве У. Определение этого изоморфизма не зависит от выбора базиса.
Однако в неортонормироваином базисе матрица функции х„не обязана совпадать с матрицей оператора А. Для каждой билинейной функции ~р можно определить «транспонированную» функцию З»~(х, у) = 1а(у, х), матрицей которой в любом базисе является транспонированная матрица функции 1а. Линейный оператор А", соответствующий 4 3. лИНЕИНЫе ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИдОВОМ пРОСтРАНстВе 227 функции |ьлт, называется сопряженным оператором по отношению к А.
Иначе говоря, сопряженный оператор определяется тождеством (А'х, у) = (х, Ау). (20) Матрицей оператора А* в ортонормированном базисе является транспонированная матрица оператора А. Симметрическим (соответственно кососимметрическим) билинейным функциям соответствуют так называемые симметрические (соответственно кососимметрические) линейные операторы. Они характеризуются тем, что А* = А (соответственно А* = — А), а в матричных терминах — тем, что их матрица в ортонормированном базисе симметрична (соответственно кососимметрична). Симметрические операторы называют также самосопряженными.
ПРИМЕР 1. Ортогональный проектор на подпространство является симметрическим оператором (проверьте это). Линейные операторы, для которых А' =А ', называются ортогональными. Иначе говоря, оператор А ортогонален, если (21) (Ах, Ау) = (х, у), т.е. если А сохраняет скалярное произведение векторов. Из тождества (*, у) = -'(1*+ уà — !4' — ЪГ) следует, что оператор А ортогонален тогда и только тогда, когда он сохраняет длины векторов, ПРИМЕР 2. Линейный оператор, индуцированный в пространстве геометрических векторов любым движением, ортогонален.
ПРИМЕР 3. Ортогональное отражение относительно подпространства (т.е. отражение параллельно ортогональному подпространству) является ортогональным оператором. В матричных терминах ортогональные операторы характеризуются тем, что их матрица в ортонормированном базисе ортогональна (см. определение 5А.З). Предложение 1. Линейный оператор любого из рассмотренных выше трех типов, т.е. симметрический, кососимметрический или ортогональный, обладает следующим свойством: если надпространство У инвариантно, то и его ортогональное дополнение Ул инвариантно.
228 Гк 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим наиболее сложный случай ортогонального оператора А. Заметим, прежде всего, что оператор А~с также ортогоиалеи и, следовательно, иевырождеи. Поэтому для любого вектора х е У найдется такой вектор г е У, что х = Аг. Возьмем теперь любой вектор у Е У~. Тогда, используя предыдущие обозначения, получаем для любого х е Ьг (х, Ау) = (Аг, Ау) = (г, у) = О, откуда следует, что Ау Е У~. П С помощью этого предложения и теоремы 2.4 мы можем, рассуждая иидукцией по размерности, получить канонический вид для матриц линейных операторов рассматриваемых трех типов. Теорема 1.
Для любого симметрического оператора А существует ортонормированный базис из собственнык векторов. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать существоваиие хотя бы одного собственного вектора. В силу теоремы 2.2 достаточно сделать это для двумерного простраиства.
Матрица симметрического оператора в ортоиормироваииом базисе в этом случае имеет вид, и характеристический миогочлеи равен ~Ь су' у (С) = 1~ — (а+ с)Г + (ас — Ь~). Дискримииаит этого квадратного трехчлеиа Р = (а+ с)з — 4(ас — Ьз) = (а — с)з + 4Ьз всегда иеотрицателеи, так что ~,(1) имеет вещественные корни и, значит, А имеет собственные векторы. П Следствие 1. Характеристический многочлен симметрического оператора разлагается на линейные множители (над К); размерность каждого собственного подпространства равна кратности соответствующего корня; собственные надпространства, отвечающие различным корням, ортогональны друг другу.
Для доказательства последнего утверждения надо заметить, что если Те„ ..., е„) — базис из собственных векторов оператора А, причем Ае,. = Л,.е,, то 1з(А) есть линейная оболочка тех е,, для которых Л,. = Л. Впрочем, его легко можно доказать и иепосредствеиио. В самом деле, пусть х Е У„'(А), у Е У„(А), Л ~ р. Тогда Л(х, у) = (Ах, у) = (х, Ау) = р(х, у), $3.
линейные ОпеРАтОРы В еВклидОВОм пРОстРАнстВе 229 откуда (х, у) =О. П Используя описанное выше соответствие между симметрическими операторами и симметрическими билинейными функциями, получаем Следствие 2. Для любой квадратичной функции д в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором ее матраца диагональна, т.
е. д(х) = Л, хз +... + Л хз. (22) Нужно понимать, что в формулировке этого следствия речь идет об ортонормированности в смысле скалярного умножения, а не в смысле симметрической билинейной функции у, соответствующей д. Однако, поскольку матрица функции у в указанном базисе диагональна, этот базис является также ортогональным (но, вообще говоря, не ортонормнровапным) в смысле функции р.
Отметим, что числа Л„...,˄— это собственные значения соответствующего симметрического оператора и, следовательно, определены однозначно с точностью до перестановки. Выражение (22) называют каноническим видом квадратичной функции д, а нахождение ортонормированного базиса, в котором функция д имеет такой вид, часто называют приведением к главным осям. Используя соответствие между симметрическими операторами и квадратичными функциями в евклидовом пространстве в обратном направлении, можно получить другое доказательство существования собственного вектора у симметрического оператора. А именно, пусть д — квадратичная функция, соответствующая данному симметрическому оператору А, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
