1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Если е Е И вЂ” вектор высоты т, то векторы е, ЛГе, ЛГзе, ..., ЛГ 'е линейно независимы. До ка з ат ел ьс т в о. Предположим, что имеется нетривиальная линейная зависимость Л,е+Л,ЛГе+ ЛзЛ(те+... + Л,ЛГ 'е =О. Пусть Л, — первый из ее отличных от нуля коэффициентов. Тогда, применяя оператор ЛГ"-" ', мы получаем неверное равенство Л Ф'" 'е =О. с) Определение 3. Подпространство (е, ЛГе, ЛГзе, ..., ЛГ 'е) (т = Л(е) называется циклическим подлространством нильпо: тентного оператора Л/, порожденным вектором е. Очевидно, что циклическое подпространство инвариантно относительно ЛГ. Ограничение оператора ЛГ на циклическое подпространство (е, Л е, ЛРе, ..., ЛГ 'е) имеет высоту т и в базисе 241 $4.
ЖОРДАНОВА ФОРМА (е, Ле, Л'е, ..., Л" 'е) задаетсн матрицей О 1 О ... О О О О 1 ... О О О О О ... О О ООО...О1 ООО...ОО называемой нилапотентной жордановой клеткой (порядка гп) (ср. пример 1.4). Любой вектор циклического подпространства У= (е, Л е, Лте,... ...,Л' 'е), не принадлежащий надпространству ЛУ = (Ле, ЛРге,..., Л 'е), имеет высоту гп и, следовательно, порождает то же циклическое надпространство. Теорема 2. Пространство У может быть разложено в прямую сумму циклических надпространств оператора ЛГ. Количество слагаемых в таком разложении равно д!птКегЛ, Доказательство. Будем доказывать теорему индукцией по и = г(пп У. При и = 1 утверждение теоремы очевидно.
При и > 1 пусть сг с У вЂ” какое-либо (п — 1)-мерное подпространство, содержащее !птЛ . Очевидно, что У инвариантно относительно Л . По предположению индукции где У„..., У, — циклические подпространства. Возьмем любой вектор е Е Ъ'~, У. Имеем Л е = и, +... + иь (и; й 1г).
Если для какого-то 4 и,. = ЛГи, ~ Л У, (и, ~ У,), то, заменив вектор е на е — то мы можем добиться того, чтобы и,. =О. Поэтому можно считать, что для любого 4 либо и, =О, либо и, фЛ'У,. Если и,. = О для всех 4, т. е. ЛГе = О, то р = (е) Ю О, Ю ... Ю у„ есть разложение пространства Ъ' в прямую сумму циклических надпространств. 242 Гл. 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Пусть теперь Л/е ~ О. Очевидно, что ЫМе =шахЫи, Будем считать для определенности, что Ы Л/е = Ы и, = т. Тогда Ы е = т + 1. Докажем, что У = (е, Лг е, Лгге, ..., Л е) Ю сгг Ю...
Ю У,. Так как и, ф ЛГЦ, то йш 1~, = Ы и, = т и, значит, йш 1'=йш Ег+1 =(т+1)+йш Его+... + йгп Ег,. Поэтому достаточно проверить, что (е, Фе, ./Ре, ..., М е) й(УгЮ... Ю У„) =О. Предположим, что Лое + Л,Л/е + Лг./Ре +... + Л„Л/" е Е Г)г Ю... Ю 1Г . Так как е ф У, то Ло — — О. Проектируя оставшиеся члены на Ц, мы получаем Л, и, + ЛгЛ/и, +... + Л,Л/'" ' и, = О, откуда Л, = Л, =... = Л „= О. Докажем второе утверждение теоремы. Пусть У = Ъ", щ... щ 1"„ — разложение пространства У в прямую сумму циклических подпространств оператора Лг'.
Очевидно, что КегЛ/= КегЛ~(„Э... Ю КегЛ/(, Так как йш КегЛГ~ = 1 при любом г', то йш Кета= )о. П Возвращаясь к произвольному линейному оператору А, заметим, что в циклическом подпространстве нильпотентного оператора ЛГ= = (А — ЛЕ)~гчл, оператор А задается матрицей вида Л 1 О ... О О О Л 1 ...
О О )(О)+ ЛД О О О ... Л 1 О О О ... О Л Такая матрица называется асордановой клеткой с собственным значением Л. 243 $4. ЖОРДАНОВА ФОРМА Определение 4. 'лКордановой матрицей называется клеточно- диагональная матрица 0 '~2 0 в которой,у„.~,..., ӄ— какие-то жордановы клетки. Комбинируя теоремы 1 и 2, мы приходим к следующему результату. Теорема 3. Если характеристический многочлен Ят) разлагается на линейные множители, то существует базис, в котором матрица оператора А жорданова.
Следствие. Матрица любого линейного оператора над полем комплексных чисел приводится к жордановой форме. Базис, в котором оператор А имеет жорданову матрицу, называется жордановым. Как видно из доказательства теоремы 2, в его выборе, вообще говоря, имеется большой произвол. Однако сама жорданова форма матрицы линейного оператора определена однозначно с точностью до перестановки клеток. Это будет доказано в $9.3. Очевидно, что в жордановой форме матрицы оператора А сумма порядков жордановых клеток с собственным значением Л равна б1ш Р'"(А), т.е.
кратности Л как корня характеристического многочлена. Из второй части теоремы 2 следует, что число жордановых клеток с собственным значением Л равно б(щ Р'„(А). ЗАДАЧА 2. Доказать, что максимальный порядок жордановых клеток с собственным значением Л в жордановой форме матрицы оператора А равен высоте нильпотентного оператора А/= (А- ЛЕ)~,.ыг Матрицы А н В называются подобными, если существует такая невырожденная матрица С, что В = С 'АС. Подобные матрицы можно рассматривать как матрицы одного линейного оператора в разных базисах.
Следствие теоремы 3 можно сформулировать таким образом, что всякая комплексная матрица подобна жордановой, ЗАДАЧА 3. Доказать, что всякая комплексная матрица подобна своей транспонированной матрице. Гл. 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 244 ф 5. Функции от линейного оператора Пусть А — линейный оператор в и-мерном векторном пространстве $' над полем К.
Для любого многочлена ,Г(г ) = ао Г + а, С"' ' +... + а, Г + а„, Е К(г) можно определить его значение от оператора А по формуле ,1'(А) = а А" + а,А" '+... + а,А+ а„Е. Ясно, что И+ у)(А) = НА) + у(А) (йНА) = У(А)у(А) (24) Аналогичным образом можно определить многочлен от матрицы. При этом, если оператор А имеет в некотором базисе матрицу А, то оператор Г'(А) будет иметь в том же базисе матрицу Г'(А). Так как пространство всех линейных операторов конечномерно (при нашем молчаливом предположении, что пространство конечномерно), то среди степеней оператора А может быть лишь конечное число линейно независимых. Следовательно, существуют такие ненулевые многочлены г", что Г'(А) =О.
Они называются аннулирующими многочленами оператора А. Аннулирующий многочлен наименьшей степени называется минимальным (аннулируюи(им) многочлсиом оператора А. Мы будем обозначать его через год. Всякий аннулирующий многочлен Г' делится на минимальный, В самом деле, если остаток от деления г' на т„отличен от нуля, то он является аннулирующим многочленом меньшей степени, чем т„, что противоречит определению минимального многочлена. Отсюда, кстати, следует, что минимальный многочлен определен однозначно с точностью до постоянного множителя, Для того чтобы определить его вполне однозначно, будем считать, что его старший коэффициент равен единице. ЗАЛАЧА 1.
Найти минимальные многочлены нулевого и тождественного операторов. Аналогично определяются аннулирующие и минимальный многочлены матрицы. Минимальный многочлен линейного оператора равен минимальному многочлену его матрицы в любом базисе. Если пространство У разложено в прямую сумму инвариант. ных подпространств оператора А, то минимальный многочлен 1 Ь. ФУНКНИИ ОТ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 245 оператора А равен наименьшему общему кратному минимальных многочленов его ограничений на этн надпространства.
Пользуясь этим, легко найти минимальный многочлен линейного оператора по жордановой форме его матрицы (еслн, конечно, она приводится к жордановой форме). Для этого надо прежде всего найти минимальный многочлен жордановой клетки. Лемма 1. Минимальный многочлен жордановой клетки порядка т с собственным значением Л равен (! — Л) До к аз а тельство. Пусть А — линейный оператор, задаваемый такой жордановой клеткой. Тогда ЛГ= А — ЛŠ— нильпотентный оператор высоты гп, т.е.
(А — ЛЕ)" =О, (А — ЛЕ) ' ~0. Это означает, что (г — Л) — аннулнрующий многочлен, но никакой его собственный делитель не является аннулнрующнм многочленом. Следовательно, (г — Л ) — минимальный многочлен. П Пусть теперь А — произвольный линейный оператор, характеристический многочлен Гл которого разлагается на линейные множители. Пусть Л„..., Л, — все (разлнчные) корни многочлена ~л. Из леммы 1 и предшествующего ей замечании следует Теорема 1.
Минимальный многочлен оператора А равен где т, — максимальный порядок жордановых клеток с собственным значением Л, в жордановой форме матрицы оператора А. Следствие 1. Жорданова форма матрицы оператора А диагональна тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных корней. ПРимеР!. Пусть А — линейный оператор в комплексном векторном пространстве, удовлетворяющий условию А" = Е для некоторого натурального тп. Тогда многочлен т — 1 является аннулнрующнм для оператора А. Так как он не имеет кратных корней, то минимальный многочлен оператора А тем более не имеет кратных корней.
Следовательно, жорданова форма матрицы оператора А диагональна. Ясно, что ее диагональные элементы (собственные значения оператора А) суть какне-то корни гп-й степени из 1. Гл. б. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 246 Пример 2. Найдем все линейные операторы А, удовлетворяющие условию Аз =Аз. Это условие означает, что хз — хз является аннулируюшим многочленом оператора А или, что равносильно, минимальный многочлен оператора А делит хз — зз = гз(с — 1). Ввиду теоремы 1 оно выполняется тогда и только тогда, когда жорданова форма матрицы оператора А состоит только из клеток вида О О Г=д~ +р, бедр<п. (25) Тогда ЛА) = р(А). Предположим, что Х = К или С и многочлен 7А разлагается на линейные множители (что всегда имеет место, если К = С).
Пусть Л „..., Л, — все его (различные) корни и гсы..., й, — их кратности, так что гс,+...+к,=п. Тогда из (25) следует, что (26) ГП~(Лз)=рпг(Лз) при з =1,..., з, у'=О, 1,..., йз — 1. (27) (Мы считаем здесь, что Ущ> = 7" для любой функции 7.) Равен- ства (27) однозначно определяют многочлен р, как показывает следующее Число клеток каждого вида может быть произвольным (в том числе равным нулю), лишь бы сумма их порядков равнялась и.
Следствие 2 (теорема Гамильтона — Кэли). Г (А) = О. Замечания Е Теорема Гамильтона — Кали верна и без предположении о том, что характеристический миогочлеи ул разлагается иа линейные множители. Это можно доказать следующим образом. Как будет показаио в $9.б, существует расширение Ь поля К, в котором У разлагается иа лииейиые множители. Рассматривая матрицу А оператора А как матрицу с элемеитами из Ь, мы можем утверждать в силу предыдущего следствия, что оиа аннулируется своим характеристическим миогочлеиом; ио очевидно, что характеристический многочлеи матрицы А ие зависит от того, рассматриваем мы ее как матрицу с элементами из К или как матрицу с элементами из Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
