1611141258-ba3f4d18d0dc46f5f4fb0d4ab6cc4e12 (824991), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Докажем, что Р = аН(рь, р„..., р»). Пусть р = 2 Л«р, — произвольная барицентрическая линейная комбинация точек рь, р„..., р„. Докажем, что р е Р, индукцией по числу 1 коэффициентов Л„Л„..., Л„отличных от нуля. При 1= 1 точка р совпадает с одной из точек р, р„..., р, так что доказывать нечего. Пусть 1 > 1. Будем считать для определенности, что Л, фО. Тогда Л, Л) ~: р, +Лр„ 0 т.е. р лежит на прямой, проходящей через точки » ! л, Р'= Е ! 'Л„Р, !=О и р,. По предположению индукции р' е Р. Следовательно, и р е ЕР. (З Другая точка зрения на плоскости состоит в том, что зто множества решений систем линейных уравнений.
Пусть дана система линейных уравнений 2, а!.х, = Ь! (« = 1,..., т). (4) »=! Будем интерпретировать х„..., х„как координаты точек п-мерного аффинного пространства Я относительно некоторого репера (о; е„..., е„). Тогда решения системы (4) можно понимать как точки пространства Я. Предположим, что зта система совместна и р, Е Я вЂ” одно из ее решений. Легко видеть, что точка р е Я является решением системы (4) тогда и только тогда, когда коор- 260 Гк 7. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА динаты вектора р р удовлетворяют системе однородных линейных уравнений аях,=О (2=1,...,т). (5) 2=! Мы знаем (теорема 2.3.2), что решения системы (5) образуют надпространство У С ~" размерности п — г, где г — ранг матрицы коэффициентов (обшей у систем (4) и (5)).
Следовательно, множество решений системы (4) есть плоскость Р = рь+ У той же размерности. Таким образом, доказана Теорема 4. Множество решений совместной системы линейных уравнений есть плоскость размерности и- г, где и — число неизвестных, а г — ранг матрицы коэффициентов. Обратно, пусть Р = р + У вЂ” некоторая плоскость. Согласно теореме 5.2.4, надпространство У может быть задано системой однородных линейных уравнений. Заменив свободные члены этих уравнений значениями, принимаемыми левыми частями в точке рь, мы получим систему линейных уравнений, задающую плоскость Р.
Тем самым доказана Теорема 5. Всякая плоскость есть множество решений некоторой системы линейных уравнений. Обсудим теперь взаимное расположение двух плоскостей Р~=р,+К, Р2 Р2+ 2 Очевидно, что если они пересекаются и р — одна из точек пересечения, то Р й Р2 = РЬ + (Ц О Ц). Теорема б. Плоскости Р, и Р, пересекаются тогда и только тогда, когда Р1Р2Е К+(72. Доказательство. Плоскости Р, и Р, пересекаются тогда и только тогда, когда существуют такие векторы и, Е Ц, и2 Е 272, что й + и~ = Р2 + и2 Это равенство может быть переписано в виде рр =и,— и2.
Поэтому существование таких векторов и„и как раз и означает, что р,р2 Е Ц + (72. П Плоскости Р, и Р называются параллельными, если 27, С У2 или с72С сГ„и скрещивающимися, если Р, ПР,=Он Ц П Ц=О. 261 $1. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЗАДАЧА 3. Какова наименьшая размерность пространства, в котором существуют скрещивающиеся двумерные плоскости? ЗАДАЧА 4. Определить 61т а(1(Р1 О Р).
Рассмотрим теперь класс функций на аффинном пространстве, соответствующий классу линейных функций на векторном пространстве. Определение 3. Аффинно-линейной функцией на аффинном пространстве Я называется всякая функция 7: Я- К, обладающая свойством 7(р+ х) = г(р)+ а(х) (рб о, хе Ъ'), (6) где а — некоторая линейная функция на векторном пространстве У. Функция а называется дифференциалом функции г" и обозначается через с~(. Пусть о е Я вЂ” фиксированное начало отсчета.
Полагая в (6) р = о, мы получаем следующее выражение аффинно-линейной функции в векторизованной форме: У(х) = а(х) + Ь (Ь е К), (7) где Ь = У(о). Отсюда, в свою очередь, получается запись функции 7 в координатах: 7(х) = 2 и,. х,. + Ь. (8) Обратно, для любой линейной функции а е Ь"' и любого числа Ь е Х функция У, определяемая формулой (7), является аффинно-линейной функцией с дифференциалом а. В самом деле, пусть р = о + у; тогда, с учетом векторизации, ,7(р + х) = 7(у+ х) = а(у+ х) + Ь = а(у) + а(х) + Ь = = 7(у) + а(х) = 7(р) + а(х). Частным случаем аффинно-линейных функций являются постоянные функции.
Они характеризуются тем, что их дифференциал равен нулю. Если г — непостоянная аффинно-линейная функция, то ее многообразия уровня У(р) = с суть параллельные гиперплоскости с направляюшим подпространством, задаваемым уравнением й7'(х) =О. Аффинно-линейные функции образуют (и+ 1)-мерное подпространство (где п = 61т Я) в пространстве всех функций на Я. Это ясно хотя бы из их координатной записи (8). 262 Гл. 7. АФФинные и НРОектинные пРОстРАнстВА Докажем два утверждения об аффинно-линейных функциях, которые нам понадобятся в следующем параграфе.
Предложение 1. Барицентрические координаты суть аффинно-линейные функции. Доказательство. Пусть т„х„...,х„— барицеитрические координаты относительно точек р, р„..., р„. Если векторизовать пространство Я, приняв точку рь за начало отсчета, то х„..., х„будут обычными координатами относительно базиса (а,р1,..., р р„), Следовательно, х„..., х„— аффинно-линейные функции. Так как х,=1 — 2 х,, то х — также аффинно-линейная функция. (Это 1=1 можно было бы также доказать, приняв за начало отсчета какую- нибудь другую из точек р, ) П Предложение 2.
Пусть г' — аффинно-линейная функция. Тогда У(~:Л,.р,) =~-ЛДр,) для любой барицентрической линейной комбинации 2, 'Л,р, точек р„..., р,. Доказательство. Векторизуем пространство Я. Тогда ? запишется в виде (?), и мы получим г(~ Л,р) =а(~ Л,р)+5=~ Л,(а(р)+ь)=2;Л,.?(р). 0 Объединяя аксиоматику евклидова векторного пространства с аксиоматикой аффинного пространства, мы, наконец, можем ввести понятие, охватывающее всю элементарную геометрию. Рпределенме 4. Аффинное пространство, ассоциированное с евклидовым векторным пространством, называется евклидовым аффинным пространством (или просто евклидовым пространством, если ясно, о чем идет речь).
Расстояние р между точками евклидова пространства определяется по формуле р(р,у)=М. Оно удовлетворяет аксиомам метрического пространства. В частности, неравенство треугольника следует из неравенства (26) гл. 5 для длины суммы векторов. ЗАДАЧА 5. Доказать, что расстояние между плоскостями Р, = = р, + Ц и Р = р, + (?з евклидова пространства может быть найдено по формуле Р(Р$,рз)=!Ог1ц ур1рй. 263 $2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА Среди всех аффинных систем координат в евклидовом пространстве выделяются системы координат, связанные с ортонормированными базисами. Они называются прямоугольнгями системами координат. 2 2. Выпуклые множества Пусть Я вЂ” аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Ъ' над полем вещественных чисел.
Определение 1. Отрезком, соединяющим точки р, у Е Я, называется множество ро =1Лр+(1 — Л)а: 0< Л < 1) с Я Определение 2. Множество М С Я называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их отрезок. Очевидно, что пересечение выпуклых множеств выпукло. Любая плоскость является выпуклым множеством. Определение 3. Выпуклой линейной комбинацией точек пространства Я называется их барицентрическая линейная комбинация с неотрицательными коэффициентами. Предложение 1, Выпуклое множество М с Я вместе с любыми точками р, р„..., р, содержит любую их выпуклую линейную комбинацию р = ~ Л,р,.
Доказательство проводится индукцией по числу коэффициентов Ль, Л„..., Л, отличных от нуля, совершенно так же, как доказательство теоремы 1.3, но с заменой прямых отрезками. П Предложение 2. Для всякого множества М с Я множество сопч М всевозможных выпуклых линейных комбинаций точек из М является выпуклым множеством. Доказательство. Пусть р=ЯЛ,р,, и у=2;рд,.
— выпуклые линейные комбинации точек из М. Тогда при 0 < Л < 1 Лр+11 — Л)о=~; ЛЛ,р,. +У;~1 — Црд,. 1 есть также выпуклая линейная комбинация точек из М. П 264 Гл. 7. АФФИИИЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Множество сопчМ является наименьшим выпуклым множеством, содержащим М; оно называется выпуклой оболочкой множества М. Выпуклая оболочка системы аффинно независимых точек р, р„..., р„п-мерного пространства называется п-мерным симплексом с вершинами в точках Р, р„...,р„. Иными словами, симплекс состоит из точек, барицентрические координаты которых относительно р, р„..., р„неотрицательны. Нульмерный симплекс — это точка, одномерный симплекс — отрезок, двумерный— треугольник, трехмерный — тетраэдр (треугольная пирамида). Точка множества М с Я называется внутренней, если некоторая ее окрестность целиком содержится в М, и граничной в противном случае.
Очевидно, что точки симплекса, барицентрические координаты которых относительно вершин симплекса положительны (и только они) являются внутренними. Предложение 3. Выпуклое множество М содержит внутренние точки тогда и только тогда, когда аД М = Я. Доказательство. Если аДМ= Я, то М содержит систему из и + 1 аффинно независимых точек. Но тогда М содержит симплекс с вершинами в этих точках и, значит, содержит внутренние точки. Обратное очевидно.
П ЗАДАЧА 1. Доказать, что замыкание выпуклого множества выпукло, причем всякая его внутренняя точка является внутренней точкой самого множества. Выпуклое множество, содержащее внутренние точки, называется выпуклым телом. Предложение 4.
Пусть р — внутренняя точка вьтуклого тела М и д — любая его точка. Тогда все точки отрезка рд, за исключением, быть может, точки д, являются внутренними точками тела М. Доказательство. Рассмотрим точку г= Лр+(1 — Л)д (0(Л (1). Имеем ! Л вЂ” 1 р = — г + — д. Л Л Если точка г' достаточно близка к г, то точка Рис. 3 Л вЂ” ! Р=хг+ Л о $2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 265 близка к точке р и, следовательно, лежит в М (см. рис. 3). Так как г' = А р' + (1 — Л ) о, то отсюда следует, что г' Е М.
С) Следствие 1. Внутренние точки выпуклого тела образуют выпуклое мнозкество. Следствие 2. Всякая точка выпуклого тела является пределом его внутренних точек. Множество внутренних точек выпуклого тела М обозначим через М'. Это открытое выпуклое тело. Согласно предложению 3, всякое выпуклое множество М с Я является выпуклым телом в а((М. Допуская вольность речи, часто говорят о внутренних точках произвольного выпуклого множества М, имея в виду его внутренние точки в пространстве аВ М. Для любой непостоянной аффннно-лннейной функции У на пространстве Я (см. 21) положим Н, =(р е В:У(р) =О), Н+ = (р Е В: 1(р) з О), Н = (р Е о: Г(р) < О) (= Н ' ).
Множество Нг является гнперплоскостью. Множества Н" и Н называются (замкнутыми) полупространствами, ограйичиваемыми гиперплоскостью Н . Из предложения 1.2 следует, что всякое полупростраиство является выпуклым множеством. С другой стороны, всякий отрезок, соединяющий точку из Н с точкой из Н , пересекает гиперплоскость Нр Определение 4. Гиперплоскость Н~ называется опорной гиперплоскостью замкнутого выпуклого тела М, если М с Н' и Н, содержит некоторую (граничную) точку тела М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
